chuẩn tam giác và đối chuẩn tam giác
Mở đầu Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất có thể đợc coi nh là một phần trong giải tích ngẫu nhiên. Hơn nữa, đây là một hớng tổng quát tốt, tiệm cận tốt tới các định lý về điểm bất động ngẫu nhiên. Một hớng nghiên cứu trong nhóm Xemina khoa học do GS. TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì. Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chơng (chơng 1-2-3), tài liệu tham khảo. Nội dung chính của các chơng đợc tóm tắt nh sau: Chơng 1 trình bày về không gian metric xác suất. Chơng 1 chủ yếu trình bày về định nghĩ không gian metric xác suất, topo trong không gian metric xác suất và một số ví dụ. Chơng 2 là chơng chính của luận văn. Chơng trình bày một số định lý điểm bất động trong không gian metric xác suất. Đầu tiên là một số định lý về điểm bất động trong không gian metric xác suất đầy đủ cho ánh xạ co xác suất. Trong phần này có trình bày hai xu hớng về nghiên cứu định lý điểm bất động trong không gian metric xác suất. Xu hớng đặt điều kiện lên t-chuẩn của không gian, xu hớng thứ hai là đặt điều kiện lên hàm phân phối khoảng cách của không gian. Sở dĩ có hai xu hớng nh vậy, nguyên nhân là tồn tại một không gian metric xác suất đủ, và một ánh xạ co mà không có điểm bất động trên đó. Đây chính là định lý nổi tiếng của H. Sherwood. Kế đến, luận văn trình bày các định lý điểm bất động khi đặt điều kiện lên hàm phân phối khoảng cách với các t-chuẩn T T L . Các định lý này tìm đợc ứng dụng cho một số định lý về điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên. Phần tiếp theo, luận văn trình bày các định lý điểm bất động cho các ánh xạ q co xác suất và một số tổng quát hóa của ánh 1 2 xạ co. Phần tổng quát hóa chủ yếu theo các hớng. Hớng thứ nhất, phát biểu định lý điểm bất động cho ánh xạ co tổng quát. Hớng thứ hai là các định lý cho ánh xạ q co địa phơng. Trong chơng 3, xin trình bày về các hệ quả đợc rút ra từ các định lý viết trong chơng 2 cho các định lý về điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy GS.TSKH Đặng Hùng Thắng . Thầy đ dành nhiều tình cảm và công sức động viên, nhắc nhở trong quá trình tôi hoàn thành luận văn. Tôi đ học tập đợc nhiều kinh nghiệm quí báu trong nghiên cứu khoa học mà thầy hết lòng hớng dẫn tôi từ cách đọc sách đến khả năng tìm tài liệu. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin đ luôn quan tâm và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi cũng nh các học viên cao học khác trong quá trình học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp ở Bộ môn Đại Số và Xác Suất Thống Kê, Đại học Giao Thông Vận Tải đ động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có điều kiện tập trung hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên của Xê mi na do GS.TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì, tôi đ học tập đợc rất nhiều về kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa học từ Xemina. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và ngời thân đ động viên tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Ngời thực hiện Ngô Quang Quỳnh Mục lục Mở đầu 1 1 Không gian metric xác suất 5 1.1 Hàm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Chuẩn tam giác và đối chuẩn tam giác . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Hàm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Các định nghĩa về không gian metric xác suất và các không gian liên quan 10 1.3 Không gian Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Topo trên không gian metric xác suất, tính đầy đủ của không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Topo mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Sự hội tụ trong không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Không gian định chuẩn ngẫu nhiên và không gian tiền chuẩn . . . . . . 17 1.6 Không gian metric liên quan tới độ đo tách đợc . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.1 Độ đo tách đợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.2 Các không gian metric xác suất liên quan . . . . . . . . . . . . 26 2 Các định lý điểm bất động trong không gian metric xác suất 31 2.1 Các nguyên lý B co xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 4 2.2 Một số tổng quát hóa của các nguyên lý B co xác suất cho ánh xạ đơn trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.1 Các định nghĩa liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.2 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 áp dụng vào các định lý điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 68 3.1 Một số định lý áp dụng trong E-không gian . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2 Hai lớp đặc biệt của q co xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Chơng 1 Không gian metric xác suất 1.1 Hàm tam giác 1.1.1 Chuẩn tam giác và đối chuẩn tam giác Định nghĩa 1.1.1. Một chuẩn tam giác( t- chuẩn) là một toán tử nhị phân trên đoạn đóng [0, 1], có nghĩa là, một hàm T : [0, 1] 2 [0, 1] sao cho với mọi x, y, z [0, 1] các tiên đề sau đợc thỏa mn: 1. T (x, y) = T (y, x) (Giao hoán); 2. T (x, T(x, z)) = T (T (x, y), z) (Kết hợp); 3. T (x, y) T(x, z) với y z ( Đơn điệu); 4. T (x, 1) = x (chuẩn hóa). Định nghĩa 1.1.2. Nếu T là một t- chuẩn, khi đó t- đối chuẩn đối ngẫu vớ nó S : [0, 1] 2 [0, 1] đợc cho dới dạng S(x, y) = 1 T (1 x, 1 y). Ví dụ 1.1.1. 1. Minimum T M và maximum S M cho bởi T M (x, y) = min(x, y), 5 6 S M (x, y) = max(x, y); 2. Tích T P và tổng xác suất S P cho bởi T P (x, y) = x.y, S P (x, y) = x + y x.y; 3. t- chuẩn Lukasiewicz T L và t- đối chuẩn Lukasiewicz S L cho bởi T L (x, y) = max(x + y 1, 0), S L (x, y) = min(x + y, 1); 4. t- chuẩn yếu nhất ( tích drastic) T D và t- đối chuẩn mạnh nhất S D cho bởi T D (x, y) = min(x, y) nếu max(x, y) = 1; 0 trờng hợp khác, S D (x, y) = max(x, y) nếu min(x, y) = 0, 1 trờng hợp khác Ví dụ 1.1.2. 1. Họ t- chuẩn Frank (T F ) [0,+] cho bởi T F (x, y) = T M (x, y) nếu = 0, T P (x, y) nếu = 1, T L (x, y) nếu = +, log (1 + ( x 1)( y 1) 1 ) trờng hợp khác. 2. Họ t-chuẩn Yager (T Y ) [0, +] cho bởi T Y (x, y) = T D (x, y) nếu = 0, T M (x, y) nếu = +, max(0, 1 ((1 x) + (1 y) ) 1 ) trờng hợp khác. 7 3. Họ t- chuẩn Sugeno -Weber cho bởi T SW (x, y) = T D (x, y) nếu = 1 T P (x, y) nếu = , max(0, x+y1+xy 1+ ) trờng hợp khác. 4. Họ lũy linh minimum T nM đợc cho bởi T nM (x, y) = min(x, y) nếu x + y > 1, 0 trờng hợp khác. Định nghĩa 1.1.3. t -chuẩn T 1 đợc gọi là yếu hơn T 2 nếu T 1 (x, y) T 2 (x, y) đúng với mọi (x, y) [0, 1] 2 . Ta cũng nói T 2 là mạnh hơn T 1 . Nhận xét 1.1.1. Ta có thứ tự mạnh yếu sau: T D < T L < T P < T M Định nghĩa 1.1.4. Một t-chuẩn T đợc gọi là Archimedean nếu với mọi (x, y) (0, 1) 2 tồn tại mọt số tự nhiên n N sao cho x (n) T < y. Bổ đề 1.1.1. Một t-chuẩn T là Archimedean nếu và chỉ nếu với mỗi x (0, 1) chúng ta có lim n x (n) T = 0. Định nghĩa 1.1.5. Một t-chuẩn T gọi là có kiểu H nếu họ (x (n) T ) nN là liên tục đồng bậc tại điểm x = 1. 1.1.2 Hàm tam giác Định nghĩa 1.1.6. Một hàm phân phối khoảng cách F : [, ] [0, 1] là một hàm phân phối với giá chứa trong [0, ]. Họ các hàm phân phối khoảng cách ký hiệu là + . Ta ký hiệu D + = {F |F + , lim x F (x) = 1}. 8 Ta ký hiệu là họ tất cả các hàm phân phối trên [, ]. Định nghĩa 1.1.7 (Hàm Dirac). Ta có với a [, ) thì H a (u) = 0 nếu u [, a], 1 nếu u (a, ], Còn với a = ta có H (u) = 0 nếu a [, ), 1 nếu u = . Trong chúng ta đặt vào đó một thứ tự sau: nếu F và G là hai hàm phân phối thì ta nói F G khi và chỉ khi F (x) G(x) x [, ]. Khi đó, ta có ( + , ) là sắp thứ tự bộ phận với H là phần tử lớn nhất và H là phần tử bé nhất. Chúng ta có H a [0, ]. Định nghĩa 1.1.8. Một hàm tam giác là một phép toán hai ngôi : + ì + + trên + mà thỏa mn các tính chất 1. Tính chất giao hoán: (F, G) = (G, F )F, G + . 2. Tính chất kết hợp: ( (F, G), H) = (F, (G, h))F, G, H + . 3. Không giảm theo mỗi biến: với F, G + và F G, thì (F, H) (G, H)H + . 4. Nhận H 0 là phần tử đơn vị: (H 0 , F ) = F F + . Nhận thấy H là phần tử không của . Tức là, với mọi F + chúng ta có H (H , F ) (H , H 0 ) = H . Nếu 1 và 2 là hai hàm tam giác khi đó 1 là yếu hơn 2 ( hay 2 là mạnh hơn 1 ). 1 2 , nếu với mọi F, G trong + và với x in R + 1 (F, G)(x) 2 (F, G)(x). 9 Ví dụ 1.1.3. Cho T là một t-chuẩn liên tục trái. Khi đó hàm T : + ì + + xác định bởi T (F, G)(x) = T (F (x), G(x)) là một hàm tam giác. Ví dụ 1.1.4. T M xác định bởi T M (F, G)(x) = T M (F (x), G(x)) là hàm tam giác lớn nhất. Thật vậy với bất kỳ hàm tam giác ta có (F, G) (F, H 0 ) = F và (F, G) (H 0 , G) = G. Vì thế ta có (F, G)(x) T M (F (x), G(x)) = T M (F, G)(x) (x R + ). Ví dụ 1.1.5. Nếu T là một t-chuẩn liên tục trái, khi đó T , đợc định nghĩa bởi T (F, G)(x) = sup u,vR {T (F (u), G(v))|u + v = x} là một hàm tam giác. Một hàm tam giác là liên tục, nếu nó liên tục trong topo hội tụ yếu trong + . Ví dụ 1.1.6. Nếu F, G + khi đó tích chập F G trên [0, ) định nghĩa bởi (F G)(0) = 0, (F G)() = 1 và (F G)(x) = [0,x) F (x t)dG(t) với x (0, ). Định nghĩa 1.1.9. L là lớp tất cả các phép toán hai ngôi trên [0, ) thỏa mn điều kiện: 10 1. L ánh xạ [0, ) 2 vào [0, ); 2. L là không giảm theo cả hai tọa độ; 3. L là liên tục trên [0, ) 2 ( ngoại trừ có thể tại hai điểm (0, ) và (, 0)). Định nghĩa 1.1.10. Với một t-chuẩn T và L L, hàm T,L định nghĩa trên + ì + và với giá trị trong [0, ) cho bởi T,L (F, G)(x) = sup{T (F (u), G(v))|L(u, v) = x}. Trong trờng hợp đặc biệt L(x, y) = x + y chúng ta nhận đợc T,L = T . Định lý 1.1.2. Nếu T là một t-chuẩn liên tục trái và L từ L là giáo hoán, kết hợp, có 0 là phần tử đơn vị và thỏa mn điều kiện nếu u 1 < u 2 và v 1 < v 2 thì L(u 1 , v 1 ) < L(u 2 , v 2 ), (1.1) khi đó T,L là một hàm tam giác. Điều kiện (1.1) là yếu hơn tính tăng ngặt của L theo mỗi biến. Tài liệu tham khảo về chuẩn tam giác có thể xem tại [6] 1.2 Các định nghĩa về không gian metric xác suất và các không gian liên quan Định nghĩa 1.2.1. Một không gian metric xác suất theo nghĩa của Serstnev là một bộ ba (S, F, ) với S là một tập khác rỗng, F : S ì S + cho bởi (p, q) F p,q , là một hàm tam giác, sao cho điều kiện sau đây đợc thỏa mn với mọi p, q, r trong S : 1. F p,p = H 0 ; 2. F p,q = H 0 , với p = q; 3. F p,q = F q,p ; [...]... 13 Khi đó, ta có bộ ba (S, F , TL ) l một không gian Menger v đợc gọi l E -không gian trên không gian metric (M, d) Định nghĩa 1.3.2 Một không gian metric xác suất m (S, F , ) với l một tích chập đợc gọi l không gian Wald Định lý 1.3.1 Một không gian metric xác suất (S, F, ), l không gian Wald thì l không gian Menger (S, F , TP ) Chứng minh Trong một không gian Wald, với bất kỳ x, y 0 v p, q, r S... đúng thì cặp (S, F) l một không gian tiền metric xác suất Định nghĩa 1.2.4 Nếu chỉ có tiên đề 1, 3 v tiên đề 4 trong định nghĩa (1.2.1) đúng thì cặp (S, F, ) l một không gian giả metric xác suất v (S, F) l một không gian tiền metric xác suất với Định nghĩa 1.2.5 Nếu tiên đề 1, 2 v 3 trong định nghĩa (1.2.1) đúng thì cặp (S, F) đợc gọi l không gian nửa metric xác suất 1.3 Không gian Menger Định nghĩa... (, ) N sao cho Fpn ,pm > 1 , với mọi n, m n0(, ) 1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ Định nghĩa 1.4.3 (Định nghĩa không gian metric xác suất đủ) Không gian metric xác suất (S, F, T ) đợc gọi l đầy đủ nếu mọi d y Cauchy trong (S, F , T ) đều có giới hạn trong (S, F , T ) Mệnh đề 1.4.2 Cho (S, F, TL ) l một E không gian trên không gian metric đủ (M, d) Khi đó ta có các khẳng định sau tơng đơng:... + y) Fp,q (x).Fq,r (y) 14 1.4 Topo trên không gian metric xác suất, tính đầy đủ của không gian metric xác suất 1.4.1 Topo mạnh Ta định nghĩa topo mạnh đợc xây dựng từ hệ các lân cận N = pS Np, với Np = {Np(t)|t > 0} v Np(t) = {q|Fp,q (t) > 1 t} với t > 0 v p S Định lý 1.4.1 Cho (S, F, ) l một không gian metric xác suất Nếu l liên tục khi đó hệ lân cận N xác định trên S một topo Hausdorff Chúng... l ta có bất đẳng thức tam giác Ngợc lại, nếu (M, d) l một không gian metric cổ điển thì ta lấy Fp,q định nghĩa bởi (1.3) chúng ta nhận đợc với bất kỳ t-chuẩn T n o ta có Fp,q l h m phân phối thỏa m n cả bốn tiên đề về không gian metric xác suất Ví dụ 1.3.8 (Drossos) Cho (M, d) l một không gian metric khả ly v ( , A, P ) l một không gian xác suất Chúng ta sẽ ký hiệu S l tập hợp tất cả các lớp tơng đơng... mọi p, q S v với mọi x, y > 0 Mọi không gian định chuẩn (S, ã ) l một không gian định chuẩn ngẫu nhiên (S, F , TL ), với Fp (x) = 1 0 nếu p < x, nếu p x V nếu (S, F, TL ), l một không gian định chuẩn thì với F (p, q) = Fpq , p, q S thì (S, F , T ) l không gian Menger Ví dụ 1.5.9 Cho (M, ã ) l một không gian định chuẩn khả ly, ( , A, P ) l một không gian xác suất v S( , A, P ) l tập hợp tất cả... 1.5.2 Cho (S, F) l một không gian nửa metric xác suất v > 0, (0, 1) Không gian (S, F) đợc gọi l (, ) xích hóa đợc nếu với mỗi p, q S tồn tại d y điểm hữu hạn trong S, p = p0, p1, , pn = q, sao cho Fpi +1,pi () > 1 với mọii {0, 1, , n 1} Mệnh đề 1.5.5 Cho (S, F, T ) l một không gian định chuẩn ngẫu nhiên Khi đó với mọi > 0 v (0, 1), (S, F) l một không gian nửa metric xác suất (, ) xích hóa đợc... l một không gian metric đủ, nh vậy tồn tại X S, 0 A, s m( 0) =1 sao cho lim XNs () = X(), s 0 Vì s m l một độ đo xác suất nên Xn hội tụ tới X theo xác suất s m Điều n y suy ra từ (Xn )nN l một d y Cauchy ứng với độ đo s m M hội tụ theo s m kéo theo hội tụ theo m v ta có điều phải chứng minh Chơng 2 Các định lý điểm bất động trong không gian metric xác suất 2.1 Các nguyên lý B co xác suất Cho... thì bộ ba (S, F, T ) l không gian Menger không có tính Arrchimedean Ta xét một trờng hợp đặc biệt của không gian Menger để thu đợc không gian metric cổ điển Ví dụ 1.3.7 Nếu ta giả sử tồn tại một h m d, d : M ì M [0, ), sao cho Fp,q (x) = Hd(p,q) (p, q M, x R) (1.3) khi đó ta nhận đợc không gian Menger (M, F, T ), với F(p, q) = Hd(p,q) , với bất kỳ t-chuẩn T l một không gian metric cổ điển Ta có với... l một không gian metric v f : M M Nếu tồn tại một số q [0, 1) sao cho d(f x, f y) qd(x, y) với mọi x, y M, khi đó f đợc gọi l q co Mội ánh xạ q co f : M M trên một không gian metric đủ (M, d) có duy nhất một điểm bất động Đây chính l nội dung của nguyên lý Banach( gọi tắt l nguyên lý B co) Định nghĩa 2.1.1 Cho (S, F ) l một không gian metric xác suất Một ánh xạ f : S S l ánh xạ q co xác suất (q . trình bày về không gian metric xác suất. Chơng 1 chủ yếu trình bày về định nghĩ không gian metric xác suất, topo trong không gian metric xác suất và một. n 0 (, ). 1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ Định nghĩa 1.4.3 (Định nghĩa không gian metric xác suất đủ). Không gian metric xác suất (S, F, T ) đợc