Giáo trình tự học maple

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ HUỲNH THẾ PHÙNG HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MAPLE Huế - 2010 1 Mục lục 1. Giới thiệu phần mềm Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Các thao tác trên tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1. Định nghĩa tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Các phép toán trên tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3. Kiểm tra các quan hệ trên tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình. . . . . . . . . . . . . . 4 3.1. Giải phương trình, bất phương trình. . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2. Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình. . . . . . . . . . . . 5 4. Dãy số và chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.1. Tính giới hạn của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.2. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5. Vec-tơ và ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5.1. Khai báo vec-tơ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5.2. Khai báo ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5.3. So sánh hai vec-tơ hoặc hai ma trận. . . . . . . . . . . . . . . 8 5.4. Tính chuẩn của vec-tơ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.5. Khoảng cách giữa hai điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.6. Tích hai vec-tơ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.7. Tổng, hiệu hai hoặc nhiều ma trận cùng cỡ. . . . . . . . . . . 9 5.8. Nhân hai hoặc nhiều ma trận có cỡ phù hợp. . . . . . . . . . . 9 5.9. Tích trong của ma trận và vec-tơ. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.10. Tính định thức ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6. Hàm một biến số, giới hạn và đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6.1. Định nghĩa hàm một biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6.2. Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ toạ độ Oxy. . . . . . . . . . . . 10 6.3. Tính giới hạn của hàm một biến số. . . . . . . . . . . . . . . . 13 7. Hàm nhiều biến số, giới hạn và đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.1. Định nghĩa hàm nhiều biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.2. Vẽ đồ thị của hàm nhiều biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.3. Vẽ các đường mức của một hàm hai biến. . . . . . . . . . . . . 15 7.4. Tính giới hạn của hàm nhiều biến. . . . . . . . . . . . . . . . 15 8. Phép tính vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 8.1. Tính đạo hàm của một hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 8.2. Gradient, Hessian của hàm nhiều biến. . . . . . . . . . . . . . 17 8.3. Khai triển Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8.4. Tính giới hạn các dạng vô định. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9. Tổng quát về vẽ đường và mặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9.1. Vẽ đường cong trong mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9.2. Vẽ mặt cong trong không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9.3. Vận động đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10. Phép tính tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10.1. Tích phân hàm một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10.2. Ứng dụng tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10.3. Tích phân bội trên hộp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 10.4. Tích phân lặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 11. Phương trình vi phân và Phương trình đạo hàm riêng. . . . . . . . . 27 11.1. Giải phương trình vi phân thường. . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2. Giải hệ phương trình vi phân thường. . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3. Vẽ đồ thị nghiệm của hệ phương trình vi phân. . . . . . . . . 29 11.4. Giải phương trình đạo hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1. Giới thiệu phần mềm Maple. Maple là một trong các phần mềm tính toán phong phú, hỗ trợ cho hầu hết các lĩnh vực của Toán học như giải tích số, đồ thị, đại số tuyến tính, đại số hình thức, phương trình vi phân, phương trình toán lý, Maple tạo ra một môi trường làm việc hoàn toàn thoải mái, giúp cho người dùng có thể thực hiện các tính toán trực tiếp đơn giản hoặc viết các đoạn chương trình tính toán phức tạp. Vì đây không phải là một cuốn sách chuyên khảo về Maple nên chúng tôi không có tham vọng giới thiệu quá sâu mà chỉ muốn cho sinh viên làm quen với phần mềm, đủ để giải quyết tốt những bài toán có liên quan trong phạm vi giáo trình. Sử dụng phần mềm này, sinh viên không những giải được những bài toán phức tạp mà nếu tính toán bằng tay 3 phải mất hằng tháng trời (hoặc không tính nổi) mà còn giúp sinh viên nhìn thấy được bản chất của nhiều vấn đề một cách nhanh chóng và sinh động. Thật ra, đây không phải là phần mềm tính toán duy nhất. Tuy nhiên, nếu biết sử dụng Maple một cách thành thạo, sinh viên dễ dàng tiếp cận với các chương trình tính toán phổ biến khác hiện nay như Mathematica, Matlab, Ta luôn bắt đầu tính toán với việc đưa vào một cụm xử lý (bằng cách nhấn chuột vào nút có biểu tượng [> hoặc vào chức năng Insert/Execution Group/After Cusor có sẵn trên thanh lệnh của giao diện) Một dấu nhắc lệnh [> sẽ hiện ra, chờ đợi ta đưa lệnh vào thực hiện. Một số điều cần chú ý là: Câu lệnh được viết ra phải tuân thủ nghiêm ngặt là chữ hoa hay chữ thường, tất cả câu lệnh đều viết bằng tiếng Anh (nhưng không khó để học thuộc, vì số lượng không nhiều). Kết thúc mỗi câu lệnh đều có dấu ";" hoặc ":" và sau đó nhấn phím Enter. Nếu sử dụng dấu ";" thì kết quả tính toán sẽ hiển thị ngay dòng dưới, còn nếu sử dụng dấu ":" thì kết quả sẽ không hiện ra. 2. Các thao tác trên tập hợp. 2.1. Định nghĩa tập hợp. Cú pháp: [> (Tên tập hợp):= {(danh sách các phần tử của tập hợp)}; Ví dụ: [> A:={1, 2, 3, 4, 15}: [> B:={a, b, x, y, z}; B := {a, b, x, y, z} 2.2. Các phép toán trên tập hợp. Ta đã biết 3 phép toán trên tập hợp là ∪ (ký hiệu union), ∩(ký hiệu intersect) và \ (ký hiệu minus). Cú pháp: [> (Tập hợp 1) (phép toán) (Tập hợp 2); Ví dụ: [> {2, 6, 1, 3 } union {2, 3, 7, 18}; {1, 2, 3, 6, 7, 18} [> M:={1, 3, 5}: [> N:={5, 1, 2, 6}: 4 [> P:=M minus N; P := {3} 2.3. Kiểm tra các quan hệ trên tập hợp. Ta có 3 phép kiểm tra là ∈ (kí hiệu member), ⊂ (kí hiệu verify(subset)) và ⊃ (kí hiệu verify(superset)). Kết quả ta được true hoặc false. Cú pháp: [> member(phần tử, tập hợp); [> verify(Tập hợp 1, Tập hợp 2, ’subset’/’superset’); Ví dụ: [> member(3, {1, 3, 5}); true [> verify({1, 3, 5}, {2, 3, 5}, ’subset’); false [> verify({1, 3, 5, 6}, {3, 5}, ’superset’); true 3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình. 3.1. Giải phương trình, bất phương trình. Cú pháp: [> solve(phương trình/bất phương trình, {biến}); Ví dụ: [> solve(x*x - 1 = 0, {x}); {x = 1}, {x = −1} [> ptb3:=u∧3 - 1 = 0: [> solve(ptb3, {u}); {u = 1}, {u = − 1 2 + 1 2 I √ 3}, {u = − 1 2 − 1 2 I √ 3} 5 [> solve(x*x - 3*x + 2 < 0, {x}); {1 < x, x < 2} [> bpt:=x*x - 3*x + 2 >= 0; bpt := 0 ≤ x 2 − 3x + 2 [> solve(bpt, {x}); {x ≤ 1}, {2 ≤ x} 3.2. Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình. Cú pháp: [> solve({danh sách phương trình/bất phương trình}, {ds biến}); Ví dụ: [> p1:=sqrt(x) + sqrt(2-y)=sqrt(2); p1 := √ x +  2 − y = √ 2 [> p2:=sqrt(2-x) + sqrt(y)=sqrt(2); p2 := √ 2 − x + √ y = √ 2 [> solve({p1, p2}, {x, y}); {x = 0, y = 0}, {x = 2, y = 2} [> q1:=sqrt(4*u-7) < u; q1 := √ 4u − 7 < u [> q2:=sqrt(u+5) + sqrt(5-u)>4; q2 := 4 < √ u + 5 + √ 5 − u [> solve({q1, q2}, {u}); { 7 4 ≤ u, u < 4} 6 4. Dãy số và chuỗi số. 4.1. Tính giới hạn của dãy số. Cú pháp: [> limit(x[n], n=infinity); Ví dụ: [> limit ((n+1)/n, n=infinity); 1 Chú ý rằng nếu viết Limit thì chỉ hiện ra công thức hình thức của giới hạn đó. Nếu muốn tính giới hạn này bằng bao nhiêu ta dùng lệnh value(%). Chẳng hạn: [> Limit ((n*n+1)/(3-2*n*n), n=infinity); lim n→∞ n 2 + 1 3 − 2n 2 [> value(%); −2 Ta cũng có thể định nghĩa dãy trước khi gọi thực hiện giới hạn. Ví dụ: [> y[n]:= (3*n*n-5)/(4*n+5*n*n); y[n] := 3n 2 − 5 4n + 5n 2 [> limit(y[n], n=infinity); 3 5 4.2. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn. Cú pháp: [> sum(x[n], n=n1 n2); (nếu dùng Sum thì cho ra công thức hình thức) trong đó, n1 là chỉ số đầu và n2 là chỉ số cuối của tổng cần tính. Ví dụ: [> sum(1/(n*(n+1)), n=2 10); 9 22 [> Sum(1/(n*n), n=1 infinity); ∞  n=1 1 n 2 7 [> value(%); 1 6 π 2 5. Vec-tơ và ma trận. Để thực hiện các thao tác trên vec-tơ và ma trận trước tiên cần khởi động gói công cụ của đại số tuyến tính linalg bằng lệnh [> with(linalg); 5.1. Khai báo vec-tơ. Cú pháp: [> (tên vec-tơ):= [(liệt kê các thành phần của vec-tơ)]; Ví dụ: [> u:=[1, 2, x∧2]; u := [1, 2, x 2 ] Thật ra, để định nghĩa vec-tơ u như trên ta còn có các cách khai báo khác. Chẳng hạn: u:=vector[1, 2, x∧2]; u:=array(1 3, [1, 2, x∧2]); u:=matrix(1,3, [1, 2, x∧2]); Tuy nhiên, cách dùng chúng vẫn khác nhau. Mặt khác nếu viết u:=matrix(3,1, [1, 2, x∧2]); ta được u :=   1 2 x 2   5.2. Khai báo ma trận. Cú pháp: [> (tên ma trận):= matrix(m, n, [ liệt kê các thành phần của ma trận]); Ví dụ: [> A:=matrix(3, 2, [1, 2, 1, a, x+1, 4]); A :=   1 2 1 a x + 1 4   8 5.3. So sánh hai vec-tơ hoặc hai ma trận. Cú pháp: [> equal(biến 1, biến 2); Kết quả cho ra true hoặc false. 5.4. Tính chuẩn của vec-tơ. Cú pháp: [> norm( tên vec-tơ, loại chuẩn); (có ba loại chuẩn là 1, 2, infinity) Ví dụ: [> u:=[1, 2, 3]: [> norm(u, infinity); 3 5.5. Khoảng cách giữa hai điểm. Điểm được xem như vec-tơ, nên khoảng cách giữa hai điểm cũng là khoảng cách giữa hai vec-tơ. Ở đây, khoảng cách được tính theo chuẩn Euclide. Trước tiên cần khởi động gói student: [> with(student); Cú pháp: [> distance(vec-tơ 1, vec-tơ 2); 5.6. Tích hai vec-tơ. Tích vô hướng. Cú pháp: [> dotprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2);/ [> innerprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2); Tích hữu hướng. Cú pháp: [> crossprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2); Ví dụ: [> u:=[1, 2, 3]: [> v:=[2, 0, 1]: [> dotprod(u,v); 5 [> crossprod(u,v); [2, 5, −4] 9 5.7. Tổng, hiệu hai hoặc nhiều ma trận cùng cỡ. Cú pháp: [> evalm(A ± B ± C ); 5.8. Nhân hai hoặc nhiều ma trận có cỡ phù hợp. Cú pháp: [> multiply(A, B, C ); 5.9. Tích trong của ma trận và vec-tơ. Cho u ∈ R m , A ∈ R m×n , v ∈ R n . Cú pháp: [> innerprod(u, A, v); (sẽ cho ra số thực bằng u T Av.) 5.10. Tính định thức ma trận. Cú pháp: [> det(A); 6. Hàm một biến số, giới hạn và đồ thị. 6.1. Định nghĩa hàm một biến số. Cú pháp: [> f:=x− > (biểu thức hàm theo x); Sau đó, muốn tính giá trị hàm tại một điểm x 0 ta chỉ cần viết f (x 0 ). Ta có thể dùng một biến khác thay cho x và tên hàm khác thay cho f. Biểu thức hàm ở đây có thể một biểu thức đơn giản nhưng cũng có thể là một biểu thức phức tạp như giới hạn, tổng Ví dụ: [> f:= x− > x∧2 - x +1; f := x → x 2 − x + 1 [> f(2); 3 [> g:= u− > limit(n*u∧2/(u*(2*n+5)+3), n= infinity); g := u → lim n→∞ nu 2 u(2n + 5) + 3 [> g(3); 3 2 [...]... liệu tham khảo [1] B.W Char, K.O Geddes, G.H Gonnet, B.L Leong, M.B Managan, S.M Watt, Maple V Library Reference Manual, Springer Verlag, 1993 [2] P.H Điển, Đ.T Lục, T.D Phượng, Hướng dẫn thực hành tính toán trên chương trình Maple V, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1998 [3] Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình và giảng dạy trên Maple, Nxb KHKT, 2002 ... ] [ 1 1 x [1, e ], − cos(x) + sin(x) 2 2 11.2 Giải hệ phương trình vi phân thường Cú pháp: [> dsolve( {ODEs, ICs}, {Vars}, Options); trong đó, ODEs là hệ phương trình cần giải, ICs là các điều kiện đầu, Vars là các ẩn hàm cần tìm và Options là các tuỳ chọn (tương tự như các tuỳ chon khi giải phương trình vi phân) Ví dụ: Để giải hệ phương trình { y ′ (x) = z(x) + 1, z ′ (x) = 2y(x) − z(x) − x, với điều... 4 e − 2e − 2 2 [> evalf(%); 1.948765487 27 Tích phân lặp 3 lớp Tương tự, để tính tích phân ∫ ∫ b dx a ∫ y2(x) z2(x,y) dy y1(x) f (x, y, z)dz z1(x,y) ta dùng lệnh [> int(int(int(f(x,y,z),z=z1(x,y) z2(x,y)),y=y1(x) y2(x)),x=a b); 11 Phương trình vi phân và Phương trình đạo hàm riêng Muốn tiến hành giải phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng ta cần nạp gói công cụ DEtools bằng lệnh [> with(DEtools);... 0.5 –2 0 –1 1 x –0.5 2 –1 Hình 12: Đồ thị hệ phương trình vi phân với nhiều điều kiện đầu –3 –2 0 –1 1 –3 –2 –1 y 2 3 1 x 2 3 [> DEplot(hpt,x(t),y(t),t=0 2,[[x(0)=0,y(0)=1],[x(0)=1,y(0)=1]],x=-3 3,y=-3 3); Hình 13: Đồ thị hệ phương trình vi phân với nhiều điều kiện đầu [[> DEplot(D(x)(t)-x(t)=0,x(t),t=-2 2,[[x(0)=2],[x(0)=4]],x=0 10); 11.4 Giải phương trình đạo hàm riêng Cú pháp: [> pdsolve( PDE, Var... z(x)}); } { 1 (−2x) 1 1 (−2x) 1 1 x x , z(x) = − + e − e y(x) = − + x + e + e 4 2 4 2 2 29 11.3 Vẽ đồ thị nghiệm của hệ phương trình vi phân Cú pháp: [> DEplot( {ODEs},{Vars},Trange,ICs,Xrange,Yrange,Options); trong đó: ODEs là hệ các phương trình vi phân bậc nhất (hoặc 1 phương trình vi phân bậc cao, có thể quy về hệ bậc nhất) Vars là các biến phụ thuộc (hay các ẩn hàm cần tìm) Trange là miền thay đổi... thì máy sẽ sử dụng các phương pháp số và cho ta nghiệm dưới dạng một hàm tượng trưng mà có thể tính được giá trị của nó tại bất kỳ điểm nào, + output= basis (đối với phương trình tuyến tính) thì máy sẽ cho ta tập hàm cơ sở Nếu phương trình không thuần nhất thì máy sẽ cho thêm một nghiệm riêng Ví dụ: [> dsolve((D3)(y)(x)-D(D(y))(x)+exp(x)=0,y(x)); y(x) = −xex + 2ex + ex _C1 + _C2x + C3 28 [> dsolve({D(D(y))(x)-D(y)(x)+sin(x)=0,y(0)=0,... đã biết, nếu f khả tích (và đặc biệt là liên tục) thì các phân hoạch đều vẫn cho những xấp xỉ tốt Maple cho phép chúng ta dùng một trong ba lệnh rightbox/leftbox/middlebox để minh hoạ việc xấp xỉ đều một hàm f trên đoạn [a, b] Cụ thể, Cú pháp: [> rightbox(f(x), x=a b, n, ’shading’=m1, color=m2); (tương tự, leftbox, middlebox) Lệnh này minh hoạ việc xấp hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f (x),... giá trị hàm f tại mút phải của mỗi đoạn (đối với leftbox là mút trái và middlebox là điểm giữa) m1 là màu tô các hình chữ nhật còn m2 là màu vẽ đường cong (điều này chỉ được thấy trên màn hình, trong giáo trình này chỉ thấy màu đen) Mặc định n = 4 Chú ý rằng, trước khi thực hiện lệnh này cần khởi động gói lệnh student Ví dụ: [> with(student); 23 1 0.5 0.2 0.4 x 0.6 0.8 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 1 –0.5 –1... D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)=x(t)-y(t)∧2}, {x(t),y(t),z(t)}, t=-2 2, x=-3 4, [[x(0)=1,y(0)=0,z(0)=2]], stepsize=0.05,scene=[z(t),x(t)]); 4 3 x(t) 2 1 –1 –0.5 0 –1 0.5 1 1.5 2 z(t) –2 –3 Hình 11: Đồ thị hệ phương trình vi phân 30 Ví dụ: Vẽ dồ thị hệ phương trình { x′ (t) = x(t)(1 − y(t)), với 2 điều kiện đầu: y ′ (t) = 0.3y(t)(x(t) − 1) { x(0) = 1.2, y(0) = 1.2, x(0) = 1, y(0) = 0.2, t ∈ [−7 7], bước nhảy 0.1, tiêu đề Graph, mũi tên... [> plot(f(x), x=-2 2, color=blue); Xem Hình 4 5 4 3 2 1 –2 –1 0 1 x 2 –1 Hình 4: Đồ thị hàm từng khúc Trong ví dụ trên ta thấy, mặc dù hàm gián đoạn tại −1 và 1, đồ thị vẫn được vẽ liên tục Đó là vì Maple tự động nối các điểm gián đoạn lại thành đường liền nét Muốn thấy rõ các điểm gián đoạn ta đưa vào tham số discont=true Cụ thể, với lệnh như sau, ta có kết quả được cho trong Hình 5 [> plot(f(x), x=-2 . (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình. . . . . . . . . . . . . . 4 3.1. Giải phương trình, bất phương trình. . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2. Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình. . ’superset’); true 3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình. 3.1. Giải phương trình, bất phương trình. Cú pháp: [> solve(phương trình/ bất phương trình, {biến}); Ví dụ: [> solve(x*x. . 26 11. Phương trình vi phân và Phương trình đạo hàm riêng. . . . . . . . . 27 11.1. Giải phương trình vi phân thường. . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2. Giải hệ phương trình vi phân thường.