Lý thuyết điều khiển mờ

If error1=NB and de1=DB Then control=CF If error1=NB and de1=DM Then control=CS If error1=NB and de1=ZR Then control=CS If error1=NM and de1=DB Then control=CS... If error1=PB and de1=

Ch ng 4

I U KHI N M

Khái ni m v logic m đ c giáo s L.A Zadeh đ a ra l n đ u tiên n m

1965, t i tr ng i h c Berkeley, bang California - M T đó lý thuy t

m đã đ c phát tri n và ng d ng r ng rãi

N m 1970 t i tr ng Mary Queen, London – Anh, Ebrahim Mamdani đã

dùng logic m đ đi u khi n m t máy h i n c mà ông không th đi u khi n

đ c b ng k thu t c đi n T i c Hann Zimmermann đã dùng logic m

cho các h ra quy t đ nh T i Nh t logic m đ c ng d ng vào nhà máy x

lý n c c a Fuji Electronic vào 1983, h th ng xe đi n ng m c a Hitachi

vào 1987

Lý thuy t m ra đ i M , ng d ng đ u tiên Anh nh ng phát tri n m nh

m nh t là Nh t Trong l nh v c T đ ng hoá logic m ngày càng đ c

ng d ng r ng rãi Nó th c s h u d ng v i các đ i t ng ph c t p mà ta

ch a bi t rõ hàm truy n, logic m có th gi i quy t các v n đ mà đi u

khi n kinh đi n không làm đ c

4.1 Khái ni m c b n

hi u rõ khái ni m “M ” là gì ta hãy th c hi n phép so sánh sau :

Trong toán h c ph thông ta đã h c khá nhi u v t p h p, ví d nh t p các

s th c R, t p các s nguyên t P={2,3,5, }… Nh ng t p h p nh v y đ c

g i là t p h p kinh đi n hay t p rõ, tính “RÕ” đây đ c hi u là v i m t

t p xác đ nh S ch a n ph n t thì ng v i ph n t x ta xác đ nh đ c m t giá

tr y=S(x)

Gi ta xét phát bi u thông th ng v t c đ m t chi c xe môtô : ch m,

trung bình, h i nhanh, r t nhanh Phát bi u “CH M” đây không đ c ch

rõ là bao nhiêu km/h, nh v y t “CH M” có mi n giá tr là m t kho ng

• Các d ng hàm thu c (membership function) trong logic m

Có r t nhi u d ng hàm thu c nh : Gaussian, PI-shape, S-shape, Sigmoidal, Z-shape …

4.1.3 Bi n ngôn ng

Bi n ngôn ng là ph n t ch đ o trong các h th ng dùng logic m đây

các thành ph n ngôn ng c a cùng m t ng c nh đ c k t h p l i v i nhau

minh ho v hàm thu c và bi n ngôn ng ta xét ví d sau :

Xét t c đ c a m t chi c xe môtô, ta có th phát bi u xe đang ch y:

Hình 4.2:

4.1.4 Các phép toán trên t p m

Cho X,Y là hai t p m trên không gian n n B, có các hàm thu c t ng ng

là μX, μY , khi đó :

- Phép h p hai t p m : X∪Y

+ Theo lu t Max μX∪Y (b) = Max{ μX (b) , μY (b) }

+ Theo lu t Sum μX∪Y (b) = Min{ 1, μX (b) + μY (b) }

+ T ng tr c ti p μX∪Y (b) = μX (b) + μY (b) - μX (b).μY (b)

- Phép giao hai t p m : X∩Y

+ Theo lu t Min μX∪Y (b) = Min{ μX (b) , μY (b) }

+ Theo lu t Lukasiewicz μX∪Y (b) = Max{0, μX (b)+μY (b)-1}

“ ph thu c c a k t lu n không đ c l n h n đ ph thu c đi u ki n”

N u h th ng có nhi u đ u vào và nhi u đ u ra thì m nh đ suy di n có

a Thu t toán xây d ng m nh đ h p thành cho h SISO

Lu t m cho h SISO có d ng “If A Then B”

Chia hàm thu c μA(x) thành n đi m xi , i = 1,2,…,n

Chia hàm thu c μB(y) thành m đi m yj , j = 1,2,…,m

)1,(

)1,2

(

),1(

)1,

1

(

ym xn y

xn

ym x y

x

ym x y

x

R R

R R

R R

μμ

μμ

μμ

m r r

m r r

21

1

• Xác đ nh đ tho mãn H cho t ng véct giá tr rõ đ u vào x={c1 ,c 2 ,…,c n }

trong đó ci là m t trong các đi m m u c a μAi (x i ) T đó suy ra

H = Min{ μA1 (c 1 ), μA2 (c 2 ), …, μAn (c n ) }

• L p ma tr n R g m các hàm thu c giá tr m đ u ra cho t ng véct giá tr

m đ u vào: μB’(y) = Min{ H, μB(y) } ho c μB’(y) = H μB(y)

♦Ph ng pháp tr ng tâm cho lu t Sum-Min

Gi s có m lu t đi u khi n đ c tri n khai, ký hi u các giá tr m đ u ra

c a lu t đi u khi n th k là μB’k(y) thì v i quy t c Sum-Min hàm thu c s là

m k k m

k

y B

m k

k B

S

m k k B S

m k k B

A

M

dy y

dy y y dy

y

dy y y

1 1

'

1 '

1 '

1 '

)(

)()

(

)(

μ

μμ

μ

(4.1)

trong đó Mi = ∫

S ' (y)dy

yμB k và Ai = ∫

S 'k(y)dy B

m H

++

−+

m

k

k k

H

H y

4.1.7 Mô hình m Tagaki-Sugeno

Mô hình m mà ta nói đ n trong các ph n tr c là mô hình Mamdani u

đi m c a mô hình Mamdani là đ n gi n, d th c hi n nh ng kh n ng mô t

h th ng không t t Trong k thu t đi u khi n ng i ta th ng s d ng mô hình m Tagaki-Sugeno (TS)

Tagaki-Sugeno đ a ra mô hình m s d ng c không gian tr ng thái m l n

mô t linh ho t h th ng Theo Tagaki/Sugeno thì m t vùng m LX k đ c

mô t b i lu t :

R sk : If x = LX k Then x$ = A(x k)x+B(x k)u (4.2)

Lu t này có ngh a là: n u véct tr ng thái x n m trong vùng LX k thì h th ng

đ c mô t b i ph ng trình vi phân c c b x$= A(x k)x+B(x k)u N u toàn b các lu t c a h th ng đ c xây d ng thì có th mô t toàn b tr ng

thái c a h trong toàn c c Trong (4.2) ma tr n A(x k ) và B(x k ) là nh ng ma

k( ) ( )( ( )+ ( ) ( ))

=∑

$

Ví d : M t h TS g m hai lu t đi u khi n v i hai đ u vào x1,x2 và đ u ra y

R 1 : If x 1 = BIG and x 2 = MEDIUM Then y 1 = x 1 -3x 2

R2 : If x1 = SMALL and x2 = BIG Then y2 = 4+2x1

u vào rõ đo đ c là x1* = 4 và x2* = 60 T hình bên d i ta xác đ nh

đ c :

LX BIG (x 1 *) = 0.3 và LX BIG (x 2 *) = 0.35

LXSMALL(x1*) = 0.7 và LXMEDIUM(x2*) = 0.75

T đó xác đ nh đ c :

Min(0.3 ; 0.75)=0.3 và Min(0.35 ; 0.7)=0.35

y1 = 4-3×60 = -176 và y2 = 4+2×4 = 12

Nh v y hai thành ph n R1 và R2 là (0.3 ; -176) và (0.35 ; 12) Theo ph ng pháp t ng tr ng s trung bình ta có:

35.03.0

1235.0)176(3.0

−

=+

×+

4.2.2 Nguyên lý đi u khi n m

♦ Các b c thi t k h th ng đi u khi n m

+ Giao di n đ u vào g m các khâu: m hóa và các khâu hi u ch nh nh

t l , tích phân, vi phân …

+ Thi p b h p thành : s tri n khai lu t h p thành R

+ Giao di n đ u ra g m : khâu gi i m và các khâu giao di n tr c ti p

• Nh ng l u ý khi thi t k B K m

- Không bao gi dùng đi u khi n m đ gi i quy t bài toán mà có th d dàng th c hi n b ng b đi u khi n kinh đi n

- Không nên dùng B K m cho các h th ng c n đ an toàn cao

- Thi t k B K m ph i đ c th c hi n qua th c nghi m

• Phân lo i các B K m

i i u khi n Mamdani (MCFC)

ii i u khi n m tr t (SMFC)

iii i u khi n tra b ng (CMFC)

iv i u khi n Tagaki/Sugeno (TSFC)

4.2.4 Ví d ng d ng

Dùng đi u khi n m đ đi u khi n h th ng b m x n c t đ ng H th ng

s duy trì đ cao b n n c m t giá tr đ t tr c nh mô hình bên d i

♦Mô hình :

Ba b đi u khi n m (control) s đi u khi n : b m, van1, van2 sao cho m c

n c 2 b n đ t giá tr đ t tr c (set)

♦S đ simulink:

♦S đ kh i đi u khi n:

♦Thi t l p h th ng đi u khi n m :

•Xác đ nh các ngõ vào/ra :

+ Có 4 ngõ vào g m : sai l ch e1, e2; đ o hàm sai l ch de1, de2

+ Có 3 ngõ ra g m : control1, control2, control3

If error1=NB and de1=DB Then control=CF

If error1=NB and de1=DM Then control=CS

If error1=NB and de1=ZR Then control=CS

If error1=NM and de1=DB Then control=CS

If error1=PB and de1=IB Then control=OF

If error1=PB and de1=IM Then control=OF

If error1=PB and de1=ZR Then control=OF

If error1=PM and de1=IB Then control= OF

If error1≠NB and error2=NB and de1≠DB and de2=DB Then control=OF

If error1≠NB and error2=NB and de1≠DB and de2=DM Then control=OF

If error1≠NB and error2=NB and de1≠DB and de2=ZR Then control=OF

If error1≠NB and error2=NM and de1≠DB and de2=DB Then control=OS

If error1≠NB and error2=NM and de1≠DB and de2=DM Then control=OS

If error1≠PB and error2=PB and de1≠IB and de2=IB Then control=CF

If error1≠PB and error2=PB and de1≠IM and de2=IB Then control=CS

m c n c đ t Zdat=[0.5 0.4]

m c n c ban đ u Zinit =[0.8 0]

4.3 Thi t k PID m

Có th nói trong l nh v c đi u khi n, b PID đ c xem nh m t gi i pháp

đa n ng cho các ng d ng đi u khi n Analog c ng nh Digital Vi c thi t k

b PID kinh đi n th ng d a trên ph ng pháp Zeigler-Nichols, Offerein, Reinish … Ngày nay ng i ta th ng dùng k thu t hi u ch nh PID m m (d a trên ph m m m), đây chính là c s c a thi t k PID m hay PID thích nghi

4.3.1 S đ đi u khi n s d ng PID m :

Hình 4.6:

th i gian (s)

z (m)

t I

)()

(0

Các tham s KP, KI, KD đ c ch nh đ nh theo t ng b đi u khi n m riêng

bi t d a trên sai l ch e(t) và đ o hàm de(t) Có nhi u ph ng pháp khác

nhau đ ch nh đ nh b PID ( xem các ph n sau) nh là d a trên phi m hàm

m c tiêu, ch nh đ nh tr c ti p, ch nh đ nh theo Zhao, Tomizuka và Isaka …

Nguyên t c chung là b t đ u v i các tr KP, KI, KD theo Zeigler-Nichols, sau

1(Ts+ Ls+

1 1.2 1.4 1.6 1.8 KI

Bi u di n lu t ch nh đ nh KP trong không gian

T đây theo Zeigler-Nichols ta tìm ra đ c b ba thông s {KP, KI, KD }

th d i đây s cho ta th y s khác bi t c a đi u khi n m so v i đi u khi n kinh đi n

Tham s theo Zeigler-Nichols

Tham s PID m

t (s)

T ( 0 C)

4.4 H m lai

H m lai (Fuzzy Hybrid) là m t h th ng đi u khi n t đ ng trong đó thi t

b đi u khi n bao g m: ph n đi u khi n kinh đi n và ph n h m

i u khi n h th ng theo ki u chuy n đ i khâu đi u khi n có tham s đòi

h i thi t b đi u khi n ph i ch a đ ng t t c các c u trúc và tham s khác nhau cho t ng tr ng h p H th ng s t ch n khâu đi u khi n có tham s phù h p v i đ i t ng

4.4.2 Ví d minh ho

Hãy xét s khác bi t khi s d ng b ti n x lý m đ đi u khi n đ i t ng

g m khâu ch t n i ti p v i khâu

)2.01()(

s s

K s

K

I R

1+

i t ng

Δu

B m

Th v i các giá tr Δu và K khác nhau cho th y đ c tính đ ng c a h s x u

đi khi vùng ch t r ng ho c h s khu ch đ i l n hi u ch nh đ c tính

T hai đ th trên ta th y đ c b m đã c i thi n r t t t đ c tính đ ng c a

h th ng Th v i nhi u Δu khác nhau ta s th y đáp ng h u nh không

k x t w f

1

))(

4.5.2 C u trúc m ng n ron

Nguyên lý c u t o c a m t m ng n ron là bao g m nhi u l p, m i l p bao

g m nhi u n ron có cùng m t ch c n ng Sau đây là các d ng liên k t m ng

Có r t nhi u công trình nghiên c u v m ng MLP và đã cho th y nhi u u

đi m c a m ng này M ng MLP là c s cho thu t toán lan truy n ng c và

Q là s nút t i l p ra c a m ng Còn tr ng s liên k t m ng đ c đi u ch nh theo phép l p sau :

x1

x2

y

L p vào L p b che L p ra

k x R C

C x

n ron, đ c bi t là m ng RBF là công c quan tr ng cho mô hình hoá h

th ng và cho đi u khi n thích nghi các h th ng phi tuy n

4.5.4 Nh n d ng mô hình và đi u khi n s d ng m ng n ron

y(k)

)(

+ i u khi n theo vòng h

+ i u khi n theo vòng kín

+ i u khi n v i mô hình tham chi u

+ i u khi n theo th i gian v t quá (over time)

+ B đi u khi n v i quy t đ nh h tr c a m ng n ron

3 ng d ng m ng RBF đ nh n d ng h đ ng l c h c phi tuy n

Xét h đ ng h c phi tuy n c a T K

u x g x f

x$= +( ( )− )+ ( )Theo tính ch t x p x c a m ng RBF cho hàm phi tuy n: N u s l ng các nút trong l p n là đ l n thì f(x) - Ax và g(x) có th x p x b ng các m ng

RBF sau:

f(x)- Ax = W*S(x) và g(x) = V*S(x)

trong đó W* ∈ R n x N và V* ∈ R n x N là các ma tr n tr ng s c a các t h p tuy n tính trên N xác đ nh s l ng nút trong m t l p RBF c a m ng

S(x) = [ S1, S2, …, SN ] T, véct các hàm c s sau:

1 2

T K

B K b ng

m ng n ron

Hình 4.13: i u khi n v i mô hình tham chi u

và sai s lan truy n qua T K

u x VS x WS x A

x$e = e +We ( )+ e ( ) (4.6) Thu t toán nh n d ng s d ng hàm Lyapunov:

)(2

1)(

2

12

1),,

1)(2

1)

()

()

(

2

1

e T e e

T e e

T e T e T e T e T T

e PA A P x S x W Px S x V Px u Tr W W Tr V V x

Ch n : Tr(W$e T W e)=−S T(x)W e T Px e (4.8)

u Px V x S V

V

e T e

ij S P x W

ij S P x u V

W$ij =−pS j x ei

u x pS

V$ij =− j ei

T ph ng trình Lyapunov rút ra :

a

q p

Qua phân tích trên ta có th th y đ c nh ng u nh c đi m c a m ng

n ron và đi u khi n m nh sau:

Tính ch t M ng N ron B đi u khi n m

4.5.6 Thu t toán di truy n (GA)

• Gi i thi u

Thu t toán di truy n là thu t toán t i u ng u nhiên d a trên c ch ch n l c

t nhiên và ti n hóa di truy n Nguyên lý c b n c a thu t toán di truy n đã

đ c Holland gi i thi u vào n m 1962 C s toán h c đã đ c phát tri n t

cu i nh ng n m 1960 và đã đ c gi i thi u trong quy n sách đ u tiên c a

Holland, Adaptive in Natural and Artificial Systems Thu t toán di truy n

đ c ng d ng đ u tiên trong hai l nh v c chính: t i u hóa và h c t p c a máy Trong l nh v c t i u hóa thu t toán di truy n đ c phát tri n nhanh chóng và ng d ng trong nhi u l nh v c khác nhau nh t i u hàm, x lý

nh, bài toán hành trình ng i bán hàng, nh n d ng h th ng và đi u khi n Thu t toán di truy n c ng nh các thu t toán ti n hóa nói chung, hình thành

d a trên quan ni m cho r ng, quá trình ti n hóa t nhiên là quá trình hoàn

h o nh t, h p lý nh t và t nó đã mang tính t i u Quan ni m này có th xem nh m t tiên đ đúng, không ch ng minh đ c, nh ng phù h p v i

th c t khách quan Quá trình ti n hóa th hi n tính t i u ch , th h sau bao gi c ng t t h n (phát tri n h n, hoàn thi n h n) th h tr c b i tính

k th a và đ u tranh sinh t n

• Các phép toán c a thu t toán di truy n

1 Tái sinh (Reproduction)

Tái sinh là quá trình ch n qu n th m i th a phân b xác su t d a trên đ thích nghi thích nghi là m t hàm gán m t giá tr th c cho cá th trong

qu n th Các cá th có đ thích nghi l n s có nhi u b n sao trong th h

m i Hàm thích nghi có th không tuy n tính,không đ o hàm, không liên t c

b i vì thu t toán di truy n ch c n liên k t hàm thích nghi v i các chu i s Quá trình này đ c th c hi n d a trên bánh xe quay roulette (bánh xe s

x ) v i các rãnh đ c đ nh kích th c theo đ thích nghi K thu t này

đ c g i là l a ch n cha m theo bánh xe roulette Bánh xe roulette đ c xây d ng nh sau (gi đ nh r ng, các đ thích nghi đ u d ng, trong tr ng

h p ng c l i thì ta có th dùng m t vài phép bi n đ i t ng ng đ đ nh l i

t l sao cho các đ thích nghi đ u d ng)

- Tính đ thích nghi fi , i=1÷ n c a m i nhi m s c th trong qu n th hi n hành,v i n là kích th c c a qu n th (s nhi m s c th trong qu n th )

- Tìm t ng giá tr thích nghi toàn qu n th : ∑

=

= n

i i f F

- Phát sinh ng u nhiên m t s r (quay bánh xe roulette) trong kho ng

[0÷1]

- N u r < q1 thì ch n nhi m s c th đ u tiên; ng c l i thì ch n nhi m

s c th th i sao cho qi-1 < r ≤ qi

Ví d 4.5.6:

Xem xét dân s có 6 nhi m s c th v i giá tr t ng thích nghi toàn qu n th

là 50 (b ng 1), bánh xe roulette trong hình 4.14 Bây gi ta quay bánh xe roulette 6 l n, m i l n ch n m t nhi m s c th cho qu n th m i Giá tr

ng u nhiên c a 6 s trong kho ng [0÷1] và các nhi m s c th t ng ng

đ c ch n đ c cho trong b ng 2

Nhi m s c

th

Chu i mã hóa

Hình 4.14: Bánh xe roulette

Nhi m s c th 4 1 6 2 5 5

B ng 2: Qu n th m i

Qua ví d trên ta th y r ng, có th s có m t s nhi m s c th đ c ch n nhi u l n, các nhi m s c th có đ thích nghi cao h n s có nhi u b n sao

h n, các nhi m s c th có đ thích nghi kém nh t thi d n d n ch t đi

Sau khi l a ch n đ c qu n th m i, b c ti p theo trong thu t toán di truy n là th c hi n các phép toán lai ghép và đ t bi n

2 Lai ghép (Crossover)

Phép lai là quá trình hình thành nhi m s c th m i trên c s các nhi m s c

th cha - m , b ng cách ghép m t hay nhi u đo n gen c a hai (hay nhi u)

nhi m s c th cha - m v i nhau Phép lai x y ra v i xác su t p c, đ c th c

hi n nh sau:

- i v i m i nhi m s c th trong qu n th m i, phát sinh ng u nhiên

m t s r trong kho ng [0÷1], n u r < pc thì nhi m s c th đó đ c ch n

- Ghép đôi các nhi m s c th đã ch n đ c m t cách ng u nhiên, đ i v i

m i c p nhi m s c th đ c ghép đôi, ta phát sinh ng u nhiên m t s

nguyên pos trong kho ng [0÷m-1] (m là t ng chi u dài c a m t nhi m

s c th - t ng s gen) S pos cho bi t v trí c a đi m lai i u này đ c minh h a nh sau:

3 t bi n (Mutation)

t bi n là hi n t ng cá th con mang m t (s ) tính tr ng không có trong

mã di truy n c a cha m Phép đ t bi n x y ra v i xác su t pm, nh h n r t nhi u so v i xác su t lai p c M i gen trong t t c các nhi m s c th có c h i

b đ t bi n nh nhau, ngh a là đ i v i m i nhi m s c th trong qu n th hi n hành (sau khi lai) và đ i v i m i gen trong nhi m s c th , quá trình đ t bi n

đ c th c hi n nh sau:

- Phát sinh ng u nhiên m t s r trong kho ng [0÷1]

- N u r < pm, thì đ t bi n gen đó

t bi n làm t ng kh n ng tìm đ c l i gi i g n t i u c a thu t toán di truy n t bi n không đ c s d ng th ng xuyên vì nó là phép toán tìm

V trí lai

ki m ng u nhiên, v i t l đ t bi n cao, thu t toán di truy n s còn x u h n

nh ng b c trên

• C u trúc c a thu t toán di truy n t ng quát

Thu t toán di truy n bao g m các b c sau:

- B c 1: Kh i t o qu n th các nhi m s c th

- B c 2: Xác đ nh giá tr thích nghi c a t ng nhi m s c th

- B c 3: Sao chép l i các nhi m s c th d a vào giá tr thích nghi c a chúng và t o ra nh ng nhi m s c th m i b ng các phép toán di truy n

- B c 4: Lo i b nh ng thành viên không thích nghi trong qu n th

- B c 5: Chèn nh ng nhi m s c th m i vào qu n th đ hình thành

m t qu n th m i

- B c 6: N u m c tiêu tìm ki m đ t đ c thì d ng l i, n u không tr

l i b c 3

4.6 ng d ng đi u khi n m trong thi t k h th ng

4.6.1 i u khi n m không thích nghi (Nonadaptive Fuzzy Control)

1 B đi u khi n m tuy n tính n đ nh SISO

Ph ng trình bi n tr ng thái c a h SISO

)]

([)(

)()(

)()()(

t y f t u

t cx t y

t bu t Ax t x

Hình 4.15: C u trúc h SISO

, ,10

N N

k

N k

N k

)(

)()

f u

k

k

μμ

)()()(

t Cx t y

t Bu t Ax t x

v i k=1,2,…,m và fk[y(t)] là h m m đ u vào 1 đ u ra

Mô hình h th ng có c u trúc nh Hình 4.15, nh ng thay cho các s b,c b i các ma tr n B,C, hàm vô h ng f b i véct f = (f 1 ,f 2 ,…,f m ) T

Thi t k B K m n đ nh MIMO

• B c 1: Gi s đ u ra yk(t) có mi n giá tr là Uk = [αk βk], v i k=1,…,m Chia Uk ta 2N+1 kho ng l i

, ,2,10

1

k k

k

k k

k k

l l k

N N

l

N l

N l

1 2 1

1 1

1 1

1

))((

))((

)(

N l

m l

m

i A i

i N

l

m

i A l

l k N

l k

y f u

)()()(

x x

t Bu t Ax t x

Mx T x

J

T

T T

()

1 2

1 2 1

1 1

1 1

1

))((

))((

)(

N l

N l

n

i A i

i N

l

n

i A l

l k N

l k

x f u

1

1 1

))((

)()

l

N l

1(2 1) Ta đ nh ngh a

ma tr n thông s Θ∈ R m × N nh sau :

[ T]T

m T

T −Θ −ΘΘ

và hàm ch tiêu ch t l ng là :

[x t Qx t b x t t R t b x t ]dt T

()

)()

()

Ax p Qx x

Áp d ng nguyên lý c c ti u Pontryagin ta đ c:

p B BR x x

Ax p

H

∗

−+

x x

p A Qx x

))]

(())(())[

(()(2

1)

Θ t R B T p t b T x t b x t b T x t (4.30)

Và b m t i u s là:

)()(t b x

T T

x x x x r

r

x=( ,$,θ,θ$) =( 1, 2, 3, 4) và y = r = x1

Ph ng trình bi n tr ng thái đ c ch n là:

u x

x x

x x

x x x x

0

)sin(

4 3 2

4 1 2

4 3 2

1

βα

2exp[

)

i ip

l i i i