Giáo trình hình học vi phân (dành cho hệ đào tạo từ xa)

Đại Học Huế Trung tâm đào tạo từ xa ts Trần đạo dõng - ts Trần vui - ts lê anh vũ Giáo trình Hình học vi phân Sách dùng cho hệ đào tạo từ xa Huế - 2008 Lời nói đầu Hình học vi phân ngành hình học đối tượng hình học nghiên cứu phương pháp giải tích toán học mà trước hết phép tính vi phân Các đối tượng quan trọng hình học vi phân đường, mặt không gian Euclide thông thường họ (liên tục) chúng Nếu hình học sơ cấp hình học giải tích nói riêng, hình học tuyến tính (tổng quát nhiều chiều hình học sơ cấp) nói chung nghiên cứu đường, mặt cách tách biệt khảo sát vài họ đặc biệt đường mặt bao quát hình học vi phân ưu tiên khảo sát tất đường, mặt miễn mô tả chúng phương trình giải tích Đặc trưng hình học vi phân nghiên cứu tính chất đối tượng hình học (các đường, mặt họ chúng) Các tính chất gọi tính chất vi phân Phần đầu hình học vi phân người ta nghiên cứu tính chất vi phân đối tượng hình học mà tính chất không thay đổi (bất biến) qua phép biến hình Phần hình học vi phân gọi hình học cổ điển Các hướng nghiên cứu hình học vi phân bao gồm : 1) Lí thuyết nghiên cứu tính chất vi phân đối tượng hình học không gian Euclide bất biến phép affine, xạ ảnh hay biến đổi khác 2) Lí thuyết nghiên cứu tính chất vi phân đối tượng hình học không gian phi Euclide Loại bỏ tính chất riêng biệt đối tượng hình học nghiên cứu hình học vi phân, tỉng qu¸t ho¸ c¸c tÝnh chÊt chung nhÊt cđa chúng, người ta đến khái niệm đa tạp vi phân chứa khái niệm đường, mặt, họ đường, mặt không gian Euclide phi Euclide không gian trường hợp đặc biệt Như vậy, đa tạp vi phân đối tượng tổng quát hình học vi phân Giáo trình viết sở tóm lược giảng hình học vi phân mà tác giả đà giảng nhiều năm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, có cân nhắc đến tính vừa sức đối tượng mới-các học viên đào tạo từ xa Về bố cục nội dung, giáo trình gồm chương : Chương : Phép tính vi phân n Chương : Lí thuyết đường mặt phẳng không gian Chương : Lí thuyết mặt không gian Ngoài có hệ thống tập sau chương phần hướng dẫn giải tập Chương trình bày kiến thức sở, Chương Chương dành cho việc giới thiệu nội dung lí thuyết đường mặt mặt phẳng không gian Do khuôn khổ hạn chế giáo trình, đồng thời để phù hợp với đối tượng, đà không đưa vào phần nhập môn lí thuyết đa tạp vi phân kiến thức sở khác có liên quan Vì lần biên soạn cho hệ đào tạo nên chắn tránh khỏi thiếu sót Các tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp đồng nghiệp gần xa bạn đọc với mục đích chung góp phần Trung tâm Đào tạo từ xa Đại học Huế có mộthệ thống giáo trình hoàn thiện Các tác giả chân thành cảm ơn PTS Lê Văn Thuyết đà đọc cho góp ý giúp hoàn thiện giáo trình Huế, tháng 12 năm 1997 Các tác giả Hướng dẫn đọc giáo trình (dành cho học viên) Để đọc tốt giáo trình này, học viên cần phải nắm vững kiến thức Đại số tuyến tính, môn Hình học cao cấp Hình học giải tích (Affine, Euclide) phép tính vi tích phân chiều Về phương pháp nghiên cứu giáo trình, học viên cần lưu ý số điểm sau : Đọc thật cẩn thận lí thuyết, đặc biệt khái niệm, nhận xét, tính chất, định lí Các nhận xét sau khái niệm hay định lí thường bổ sung, giải thích nhằm giúp việc hiểu vận dụng khái niệm, định lí sâu sắc Cố gắng độc lập giải tập trước xem hướng dẫn Hoặc nên tự giải lại cẩn thận tập sau đà xem hướng dẫn Các tác giả mong chúc bạn thành công Học phần : Hình học vi phân Chương Phép tính vi phân n Đ1 Sơ lược TôPô n 1.1 Nhắc lại không gian n n Tập hợp n = x = (x1, , xn)x1, , xn   víi hai phÐp to¸n     n n   x , , x  y , , y  n  x , , x     :   x , , x  ,    :  x  y1 , , x n  y n n lập thành không gian vector n - chiều Cơ sở tắc n e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, , 0, 1) Cã thể xem n không gian affine n - chiều liên kết với ánh xạ liên kết  (x, y)  xy = y - x, x, y  n Trong n xÐt tÝch v« h­íng chÝnh t¾c (x1, , xn).(y1, , yn) = n x y i i i n với tích vô hướng lập thành không gian vector Euclide n - chiỊu, kÝ hiƯu lµ  n  Khi ®ã x = (x1, , xn)   n ta định nghĩa x = x x n x i i gọi độ dài hay chuẩn vector x Từ định nghĩa ta có (1) x  0, x   n , x =  x =  (2) x.y  x.y, x, y   n , dÊu b»ng x¶y vµ chØ hƯ x, y phơ thc tuyÕn tÝnh  (3) x  y  x  y  x  y , x, y   n  (4) x   x ,   , x   n Ta thÊy sở tắc e1, , en) n sở trực chuẩn không gian vector Euclide  n Kh«ng gian affine n víi tÝch vô hướng tắc gọi không gian Euclide n - chiÒu  n LÊy O   n O ; e1, , en mục tiêu trực chuẩn n , gọi mục tiêu tắc Ta định nghĩa d(x, y) = x y , x, y   n , gäi lµ khoảng cách hai điểm x, y n 1.2 Tập mở, đóng hội tụ n Ta gäi B(x0, ) = x  n x x < hình cầu mở n - chiều tâm x0, bán kính 1.2.1 Định nghĩa U n gọi tập mở x0  U, tån t¹i  =  (x0) > cho B(x0, )  U HƯ c¸c tËp mở n lập thành tôpô gọi tôpô thông thường n Tập V n gọi ®ãng nÕu U = n \V më n TËp S n gọi lân cận x n nÕu tån t¹i  > cho B(x, )  S 1.2.2 Héi tô D·y xk  n gäi lµ héi tơ vỊ x0  n nÕu d·y sè x  x0   KÝ hiÖu xk x0 Điểm x n gọi hội tơ ®Õn x0  n cho tr­íc nÕu d·y sè x  x0   KÝ hiÖu x x0 Đ2 Hàm vector Đạo hàm hàm vector 2.1 Hàm vector Cho U n xét ánh x¹ f: U m x  f(x) = (y1, , ym) Với j = 1, m ánh xạ j : m   (y1, , ym)  yj gọi phép chiếu tắc thứ j Khi f j = j  f : U   hàm U, gọi hàm thành phần (thứ j) f Hơn ta có f(x) = (f 1(x), , f m(x)), x  U Ta gäi f hàm vector với m hàm thành phần f 1, , f m KÝ hiÖu f = (f 1, , f m ) 2.2 Hàm vector liên tục 2.2.1 Định nghÜa Hµm vector f : U  n  m gọi liên tục x0 U > 0,  > : x  U, x  x0 <   f  x   f  x    Ta nãi f liên tục U f liên tục mäi x  U 2.2.2 NhËn xÐt (1) NÕu U n f : U định nghĩa trùng với định nghĩa hàm liên tục th«ng th­êng (2) f = (f 1, , f m) liªn tơc trªn U  f i liªn tơc trªn U, i = 1, m (3) Cho f : U  n  m vµ g : V  m p liên tục Khi g f : U  p liªn tơc 2.2.3 VÝ dơ (1) Mọi ánh xạ tuyến tính f : n m liên tục (2) Mọi phép tịnh tiến t x0 : n  n, x  x0 + x, víi x0 n cho trước, liên tục 2.3 Hàm vector khả vi 2.3.1 Định nghĩa Cho U mở n Hµm vector f : U  m gäi khả vi x0 U tồn ánh xạ tuyến tính : n  m cho lim f  x0  h   f  x0     h h h0 ánh xạ tuyến tính gọi đạo hàm f x0, kí hiệu = Df(x0) Ta gọi f khả vi U f khả vi x0 U Nếu f khả vi x0, ta định nghĩa hạng cđa f t¹i x0, kÝ hiƯu rank x ( f ), hạng ánh xạ tuyến tính Df(x0) 2.3.2 Định lí Đạo hàm hàm vector f : U  m t¹i x0  U nÕu tån t¹i Chứng minh Giả sử f khả vi x0 U = Df(x0) Nếu có : n m ánh xạ tuyến tính cịng tho¶ m·n lim f  x0  h   f  x     h  h h0 th×  0,   h     h     h   f  x0  h   f  x0   f  x0   f  x0  h    h   f  x0  h   f  x     h   f  x  h   f  x0     h  nªn lim h0  ( h)   ( h)  h Râ rµng (0) = (0) = Ngoµi x  0, t  , tx   t  Do tuyến tính nên x n ta cã  lim   tx     tx  t0  lim tx x  x x t0 = x  x x Hay (x) = (x), x  n Nãi c¸ch kh¸c :  =  2.3.3 VÝ dơ vµ nhËn xÐt (1) f : n  m, f(x) = c, c lµ h»ng sè, x  n Ta cã Df (x0) = 0, x0  n (2) NÕu f : n m ánh xạ tuyến tính Df(x0) = f, x0  n (3) Gäi x = x - x0 = h lµ sè gia cđa biÕn vµ f = f(x) - f(x0) lµ sè gia cđa hµm f Rõ ràng f khả vi x0 nÕu f    x   o  x (vô bé cấp cao x ) ; tức số gia f hàm f xÊp xØ bëi mét biĨu thøc tun tÝnh (x) cđa sè gia cđa biÕn bá qua mét v« cïng bÐ cÊp cao h¬n sè gia cđa biÕn Ta cịng nói (một cách nôm na) f khả vi x0 x đủ gần x0, xấp xỉ f ánh xạ tuyến tính (mà gọi đạo hàm f x0) 10 ta tính k1 a.cotg u k  cotg u  a XÐt hai trường hợp : Giả sử phương tương ứng lµ (1) k1  a.cotg u X = Xu Su + Xv Sv Ta có phương trình ma trận sau  X u   k1 X u  A       X v   k2 X v  hay viÕt d¹ng t­êng minh 1  1  a.cotg u X u  a.cotg u X u    cotg u X  1 X v v  a a.cotg u Giải hệ phương trình ta X u tïy ý   X v  Chän X u  1, X v  suy Su phương (2) k2 cotg u : LÝ ln t­¬ng tù ta cịng chØ Sv phương a Ta tính độ cong Gauss độ cong trung bình S ®iĨm tïy ý lµ det II L.N  M 1   , det I E.G  F a a H  TrA   cotg u  sin u.cos u  2 K 102 a2 nên điểm mặt giả cầu S điểm hyperbolic c) Theo c©u b) ta cã K  3.8 HD a) Ta cã  Su   '  u  cos v,  '  u  sin v,  '  u     Sv     u  sin v,   u  cos v,  nªn  Suu   "  u  cos v,  "  u  sin v,  "  u     Suv    '  u  sin v,  '  u  cos v,    Svv    '  u  sin v,  '  u  cos v,  suy Su  Sv     u   '  u  cos v,    u   '  u  sin v,   u   '  u   Su  Sv    u   '2  u    '2  u  vµ n  Su  Sv Su  Sv  '  u    '2  u    '  u  cos v,   '  u  sin v,  '  u   Nªn rank  u,v S  2,   u, v   U hay S mặt tham số hóa Ta tính E   Su , Su    '2  u    '2  u    F   Su , Sv     G   Sv , Sv     u  vµ 103   '  u  "  u    "  u  '  u    L   n, Suu   2    u u ' '        M   n, Suv    N   n, Svv     u   '  u  2    u u  ' ' Suy dạng thø nhÊt vµ thø hai lµ I  ds   '2  u    '2  u   du2    u   dv2 II   '  u    '  u 2  '  u  " u   " u  '  u  du b) HD §é cong Gauss điểm tùy ý S tính LN  M  '  u   '  u   "  u    "  u   '  u    K EG  F   '2  u    '2  u   Tõ ®iỊu kiƯn  '  u   ta cã    '  u    1  '  u   "  u    '  u   "  u   Hay  '  u   "  u     '  u   "  u  Suy  '  u   '  u   "  u    "  u   '  u   K  u  '  u     "  u    "  u   '  u   2   u  "  u   '  u     "  u   '  u     u 2 c) §S K = -1 d) HD 104     u   '  u  dv2 Ma trËn ánh xạ Weingarten sở Su , Sv  cã d¹ng A   1 Q víi 1    3 0    0  3  4 vµ   Q      34  nªn 3  1     0  4  3 suy  1   a.cotg u   A   cotg u a Giải phương trình đặc tr­ng det A  k.I    ta tính k1  k2   XÐt hai tr­êng hỵp (1) k1 : Giả sử phương tương ứng X X u Su X v Sv ta có phương trình ma trận n sau 105 Xu    k1 X u  A    Xv   k1 X v   hay viÕt d¹ng t­êng minh  X u   X u    X v   X v Giải hệ phương trình ta thu  X u tïy ý   X v  Chän X u  1, X v  suy Su phương (2) k2 : Lí luận tương tự ta Sv phương 3.9 HD a) Ta có  Su    sin u cos v,  sin u sin v, cos u    Sv      cos u  sin v,   cos u  cos v,  nªn  Suu    cos u cos v,  cos u sin v,  sin u    Suv    sin u sin v,  sin u cos v,    Svv      cos u  cos v,    cos u  sin v,  Suy Su  Sv       cos u  cos u cos v,    cos u  cos u.sin v,   cos u  sin u  Su  Sv   cos u vµ n Su  Sv    cos u cos v,  cos u sin v,  sin u  Su  Sv Nªn rank  u,v S  2,   u, v   U hay S mặt tham số hóa 106 Ta tính E   S , S   u u   F   Su , Sv     G   Sv , Sv     cos u  vµ  L   n, Suu   sin u  cos2 u    M   n, Suv    N   n, Svv     cos u  cos u Suy dạng thứ thứ hai lµ I  ds  du2    cos u  dv2 II  du2    cos u  cos u.dv b) Ma trận ánh xạ Weingarten së Su , Sv  cã d¹ng A   1 Q 1    2    cos u     víi vµ 1 Q 0    cos u  cos u  nªn  1 1          cos u   Suy 1    A cos u  cos u Giải phương trình đặc trưng det A k.I ta tính 107 k1 cos u  k2   cos u  Xét hai trường hợp (1) k1 : Giả sử phương tương ứng X = Xu Su + Xv Sv ta có phương trình ma trận sau Xu    k1 X u   A     Xv   k1 X v   hay viÕt d¹ng t­êng minh  2 X v     cos u 0 X  X v  v Gi¶i hƯ phương trình ta thu X u tùy ý  X v  Chän X u  1, X v suy Su phương cos u : Giả sử phương (2) k2   cos u X = Xu Su + Xv Sv ta có phương trình ma trận sau Xu    A   Xv    hay viÕt d¹ng t­êng minh k2 X u   k2 X v   X u     cos u 0 X  X v v Giải hệ phương trình ta thu X u X v tïy ý 108 Chän X u  0, X v suy Sv phương Độ cong Gauss điểm tùy ý S tính bëi L.N  M cos u  K E G  F  cos u c) Dựa vào giá trị độ cong Gauss ta suy trường hợp sau : : Ta có cos u  2 nªn K(u, v) < 0, suy điểm xét điểm hyperbolic   u 3 : Ta cã cos u  2 nªn K(u, v) = 0, suy điểm xét điểm parabolic u u   3 ,  u  2 : Ta cã cos u  2 nªn K(u, v) > 0, suy điểm xét điểm elliptic d) Xét phương trình k1 k2 0u ta cã cos u 1  cos u hay cos u   cos u   vô lí Do S ®iĨm rèn 3.10 HD Tr­íc hÕt chøng minh r»ng nÕu ds E.du2 G.dv2 độ cong Gauss điểm tùy ý cho E G 1    ( ) ( ) u E.G u  E.G  v E.G v ứng dụng công thức với E = ta cã   G  K  ( ) G  u G u  K 109  1 1   Gu      Guu   4G G G   G uu 3.11 ĐS a) Mặt cầu S u, v    a cos u.cos v, a.sin u.cos v, a.sin v  ds  a  cos2 u.du2  dv2  b) MỈt ellipxoid S  u, v    a cos u.cos v, b.sin u.cos v, c.sin v  ds   a2 sin u  b cos2 u  cos2 v.du2   a  b  sin 2u cos v.du.dv    a cos2 u  b sin u  sin v  c cos2 v  dv2 c) Mặt hyperboloid 1-tầng a b c S (u,  )  ( (  ) cos u, (v  ).sin u, (v  ))  v v 2 1 ds  (v  )2 (a sin u  b cos2 u).du2  v 1  (b  a ).sin 2u.(v  ).du.dv  v 1 1  (1  )2 [(a cos2 u  b sin u)  c (1  )2 ].dv v v d) Mặt hyperboloid 2-tầng a b c  1 1  S (u, v)    v   cos u,  v   sin u,  v    2  v v v  2  1 ds   v   a sin u  b cos2 u du2   v 1    b2  a  sin 2u  v   du.dv  v      2  1   1      a2 cos2 u  b sin u  c     dv2  v    v     110 e) MỈt elliptic paraboloid  v2  S (u, v)   v p cos u, v q sin u,  2  2 2 ds = (p sin u + q cos u).v du + (q - p) sin2u.du.dv + + (p.cos2u + q.sin2u + v2).dv2 f) MỈt hypebolic paraboloid S (u, v)   u  v  p ,  u  v  q , 2u v   2 ds = (p + q + 4.v ).du + 2.(q - p + 4u.v).du.dv + + (p + q + 4.u2).dv2 g) MỈt nãn S(u, v) = (a.v.cosu, b.v.sinu, c.v) ds  v2  a sin u  b cos2 u  du2   b  a  sin 2u du dv    a cos2 u  b sin u  c  dv2 i) MỈt trơ elliptic S  u, v    a cos u, b.sin u, v  ds   a sin u  b cos2 u  du2  dv2 j) MỈt trơ hyperbolic a  1 b  1  S  u, v     u   ,  u   , v  u  u  2  2  a2   b2  1  2 ds      ,     du  dv  4 u  4 u 3.12 Tính dạng thứ hai mặt tròn xoay sau : a) Mặt cÇu S  u, v    R.cos u.cos v, R.sin u.cos v, R.sin v  II  R du2 cos2 u.dv2 b) Mặt ellipxoid tròn xoay S  u, v    a cos u.cos v, a.cos u.sin v, c.sin u  II  ac a sin u  c cos u 2 2  du2  cos2 u.dv2  c) Mặt hyperboloid tròn xoay 1-tầng S u, v    a.chu.cos v, a.chu.sin v, c.shu  111 II   ac a sh u  c ch u 2 2  du2  ch u.dv2 d) Mặt hyperboloid tròn xoay 2-tầng S  u, v    a.shu cos v, a.shu.sin v, c.chu  II  ac a ch u  c sh u 2 2  du2  sh u.dv2  e) MỈt paraboloid trßn xoay  S  u, v   u cos v, u.sin v, u2  du2  u2 dv2    4u f) MỈt trơ trßn xoay II  S  u, v    R.cos v, R.sin v, u  II  R.dv2 g) Mặt nón tròn xoay S u, v    u.cos v, u.sin v, k.u  k.u dv2  k2 h) MỈt xun II  S  u, v     a  b.cos u  cos v,  a  b.cos u  sin v, b.sin u  II  b.du2  cos u  a  b.cos u  dv2 i) MỈt Katennoid u u   S  u, v    a.ch cos v, a.ch sin v, u  a a   1 II   du2  a2 dv2  a 3.13 HD TÝnh vµ chứng tỏ độ cong trung bình triệt tiêu ®iÓm 3.14 HD a) Ta cã S   u cos v, u.sin v, u  v  112  Su   cos v, sin v, 1   Sv   u.sin v, u cos v, 1 nªn  Suu   0, 0,    Suv    sin v, cos v,    Svv   u cos v,  u.sin v,  suy Su  Sv  1  u  sin v  u 1  v  cos v,  u.sin v  cos v, u Ta tính E Su , Su     F   Su , Sv     G   Sv , Sv    u vµ L   n, Suu   M   n, Suv    N   n, Svv   1  u2 u2 2u Suy dạng thứ nhÊt vµ thø hai lµ I = ds2 = 2du2 + 2du dv + (1 + u2)dv II = 2  2u du dv  u2  2u dv2 Độ cong Gauss điểm tùy ý S tính K L.N M 1   2 E G  F  2.u  2.u2 hay 113 K 1  2.u  2 b) HD Ma trận ánh xạ Weingarten sở Su , Sv  cã d¹ng A   1 Q víi  2 2 1  u    vµ    Q 1    2u      2.u   u2   2u2  nªn   u2   2u   1    2u  1 1  u2  u2       suy A  1  2.u     u2   2u Tại điểm P(0, 0) ta cã  1  A   2 Giải phương trình đặc trưng det A k.I ta tính 114    k1    k2   XÐt hai tr­êng hỵp (1) k : Giả sử phương tương ứng X = Xu Su + Xv Sv Ta có phương trình ma trận sau Xu    A   Xv    hay viÕt d¹ng t­êng minh k1 X u   k1 X v   X u  X v   2 X u  X v Giải hệ phương trình ta ®­ỵc  X u  c   X v   2.c, c  , c  Chän c = ta cã X u  1, X v     Suy ph­¬ng chÝnh t­¬ng øng sinh bëi vector 1 1,  (2) k2   : LÝ luËn tương tự ta tính phương chÝnh t­¬ng øng sinh bëi vector 2 1, 115 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1987 [2] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1993 [3] T Fomenko, Introduction to Topology, 1982 [4] unukob, Differential Geometry, 1985 [5] M Spivak, Giải tích đa tạp, 1980 116