ĐỀ THI HSG CÓ HDC VÀ MA TRẬN

Trường THCS và THPT Chu Văn An ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học : 2009 – 2010 Môn : Toán 8 Thời gian : 120 ’ I./ Trắc nghiệm : Khoanh tròn chữ cái đầu câu mà em cho là đúng nhất ( 3,5 đ) Câu 1 : Tích của đơn thức -5x 3 và đa thức 2x 2 + 3x – 5 là A) 10x 5 – 15x 4 + 25x 3 B) - 10x 5 – 15x 4 + 25x 3 C) -10x 5 - 15x 4 - 25x 3 D) Một kết quả khác . Câu 2 : Thực hiện phép tính ( x + y + z )( x + y + z ) ta được kết quả : A) x 2 + y 2 + z 2 – 2xy + 2yz + 2zx B) x 2 + y 2 + z 2 +2xy + 2y + 2zx C) x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx D) Một kết quả khác . Câu 3 : Biểu thức khai triển và rút gọn của Q = ( 2x + y )( 4x 2 – 2xy + y 2 ) là : A) 2x 3 – y 3 B) x 3 – 8y 3 C) 8x 3 – y 3 D) 8x 3 + y 3 Câu 4 : Giá trò của biểu thức x 3 – 6x 2 + 12x – 8 tại x = 9 10 là : A) 0 B) 13,31 C) 0,1331 D) -1,331 Câu 5 : Cho hình thang có đáy lớn là 3 cm ,đáy nhỏ ngắn hơn đáy lớn là 0,2 cm . Độ dài đường trung bình của hình thang là : A) 2,8 cm B) 2,7 cm C) 2,9 cm D) Cả ba đều sai . Câu 6 : Cho hình thang cân có cạnh bên là 2,5 cm đường trung bình là 3 cm . Chu vi của hình thang là : A) 8 cm B) 8,5 cm C) 11,5 cm D) 11 cm . Câu 7 : Cho ba số tự nhiên liên tiếp có tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 100 . Ba số đó là : A) 24 ; 25 ; 26 B) 49 ;50 ;51 C) 99 ;100 ;101 D) Một kết quả khác II./ Tự luận : ( 6,5 đ ) Câu 8 : Tính Nhanh a) P = 2 2 2 2 43 11 (36,5) (27,5) − − b) A = 3 3 97 83 97.83 180 + − Câu 9 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x 2 – 5x - 14 b) x 2 y + xy 2 + xz 2 + yz 2 +x 2 z + y 2 z + 2xyz Câu 10 : Chứng minh rằng : [( n 2 + 3n - 1 )( n + 2) - n 3 + 2 ]  5 http://Violet.vn/Monkeykid7000 Trường THCS và THPT Chu Văn An Câu 11 : Trên đoạn AB lấy C ( CA > CB ) . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đều ACD và BCE . Gọi lần lượt M,N,P,Q là trung điểm của AE,CD,BD và CE, · 0 60MQP = . Chứng minh rằng : a) MNPQ là hình thang cân. b) MP = DE 2 1 ĐÁP ÁN + THANG ĐIỂM I./ Trắc nghiệm : ( mỗi câu đúng 0,5 điểm ) 1 → B ; 2 → C ; 3 → D ; 4 → D ; 5 → C ; 6 → D ; 7 → B II./ Tự luận : Câu 8 : Tính Nhanh ( 1,5 đ ) a) P = 2 2 2 2 43 11 (36,5) (27,5) − − = (43 11)(43 11) (36,5 27,5)(36,5 27,5) − + − + = 32.54 9.64 = 3 Câu 9 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( 2 đ) a) x 2 – 5x - 14 = x 2 – 7x + 2x - 14 = (x 2 + 2x ) - (7x + 14 ) = x(x + 2 ) - 7(x + 2) = (x + 2)( x - 7) Câu 10 : Chứng minh rằng : (1 đ) [( n 2 + 3n - 1 ) ( n + 2) - n 3 + 2]  5 Ta có : ( n 2 + 3n - 1 )( n + 2) - n 3 + 2 = n 3 + 2n 2 + 3n 2 + 6n –n – 2 – n 3 + 2 = 5n 2 + 5n = 5n( n + 1)  5 Vậy [( n 2 + 3n - 1 ) ( n + 2) - n 3 + 2]  5 http://Violet.vn/Monkeykid7000 b) A = 3 3 97 83 97.83 180 + − = 2 2 (97 83)(97 97.83 83 ) 97.83 180 + − + − = ( 97 2 – 97.83 + 83 2 ) – 97.83 = 97 2 – 2.97.83 + 83 2 = ( 97 - 83 ) 2 = 196 b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz = xy( x + y ) + z 2 (x + y) + z(x + y ) 2 = ( x + y )( xy + z 2 + xz + yz ) = ( x + y )(y + z )(z + x ) Trường THCS và THPT Chu Văn An Câu 11 : ( 2 đ ) Q P N M E D C B A Chứng Minh : a ) Xét ∆ ACE có : MA = ME ; QE = QC ⇒ MQ // AC . Tương tự ta cũng có : NP // BC hay NB // AC ⇒ MQ // NP . Do đó MNPQ là hình thang . Mặt khác : MN// AD ; MQ // AC . Mà Â = 60 0 ⇒ ˆ M = 60 0 · 0 60MQP = (gt) Vậy MNPQ là hình thang cân . b ) ta có MNPQ là hình thang cân nên MP = NQ , nhưng NQ = ½ DE . ⇒ MP = ½ DE . MA TRẬN Đề thi HSG môn toán Khối lớp 8 Năm học : 2009 – 2010 Nội dung bài Thông hiểu Vận dụng Tổng cộng TN TL TN TL Câu 1 0,5 đ 0,5 đ Câu 2 0,5 đ 0,5 đ Câu 3 0,5 đ 0,5 đ Câu 4 0,5 đ 0,5 đ Câu 5 0,5 đ 0,5 đ Câu 6 0,5 đ 0,5 đ Câu 7 0,5 đ 0,5 đ Câu 8 a) 0,75 đ b) 0,75 đ 1,5 đ Câu 9 a)1đ;b)1 đ 2 đ Câu 10 1 đ 1 đ Câu 11 b) 0,5 đ a) 1,5 đ 2 đ T. cộng 2 đ 1,25 đ 1,5 đ 5,25 đ 10 đ http://Violet.vn/Monkeykid7000 Cho AB lấy C ∈ AB ( AC > CB ) ACD và BCE là các tam giác đều gt MA = ME ; NC = ND ; PB = PD QC = QE . · 0 60MQP = kl a) MNPQ là hình thang cân ? b) MP = ½ DE Tröôøng THCS vaø THPT Chu Vaên An http://Violet.vn/Monkeykid7000 . · 0 60MQP = (gt) Vậy MNPQ là hình thang cân . b ) ta có MNPQ là hình thang cân nên MP = NQ , nhưng NQ = ½ DE . ⇒ MP = ½ DE . MA TRẬN Đề thi HSG môn toán Khối lớp 8 Năm học : 2009 – 2010 Nội dung. z )(z + x ) Trường THCS và THPT Chu Văn An Câu 11 : ( 2 đ ) Q P N M E D C B A Chứng Minh : a ) Xét ∆ ACE có : MA = ME ; QE = QC ⇒ MQ // AC . Tương tự ta cũng có : NP // BC hay NB // AC. 5 http://Violet.vn/Monkeykid7000 Trường THCS và THPT Chu Văn An Câu 11 : Trên đoạn AB lấy C ( CA > CB ) . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đều ACD và BCE . Gọi lần lượt M,N,P,Q là trung điểm của AE,CD,BD và CE, · 0 60MQP