MN là một đường kớnh thay đổi của đường trũn M khụng trựng với A, B.. c Chứng minh tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNC thuộc một đường thẳng cố định.. Đường thẳng AI cắt đường trũn O
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo
Phú Thọ kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THcs cấp tỉnh năm học 2010-2011
MễN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Đề thi cú một trang
Cõu 1 (4 điểm)
x 2011 x y 2011 y 2011 Tớnh giỏ trị của biểu thức
T x y b) Tớnh tổng
S = 4 3 8 15 240 14399
(mỗi số hạng trong tổng trờn cú dạng
2
2n 1 2n 1
, với n N và 1 n 60)
Cõu 2 (3 điểm)
Giải hệ phương trỡnh
y 3y 2y 5 z
z 3z 2z 3 x
Cõu 3 (4 điểm)
a) Tỡm số nguyờn dương n để B n 4n3n2 là số chớnh phương.n 1
b) So sỏnh M và N biết M20102010 201120102011, N20102011201120112010
Cõu 4 (2 điểm)
Cho a, b, c là cỏc số dương Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
A
a b 2c 2a b c a b 3c
Cõu 5 (7 điểm)
Cho đường trũn (O; R) đường kớnh AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường trũn (O) MN là một đường kớnh thay đổi của đường trũn (M khụng trựng với A, B) Cỏc đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D
a) Chứng minh AM.AC AN.AD
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tớch AC.AD
c) Chứng minh tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNC thuộc một đường thẳng cố định d) Gọi I là giao điểm của CO và BM Đường thẳng AI cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai
là E, cắt đường thẳng d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 5 trang)
I M t s chú ý khi ch m b i ột số chú ý khi chấm bài ố chú ý khi chấm bài ấm bài ài
Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic
Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm
Tổ chấm có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số
II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
Câu 1 (4 điểm)
x 2011 x y 2011 y 2011 Tính giá trị của biểu thức
T x y b) Tính tổng
S = 4 3 8 15 240 14399
(mỗi số hạng trong tổng trên có dạng
2
2n 1 2n 1
, với n N và 1 n 60)
a) (2 điểm) Từ giả thiết, suy ra
x 2011x2 2011x2 x y 2011y2 2011 2011 x2 x 0,50
2 2
Tương tự ta có: x 2011x2 2011 y2 y(2) 0,50
Từ (1) và (2) suy ra: x + y = 0 hay x = – y Suy ra T = 0 0,50 b) (2điểm) Với k là số tự nhiên khác 0 ta có:
2
2
0,75
Cho k lần lượt nhận các giá trị 1, 2, …, 60 Ta được:
2
0,75
Trang 3 3 3
2
…
2
Vậy S = 1 3
Câu 2 (3 điểm)
Giải hệ phương trình
y 3y 2y 5 z
z 3z 2z 3 x
Viết lại hệ đã cho dưới dạng
y 3y 2y 5 z
z 3z 2z 5 x 2
0,25
Đặt t = x – 2 thì x = t + 2, thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
3 2
0,50
Khi đó có hệ phương trình
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của t, y, z nên ta có thể giả sử
1) Trường hợp t y z Từ hệ (I) ta có
2 2
1 1
t z
Do đó t = y = z = 1
0,75
2) Trường hợp t z y Tương tự ta có: 1
1
t y
Do đó t = y = z = 1
0,75
Nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (x: y: z) = (3: 1: 1) 0,25
Trang 4Câu 3 (4 điểm)
a) Tìm số nguyên dương n để B = n4 + n3 + n2 + n + 1 là số chính phương
b) So sánh M và N biết 2010 20102011 2011 20112010
a) (2 điểm) Đặt n4 + n3 + n2 + n + 1 = k2 (1) (với k nguyên dương) 0,25
Ta có (1) 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + 4 = 4k2
(2n2 +n)2 +2n2 +(n+2)2 = (2k)2 0,75 (2k)2 > (2n2 +n)2
(2k)2
(2n2 +n+1)2 (do k và n nguyên dương) 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + 4 (2n2 +n+1)2
(n+1)(n-3) 0
n 3
n 1; 2; 3
0,75
Thay các giá trị của n vào (1), chỉ có n = 3 thoả mãn đề bài 0,25 b) (2 điểm) Đặt a 2010 2010, b 2011 2010 Ta có:
Xét:
2010
2010
Vì
2010
2010
Nên N b 1 N M
Câu 4 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b 2c 2a b c a b 3c
Đặt
Khi đó:
0,50
Do đó
Trang 52y 2x
2z 2 2x
4 3 2
2
10 7 2
2
(với t R, t > 0)
Câu 5 (7 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O) MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM và
AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D
a) Chứng minh AM.AC AN.AD
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích AC.AD
c) Ch/minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng cố định d) Gọi I là giao điểm của CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
Hình vẽ:
E
D
d
P
B
A
M
N
B
C
F
C
M
D
a) (1,5 điểm) Ta có ANM ABM , ABM ACB Suy ra: ACB ANM 0,75
Trang 6Do đó AMN và ADCđồng dạng.
AM.AC AN.AD
b) (2 điểm) Ta có: AC.AD CD.AB 2R CD (1) 0,50 Lại có CD BD BC 2 BD.CD 2 AB 2 4R(2) 0,50
c) (2 điểm) Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp MNC, K là trung điểm của CD,
S là giao điểm của AK với MN
Ta thấy tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm P nên AMN ADC ,
SAM KCA ANM Suy ra: MN vuông góc với AK
0,75
Lại có: PO vuông góc với MN nên AK song song với OP, mà PK song song với
AO Suy ra: tứ giác AOPK là hình bình hành, hay KP = AO =R 0,75
Vì d là đường thẳng cố đinh, PK = R không đổi nên P thuộc đường thẳng song
d) (1,5 điểm) Trước hết ta chứng minh bài toán: Nếu tam giác ABC có các điểm
M, N, P thẳng hàng và lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CA thì:
AP CN BM
PC NB MA = 1.
Thật vậy: Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MN tại D, ta có:
PC CD và
NB BM .
Do đó ta có điều phải chứng minh
0,50
Áp dụng bài toán trên vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng là B, I, M, ta có:
AB OI CM
BO IC MA
IC 2CM (1) Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta có: OI FB
IC 2CF(2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có MA FB=
CM CF Do đó MF // AB (định lí Ta lét đảo)
Mà AB BC MF BC MFC 900
0,25
Ta có EFB EBA (cùng phụ với góc EAB)
EBA EMC (tứ giác AMEB nội tiếp)
EFB EMC Tứ giác MEDC nội tiếp
0,25
MEC MDC 90 0 Do đó: ME EC (3)
Lại có 0
MEN 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ME EN (4)
Từ (3) và (4) suy ra M, E, N thẳng hàng
0,25
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––