55 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8

phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1998 -1999 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Xác định hệ số a sao cho: a) 27x 2 + a chia hết cho 3x + 2 b) 3x 2 + ax + 27 chia hết cho x + 5 có số d bằng 2 Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999 Rút gọn biểu thức: 1999a b c ab 1999a 1999 bc b 1999 ac c 1 + + + + + + + + Câu 3: Cho abc 0 và a + b+ c 0 giải phơng trình: a b x a c x b c x 4x 1 c b a a b c + + + + + + = + + Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng có bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF. a. Chứng minh AE vuông góc với BC. b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng. c. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định. d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. 1 đề chính thức phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1999 -2000 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Tìm số tự nhiên n để: a) Số A = n 4 + 4 là số nguyên tố. b) Phân số 7 2 8 n n 1 n n 1 + + + + tối giản. Câu 2. Cho biểu thức: 2 3 2 3 1 a 1 4a 2b 2 A : 2a b a 2a b 2a a b a b ab + = ữ ữ + + + a. Rút gọn A b. Tính giá trị của A biết 4a 2 + b 2 = 5ab và a > b > 0 Câu 3. Giải phơng trình: ( ) 2 2 x-101 x-103 x-105 a, 3 86 84 82 b, x 9 12x 1 + + = = + Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Gọi E và F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD thì tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 5. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. a. Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: 1 MO IC 2 = b. Tính số đo góc BMK? c. Gọi P và Q lần lợt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất? 2 đề chính thức phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2001- 2002 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức: 2 2 2 2 2 2 a b a b P ab ab b ab a + = + + a. Rút gọn P. b. Có giá trị nào của a, b để P = 0? c. Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện: 3a 2 + 3b 2 = 10ab và a > b > 0 Câu 2: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng: a. (n 2 + n -1) 2 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n. b. Tổng các lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. Câu 3: ( 3 điểm) Giải phơng trình: x 4 + x 2 + 6x 8 = 0 Câu 4: ( 3 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) Câu 5: (7,5 điểm) Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đờng trung tực trong tam giác, H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH. a. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi? b. Chứng minh AQ = OM. c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng. d. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đờng nào? 3 đề chính thức phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2001- 2002 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: M = 2(a 3 + b 3 ) 3(a 2 + b 2 ) Câu 2: Chứng minh rằng: a b c 1, 1 ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 + + = biết abc = 1. 2 * 4 2 n n 1 2, (n N ) n n 1 + + + + không là phân số tối giản. Câu 3: Cho biểu thức: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 P a a a 3a 2 a 5a 6 a 7a 12 a 9a 20 = + + + + + + + + a. Tìm điều kiện để P xác định. b. Rút gọn P. c. Tính giá trị của P biết a 3 - a 2 + 2 = 0 Câu 4 * : Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x 2n + x n +1 chia hết cho đa thức x 2 + x + 1 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đờng thẳng qua C và vuông góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD. a. Chứng minh: tam giác EMC cân. b. Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM. c. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC. 4 đề chính thức phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2002- 2003 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết: a. 3 2 A n n n 1= + là một số nguyên tố. b. 4 4 3 2 n 16 C n 4n 8n 16 = + + có giá trị là một số nguyên. c. D = n 4 + 4 n là một số nguyên tố. Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc 0. a. Chứng minh: a 3 + b 3 + c 3 -3abc =0 b. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c a b P a b c b c a c a b = + + + + Bài 3: a. Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x c x b x c 1 b a b c a b a c + = b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x 2 - y 2 + 2x - 4y -10 = 0 Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đờng chéo. Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F. a. Chứng minh : AOD BOC S S = b. Chứng minh: OE = OF. c. Chứng minh: 1 1 2 AB CD EF + = d. Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF. 5 đề chính thức phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2003- 2004 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức: 2 3 2 a 4a 4 A a 2a 4a 8 + + = + a. Rút gọn A. b. Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên. Câu 2. Cho x, y, z đôi một kh`ác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: 2 2 2 x yz y xz z xy a b c = = thì ta có: 2 2 2 a bc b ca c ab x y z = = Câu 3. Giải phơng trình: a, 2 2 2 1 1 1 18 x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42 + + = + + + + + + b, x 2 + 3 y = 3026 với x, y N Câu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dơng. Biết f(0); f(x) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên. Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng minh rằng: a. 2 1 BD.CE BC 4 = b. DM là phân giác của góc BDE. c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnhAB và AC. 6 đề chính thức Tỉnh vĩnh phúc PHềNG GD-DT Huyn Trc Ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2004- 2005 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1 (4 im) Cho phõn thc A= 23 12 3 24 + xx xx . a)Tỡm iu kin ca x A cú ngha. b)Rỳt gn A. c)Tỡm x A cú giỏ tr bng 4. Bi 2 (3 im) Xỏc nh a thc f(x) bc 3 sao cho khi chia a thc y ln lt cho cỏc nh thc (x-1);(x-2);(x-3)j u c d l 6 v ti x=-1 thỡ a thc nhn giỏ tr bng -18. Bi 3 (4 im) a)Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B= . 1 34 2 + + x x b)Chng minh rng a 4 +b 4 a 3 b+ab 3 . Bi 4 (7 im) Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, im M thuc cnh BC, im N thuc cnh AD sao cho CM=AN.Cỏc ng thng AM,BN ct CD theo th t E,F. a)Chng minh CE.DF=a 2 . b)Gi I l giao im ca FA v EB.Chng minh tam giỏc CEB ng dng vi tam giỏc DAF v gúc EIF=90 0 . c)Cho CM= 3 a .Tớnh din tớch a giỏc AIBCD theo a. d)Cỏc im M v N cú v trớ nh th no thỡ EF cú di nh nht . Bi 5 (2 im) Gii phng trỡnh: .1111 2 +=++ xxx HSG 7 Câu 1: Cho x = 2 2 2 2 b c a bc + ; y = 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a + Tính giá trị P = x + y + xy Câu 2: Giải phơng trình: a, 1 a b x+ = 1 a + 1 b + 1 x (x là ẩn số) b, 2 2 ( )(1 )b c a x a + + + 2 2 ( )(1 )c a b x b + + + 2 2 ( )(1 )a b c x c + + = 0 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Câu 3: Xác định các số a, b biết: 3 (3 1) ( 1) x x + + = 3 ( 1) a x + + 2 ( 1) b x + Câu 4: Chứng minh phơng trình: 2x 2 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Câu 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đờng cao xuất phát từ B và C Đề hsg Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn: a b c c + = b c a a + = c a b b + Tính giá trị M = (1 + b a )(1 + c b )(1 + a c ) Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x 4 7x 3 + ax 2 + 3x +2 Chia hết cho y(x) = x 2 x + b Câu 3: Giải PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. 8 b, 4x 2 + 4y – 4xy +5y 2 + 1 = 0 C©u 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ph©n sè mµ tö sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè mµ mÉu lµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã. C©u 5: Cho ∆ ABC c©n t¹i A, trªn AB lÊy D, trªn AC lÊy E sao cho: AD = EC = DE = CB. a, NÕu AB > 2BC. TÝnh gãc µ A cña ABCV b, NÕu AB < BC. TÝnh gãc µ A cña HBCV . 9 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a, a 3 + b 3 + c 3 – 3abc b, (x-y) 3 +(y-z) 3 + (z-x) 3 C©u 2: Cho A = 2 2 2 (1 ) 1 x x x − + : 3 3 1 1 ( )( ) 1 1 x x x x x x   − + + −   − +   a, Rót gän A b, T×m A khi x= - 1 2 c, T×m x ®Ó 2A = 1 C©u 3: a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x 2 + y 2 + z 2 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 2 ( 10) x x + C©u 4: a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 < a a b+ + b b c+ + c c a+ < 2 b, Cho x,y ≠ 0 CMR: 2 2 x y + 2 2 y x ≥ x y + y x C©u 5: Cho ABCV ®Òu cã ®é dµi c¹nh lµ a, kÐo dµi BC mét ®o¹n CM =a a, TÝnh sè ®o c¸c gãc ACMV b, CMR: AM ⊥ AB c, KÐo dµi CA ®o¹n AN = a, kÐo dµi AB ®o¹n BP = a. CMR MNPV ®Òu. 10 [...]... cho: 0 ã ã MAB = MBA = 15 CMR: VMCA đều Đề hsg Câu 1: a, Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca CMR: a = b = c b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2 CMR: a b = với x, y 0 x y c, Rút gọn: A = (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1) Câu 2: a, Tìm số nguyên dơng n để n5+1 chia hết cho n3+1 b, Tìm các số a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hết cho x+2 và chia cho x2-1 thi d x+5 c, Nếu n là tổng 2 số chính... số trong nhóm 94 Câu 8: Cho hình vuông ABCD M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN CMR: AK = BC 15 Đề hsg Câu 1: Cho M = a b c a2 b2 c2 + + ;N= + + b+c a+c a+b b+c a+c a+b a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0 b, Nếu N = 0 thì có nhất thi t M = 1 không? Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2 CMR: a2 b2 c2 1 + + b+c a+c a+b Câu 3: Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 99 98 Tìm giá trị lớn nhất... CMR PT: 3x5 x3 + 6x2 18x = 2001 không có nghiệm nguyên b, Tìm 4 số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Câu 6: Cho n N và n >1 CMR: 1 + 1 1 1 + 2 + + 2 < 2 2 2 3 n Câu 7: Cho VABC về phía ngoài VABC vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A CMR: Trung tuyến AI của VABC vuông góc với EF và AI = Câu 8: CMR: 21n + 4 là phân số tối giản (với n N) 14n + 3 Đề hsg Câu 1: Phân tích ra... x(x+1) = k(k+2) k là số nguyên dơng cho trớc b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4 Câu 7: Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ VBCF đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ VABE đều 20 CMR: D, E, F thẳng hàng 21 Đề hsg Câu 1: Cho A = ( x x y y2 1 x 2 ):( 3 + ): 2 2 y + xy x + xy x xy x+ y y a, Tìm TXĐ của A b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0 Câu 2: a, Giải PT: x4 + 2x3 ... BC, CA, AB, Gọi P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC a, CM: PQRE, PEDQ là hình chữ nhật b, CM: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cùng cách đều một điểm Đề hsg Câu 1: Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B b, Tìm giá trị của x để A và B lấy giá trị là số đối nhau Câu 2: Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời x2+2y = -1 y2+2z = -1 z2+2x... và a+b+c = 1 CMR: b+c 16abc b, Cho 0 < a, b, c, d < 1 CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 Câu 4: Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 1 Câu 5: a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz 18 b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phơng Câu 6: Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó Câu 7:... tích hai chữ số của nó Câu 7: Cho hình thang ABCD (BC// AD) Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC CMR: E, O, F thẳng hàng Đề hsg Câu 1: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 d 1 f(x) chia cho x-4 d 8 f(x) chia cho (x+3)(x-4) thơng là 3x và d Câu 2: a, Phân tích thành nhân tử: A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000 b, Cho: x 2 yz y 2 zx z 2 xy = = a b c a 2 bc b... nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999 Câu 7: Cho hình vuông ABCD Trên BD lấy M, từ M kẻ các đờng vuông góc AB, AD tại E, F a, CMR: CF = DE; CF DE 19 b, CMR: CM = EF; CM EF c, CMR: CM, BF, DE đồng qui đề 13 (55) Câu 1: 4 1 a, Rút gọn: A = (1- 2 )(1- 4 4 ) 2 ) (13 1992 b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a2 Tính M = a b a+b Câu 2: a, Cho a, b, c > o CMR: a+b+c a2 b2 c2 + + 2 b+c c+a a+b b, Cho ab 1 CMR: 1 1... y(y+1)(y+2)(y+3) Câu 6: x2 + 2 x + 2 x2 + 4 x + 5 Giải BPT: > -1 x +1 x+2 Câu 7: Cho 0 a, b, c 2 và a+b+c = 3 CMR: a2 + b2 + c2 5 Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 150 cắt AD tại E CMR: VBCE cân Đề hsg Câu 1: Cho A = n3 + 2n 2 1 n3 + 2 n 2 + 2 n + 1 14 a, Rút gọn A b, Nếu n Z thì A là phân số tối giản Câu 2: Cho x, y > 0 và x+y... . DEF. 5 đề chính thức phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2003- 2004 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức: 2 3 2 a 4a 4 A a 2a 4a 8 + + = +. điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. 1 đề chính thức phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1999 -2000 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Tìm số tự. để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất? 2 đề chính thức phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2001- 2002 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: ( 4 điểm) Cho