chuyên đề về số phức

Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức ĐẶT VẤN ĐỀ Số phức đóng vai trò quan trọng như là công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán đại số, giải tích, hình học, số học và tổ hợp. Trong các kì thi học sinh giỏi toán thành phố, quốc gia, Olympic khu vực và quốc tế, nhiều bài toán liên quan đến số phức hoặc giải quyết trên quan điểm áp dụng các tính chất của số phức. Số phức cũng là chuyên đề quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp THPT và thi ĐH – CĐ. Nhận thức được điều đó, tổ toán trường THPT Lê Quý Đôn mạnh dạn đưa ra một số quan điểm về chuyên đề số phức, tiến hành hội thảo cùng các đồng nghiệp trong cụm và các trường bạn trong thành phố góp ý xây dựng. Chúng tôi rất mong được sự góp ý chân thành từ các bạn đồng nghiệp để để chuyên đề được hoàn thiện hơn, hội thảo thành công tốt đẹp. 1 Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I. ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC II. BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM – MAX, MIN CỦA MÔĐUL SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VẤN ĐỀ 7: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 8: SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ( Hẹn năm sau) III. BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ Đà QUA 2 Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức PHẦN I. ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức Số Phức (dạng đại số) có dạng z a bi= + với a, b RÎ , a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo, i là số ảo, i 2 = –1. z là số thực ⇔ phần ảo của số phức z bằng 0 (b = 0). z là số thuần ảo ⇔ phần thực của số phức z bằng 0 (a = 0). Số 0 vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo. Hai số phức ' ' ' ( , , ', ' ) ' a a a bi a b i a b a b R b b ì ï = ï + = + ÛÎ í ï = ï î . Tập hợp các số phức kí hiệu là £ và Ì¡ £ . 2. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức z = a + bi (a, b )RÎ xác định một điểm M(a; b) hay xác định một véc tơ ( ; )u a b= r trong mặt phẳng (oxy). Ta có quan hệ tương ứng 1–1 giữa tập các số phức với tập hợp điểm trong mặt phẳng (oxy) hay tập các không gian véc tơ hai chiều. Do vậy mặt phẳng (oxy) còn gọi là mặt phẳng phức. 3. Tổng hai số phức, hiệu hai số phức ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ + + = + + + . ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ - + = - + - . Số đối của số phức z = a + bi là số phức z’ = –a – bi và ta kí hiệu số đối của số phức z là –z . Vậy –z = -a – bi. Véc tơ u r biểu diễn số phức z, véc tơ 'u r biểu diễn số phức z' thì véc tơ 'u u+ r r biểu diễn số phức z + z’ và véc tơ 'u u- r r biểu diễn số phức z – z’. 4. Nhân hai số phức. ( ) ( ) ( ) ( ) ' '  ' ' '   'a bi a b i aa bb ab ba i+ + = - + + . ( ) ( )k a bi ka kbi k R+ = + Î . 5. Số phức liên hợp. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số z a bi= - 3 y O a b Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức 1 1 2 2 ; ' ' ; . ' . '; z z z z z z z z z z z z z z æ ö ÷ ç ÷ = ± = ± = = ç ÷ ç ÷ ç è ø ; 2 2 .z z a b= + . z là số thực ⇔ z z= ; z là số ảo ⇔ z z= - . 6. Môdul của số phức. Số thực 2 2 z a b= + Î ¡ gọi là môdul của số phức z = a + bi. 2 2 z a b zz OM= + = = uuur với ( ) ;M a b là điểm biểu diễn số phức z. 0, , 0 0z z C z z" = =³ Î Û . . ' . 'z z z z= ; ' ' z z z z = ; ' ' 'z z z z z z- ± +£ £ . 7. Chia hai số phức. Số nghịch đảo của số phức z là số phức 1 z - thoả mãn 1 . 1z z - = . Kí hiệu 1 1 z z - = ; 1 2 1 z z z - = (z ≠ 0); 1 2 ' '. '. ' . z z z z z z z z z z z - = = = ; ' ' z w z wz z = =Û 8. Căn bậc hai của số phức. w x yi= + là căn bậc hai của số phức z a bi= + khi và chỉ khi 2 w z= ⇔ 2 2 2 x y a xy b ì ï - = ï ï í ï = ï ï î . Số 0 có một căn bậc hai là số w = 0. Số z 0¹ có hai căn bậc hai đối nhau là w và – w. Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là a± . Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là i a± - . 9. Giải phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C Î £ , A 0¹ ). * Tính 2 2 4B A C d = - =D , d là 1 căn bậc hai của ∆. * 0D ¹ : pt(*) có hai nghiệm phân biệt 2 B z A d - ± = . * 0=D : pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép) 2 B z A = - . Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ số thực, z là nghiệm của pt(*) thì z cũng là 4 Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức nghiệm của pt(*). Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số thực thì ta biết được nghiệm còn lại. 10. Dạng lượng giác của số phức. Mỗi góc lượng giác ( , )Ox OM j = gọi là một Acgumen của số phức z. Khi đó số phức ( ) 2 2 2 2 2 2 cos sin 0 a b z a bi a b i r i a b a b j j æ ö ÷ ç ÷ ç = + = + + = + ¹ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø + + với 2 2 , cos , sin a b r a b r r j j = + = = gọi là dạng lượng giác của số phức z. 1 cos sin ( )z z i R j j j = = +Û Î . 11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i j j j j = + = + . Khi đó . ' '. cos( ') sin( ')z z rr i j j j j é ù = + + + ë û . cos( ') sin( ') ' ' z r i z r j j j j é ù = - + - ë û . 12. Công thức Moa–vrơ: ( ) ( ) cos sin cos sin n n r i r n i n j j j j é ù + = + ê ú ë û , ( ) * n NÎ . ( ) cos sin cos sin n i n i n j j j j + = + . 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Số phức (cos sin )z r i j j = + , (r > 0) có hai căn bậc hai là 2 2 cos sin cos sin , 0,1 2 2 2 2 k k r i r i k j j j p j p æ ö æ ö + + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ± + = + = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Mở rộng: Số phức (cos sin )z r i j j = + (r > 0) có n căn bậc n là 2 2 cos sin , 0,1, , 1 n k k r i k n n n j p j p æ ö + + ÷ ç ÷ + = - ç ÷ ç è ø PHẦN II. BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA MỘT SỐ PHỨC Để tìm phần thực, phần ảo của một số phức ta đưa số phức đó về dạng đại số. 1.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ 5 Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức VÍ DỤ 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau a. ( ) ( ) ( ) 2 4 3 5 7 4 3z i i i= + - + - b. ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 3 2z i i i= - - - + c. 3 2 1 i i z i i - + = - + Bài giải a. ( ) ( ) 26 2 28 21 54 19z i i i= + + - = - Vậy phần thực của z là 54, phần ảo của z là -19. b. ( ) ( ) 3 4 12 5 15z i i i= - - - - = - + Vậy phần thực của z là -15, phần ảo của z là 1. c. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 2 2 2 i i z i i i - - - + = - - = - - - 3 3 2 2 3 1 2 2 i - - - = + Vậy phần thực của z là 3 3 2 - , phần ảo của z là 2 2 3 1 2 - - VÍ DỤ 2. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau a. ( ) 10 1z i= + b. ( ) ( ) ( ) 2 20 1 1 1 1z i i i= + + + + + + + Bài giải a. Ta có ( ) 2 1 2i i+ = suy ra ( ) ( ) 10 5 1 2 32i i i+ = = Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là 32. b. Nhận thấy z là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội là ( ) 1 i+ . Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 2 21 10 10 10 1 1 . 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 i i i i i i z i i i i é ù - + + ê ú - + - + + + ê ú ë û = = = = - - - - + ( ) 10 10 2 2 1 i= - + + . Vậy phần thực của z là 10 2- , phần ảo của z là 10 2 1+ 6 Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức VÍ DỤ 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( ) 10 3z i= + Bài giải Ta có ( ) 10 10 10 5 5 3 2 cos sin 2 cos sin 6 6 3 3 z i i i p p p p é ù æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ê ú ÷ ÷ = + = + = + ç ç ÷ ÷ ê ú ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø ë û 10 10 10 10 9 9 5 5 1 3 2 cos 2 sin 2 . 2 . 2 2 3 3 3 2 2 i i i p p æ ö ÷ ç ÷ ç = + = + - = - ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø Vậy phần thực của z là 9 2 , phần ảo của z là 9 2 3- . VÍ DỤ 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( ) ( ) 10 5 3 3 i z i + = + Bài giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 5 5 5 2 cos sin 3 3 6 6 3 3 2 cos sin 6 6 i i i z i i i p p p p é ù æ ö ÷ ç ê ú ÷ + ç ÷ + + ê ú ç ÷ ç è ø ë û = = = é ù æ ö - - - ÷ ç + ê ú ÷ + ç ÷ ê ú ç ÷ ç è ø ë û 5 5 5 cos sin 3 3 2 5 5 cos sin 6 6 i i p p p p æ ö ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç è ø = æ ö - - ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç è ø 5 5 5 5 2 cos sin 2 2 2 i i p p æ ö ÷ ç ÷ = + = ç ÷ ç ÷ ç è ø . Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là 5 2 . VÍ DỤ 5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( ) ( ) ( ) 2 10 1 3 1 3 1 3z i i i= + + + + + + Bài giải Tổng trên là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Ta có ( ) ( ) ( ) 10 10 10 1 3 1 3 10 10 1 3 . . 2 .cos 2 . sin 1 3 3 3 3 i i z i i i p p + - - æ ö æ ö ÷ ÷ç ç ÷ ÷ = + = + - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø (Hs làm tiếp). 7 Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức VÍ DỤ 6. Tìm phần thực phần ảo của số phức z biết 5z = và ( ) 3z i- Î ¡ . Bài giải Gọi phần thực, phần ảo của z lần lượt là x, y ( ) ;x y Î ¡ . Ta có 2 2 5 25z x y= + =Û (1) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3z i x yi i y x i x- = - - = + - =ÎÛ¡ (2). Từ (1) và (2) ta tìm được x = 3, y = 4 hoặc -4. VÍ DỤ 7(KD.2010). Tìm số phức z thỏa mãn 2z = và 2 z là số ảo. Bài giải Giả sử số phức z đó là z = x+iy, ,x y Î ¡ 2 2 2x y+ =Þ (1). Ta lại có ( ) 2 2 2 2z x y xyi= - + là số ảo 2 2 0x y- =Û (2). Từ (1) và (2) có hệ phương trình 2 2 2 2 1 1 1 2 1 0 1 1 x y x y x x y y x y x y é = = ê ê = = - ê ê ì ì ï ï = + = ê ï ï ï Û í ê í ï = - ï - = ê ï ï î ï î ê ì ï ê = - ï ê í ê ï = ï ê î ë Vậy có 4 số phức z thoả mãn là 1 ; 1 ;1 ; 1i i i i+ - - - - + . VÍ DỤ 8 CĐ 2010. Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 1 3i z i z i- + + = - + . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . Bài giải Giả sử số phức z đó là z = x+iy, ,x y z x yi= -Î Þ¡ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 6 4 2 2i z i z x y x y i- + + = + + - - , ( ) 2 1 3 8 6i i- + = - . Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 6 4 8 2 2 3 4 1 3 2 2 6 5 x y x i z i z i x y y ì ì ï ï + = = - ï ï - + + = - + ÛÛ í í ï ï - - = - = ï ï î î . Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là -2, 5. VÍ DỤ 9. Tìm các căn bậc hai của số phức 16 30i+ . Bài giải 8 Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức Giả sử w = x+iy, ,x y Î ¡ là căn bậc hai của số phức 16 30i+ khi và chỉ khi 2 2 5 16 3 2 30 x x y y xy ì ì ï ï = - = ï ï ï Û í í ï ï = = ï ï î ï î hoặc 5 3 x y ì ï = - ï í ï = - ï î . Vậy có hai căn bậc hai của số phức 16 30i+ là 5 3 ; 5 3i i+ - - . 1.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau a. ( ) ( ) 3 3 2 3i i+ - - b. 7 7 1 1 2 i i i æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø c. ( ) ( ) ( ) 33 10 1 1 1 2 3 2 3 1 i i i i i i æ ö + ÷ ç ÷ + - + + - + ç ÷ ç ÷ ç - è ø Bài 2. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau a. ( ) ( ) 50 49 1 3 i z i + = + b. ( ) 7 5 cos sin 1 3 3 3 i i i p p æ ö ÷ ç ÷ - + ç ÷ ç ÷ ç è ø c. 10 10 1 z z + biết 1 1z z + = Bài 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết 5z = và 7 1 z i z - Î + ¡ Bài 4. Cho 1 2 ;z z Î £ thỏa mãn: 1 3z = , 2 4z = , 1 2 5z z- = . Tìm phần thực phần ảo của số phức 1 2 z z z = Bài 5. Cho số phức z x yi= + ( ) ;x y Î ¡ . Tìm điều kiện của x; y để số phức ( ) ( ) 2 z i z- + là số thuần thực. Bài 6. Biết số ( ) ( ) 2 z i z- + là một số thuần ảo, hãy tìm ( ) 2 2z i- + . Baøi 7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 2 (3 2 )(2 5 ) (3 ) (4 3 ) i i z i i + + = - + + Baøi 8.Viết số phức sau dưới dạng a+bi. a) 2 2 (1 ) (1 – )i i+ - b) 3 3 (2 ) (3 )i i+ - - c) 2 (3 4 )i+ 9 Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức d) 3 1 3 2 i æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø e) 2 2 2 2 (1 2 ) (1 ) (3 2 ) (2 ) i i i i + - - + - + f) 6 (2 )i- Baøi 9. Cho các số phức 1 2 3 1 2 , 2 3 , 1z i z i z i= + = - + = - . Tính a) 1 2 3 z z z+ + b) 1 2 2 3 3 1 z z z z z z+ + c) 1 2 3 z z z d) 2 2 2 1 2 3 z z z+ + e) 1 2 3 2 3 1 z z z z z z + + f) 2 2 1 2 2 2 2 3 z z z z + + Baøi 10. Tìm x, y sao cho a) (1 2 ) (1 2 ) 1i x y i i- + + = + b) 3 3 3 3 x y i i i - - + = + - Baøi 11. Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử, với a, b, c ∈ R: a) 2 1a + b) 2 2 3a + c) 4 2 4 9a b+ d) 2 2 3 5a b+ e) 4 16a + f) 3 27a - g) 3 8a + h) 4 2 1a a+ + Baøi 12. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau a) 1 4 3i- + b) 4 6 5i+ c) 1 2 6i- - d) 5 12i- + Baøi 13. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau. e) 2 1 1 i i æ ö + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - è ø f) 2 1 3 3 i i æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - è ø g) 1 2 2 2 i- h) i, –i VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC PHƯƠNG PHÁP Biến đổi ( ) 2 2 2 2 2 2 cos sin x y z x yi x y i z i x y x y j j æ ö ÷ ç ÷ ç = + = + + = + ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç + + è ø Sau đó sử dụng linh hoạt công thức Moa–vrơ. Sau đây là một số ví dụ cơ bản. 2.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ VÍ DỤ 1. Viết số phức 1 3z i= - + dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một acgument của z. Bài giải Biến đổi 1 3 2 2 1 3 2 2 cos sin 2 2 3 3 z i i i p p æ ö æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = - + = + = + ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ç ÷ è ø ç è ø . Suy ra 10 . của số phức 1 2 z z z = Bài 5. Cho số phức z x yi= + ( ) ;x y Î ¡ . Tìm điều kiện của x; y để số phức ( ) ( ) 2 z i z- + là số thuần thực. Bài 6. Biết số ( ) ( ) 2 z i z- + là một số. 1i i i i+ - - - - + . VÍ DỤ 8 CĐ 2010. Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 1 3i z i z i- + + = - + . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . Bài giải Giả sử số phức z đó. mỗi số phức sau a. ( ) ( ) 50 49 1 3 i z i + = + b. ( ) 7 5 cos sin 1 3 3 3 i i i p p æ ö ÷ ç ÷ - + ç ÷ ç ÷ ç è ø c. 10 10 1 z z + biết 1 1z z + = Bài 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức