Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm bài :120 phút Câu 1: Cho biểu thức + ++ + + + = 36123 7829 : 66 4)14( 1 1 2 3 2 2 67 3 2 4 4 xx xx xxx xxx x x xA 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 2: Cho hai đờng thẳng (d1 ): y = (2m 2 + 1 )x + 2m 1 (d2): y = m 2 x + m - 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d 1 và d 2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định. Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ =++ +=+ )2(0107 )1(1 2 zzxy zyx 1. Chứng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12z 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17 Câu 4 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. Tính độ dài KC theo a 2. Trên AD lấy I sao cho . 3 3 a DI = CI cắt BP ở H. Chứng minh CHDP là nội tiếp. 3. Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 2 a Câu 5: Giải phơng trình : (x 2 -5x + 1)(x 2 - 4) = 6(x-1) 2 Hết Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian làm bài :150 phút Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn 22 11 abba = Chứng minh rằng 1 22 =+ ba 2.Chứng minh rằng số 2222 20102010.20092009 ++ là số nguyên dơng Câu 2: Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau i) Phơng trình 052 2 = dcxx có 2 nghiêm a và b ii) Phơng trình 052 2 = baxx có 2 nghiêm c và d Chứng minh rằng 1. a-c=c-b=d-a 2. a+b+c+d=30 Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 .Đặt nmnmS 44 22 += Chứng minh rằng: 1.Nếu m>n thì ( ) 422 2 2 2 nmSnmn << 2.Nếu S là số chính phơng thì m=n Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA );( CBQCAP .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho góc ACB=90 0 , góc CAB=30 0 và AB= a . Tính diện tích tam giác MCN theo a. Câu 5 Trên bảng đen viết ba số 2 1 ;2;2 .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới 2 ba + và 2 ba đồng thời giữ nguyên số còn lại .Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số 21;2; 22 1 + . Hết Giải đề thi tuyển sinh Đại học s phạm hà nội Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Câu 1: + ++ + + + = 36123 7829 : 66 4)14( 1 1 2 3 2 2 67 3 2 4 4 xx xx xxx xxx x x xA 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên H ớng dẫn 1. ĐKXĐ : x -26;x -6;x -3;x 1;x 2; )3(2 )2(3 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 26 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 82183 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 82183 )26)(3( )6)(2(3 . 6 4 2 3 )6)(2(3 )26)(3( : )1)(6( )1)(4( . 1 1 2 3 )1262(3 78263 : )6()6( 44 . 1 1 2 3 6 2 2 6 2 2 6 23 2 446 + = ++ + + + = ++ + + ++ = ++ + + ++ = ++ + + = + ++ + + + = + +++ ++ + + + = x x xx xx x x xx xx x xx A xx xx x xx xx xx x x A xx xx xx xx x x A xxx xxx xxx xxx x xxx A 2. )3(2 )2(3 + = x x A Vì A Z nên 2A Z . Xét )15(3 3 15 3 3 15)3(3 3 )2(3 2 UxZ xx x x x A + + = + + = + = x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15 x -18 -8 -6 -4 -2 0 2(loại) 12 2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2 A 2 3 4 9 -6 ( loại) -1 0 1 Vậy }{ 12;0;2;4;;8;18 x thì A nguyên Câu 2: Cho hai đờng thẳng (d1 ): y = (2m 2 + 1 )x + 2m - 1 (d2): y = m 2 x + m - 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d 1 và d 2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định. H ớng dẫn 1.Giải hệ + + = + + = + ++ = + + = + + + = + + = += +=+ += =+++ += ++= 1 23 1 )1( 1 22 1 )1( 2 1 )1( 1 )1( 2 )1()1( 2 0212)12( 2 12)12( 2 2 2 2 2323 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 m mm y m m x m mmmmm y m m x m m mm y m m x mxmy mxm mxmy mxmmxm mxmy mxmy ta đựợc + + + + 1 23 ; 1 )1( 2 2 2 m mm m m I 2.ta có x m mm y = + +++ = 3 1 )1()1(3 2 2 Vậy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố định Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ =++ +=+ )2(0107 )1(1 2 zzxy zyx 1. Chứng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12z 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17 H ớng dẫn 1.Từ (1) ta có x-y=z-1 x 2 -2xy+y 2 =1-2z+z 2 x 2 +y 2 =2xy+1-2z+z 2 (*) Từ (2) ta có xy=-z 2 +7z-10 thay vào (*) ta có x 2 + y 2 =2(-z 2 +7z-10 )+z 2 -2z -+1 x 2 + y 2 = -z 2 + 12z -19 (đpcm) 2. ta có -z 2 + 12z - 19=17 z 2 -12z+36=0 0)6( 2 = z z=6 thay vào ta có hệ Hệ có 2 nghiệm (x,y,z) {(1;-4;6); (4;-1;6)} Câu 4 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. Tính độ dài KC theo a 2. Trên AD lấy I sao cho . 3 3 a DI = CI cắt BP ở H. Chứng minh CHDP là nội tiếp. 3.Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 2 a Q H E N L M I P K C B A D H ớng dẫn = = = = = = =+ = =+ = =+ = 1 4 4 1 0)1)(4( 5 08102 5 017)5( 5 17 5 22222 y x y x xx xy xx xy xx xy yx yx 1.Kẻ KQ BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a; KBQ=30 0 nên 2 a KQ = áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có 2 3 4 2 222 aa aKQBKBQ === nên 2 )32( 2 3 === aa aBQBCCQ áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta có 32 2 348 44 )347( 2 2 22 = =+ =+= a aa a KQCQKC 2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a; 3 3a DI = nên 3 3 == DC DI DCITg nên DCI =30 0 theo GT ta có KBC=30 0 suy ra DPH=30 0 ( 2 góc so le của AP//BC) Vậy DPH= DCH =30 0 nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa góc 30 0 dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp 3. Kẻ KE KC thì EA=EB và KE//AP xét tam giác ABP có EA=EB; KE//AP nên KP=KB=a gọi N là trung điểm KC thì LN//CD và 2 a LN = ; MN//KP; 2 a MN = Vậy tam giác MNL cân tại N có 0 60 == ABKMNL (cạnh tơng ứng //) Nên tam gíac MNL đều suy ra 2 a LM = ( đpcm) Câu 5: Giải phơng trình : (x 2 -5x + 1)(x 2 - 4) = 6(x-1) 2 (*) H ớng dẫn Đặt x 2 -5x + 1-=a; x 2 - 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra 25 )( )1( 2 2 ba x = = = ==+ =++= = ab ba bababababa babababaab ba ab 6 6 0)6)(6(06366 06376612625 25 )(6 (*) 22 2222 2 Nếu thì a=6b ta có PT = + = =+=+=+ 2 211 2 211 050255524615 2222 x x xxxxxxx Nếu b=6a ta có PT = += =+=+=+ 73 73 02601030546306 2222 x x xxxxxxx PT(*) có 4 nghiệm 73;73; 2 211 ; 2 211 43211 =+= = + = xxxx Cách khác Đặt x 2 -4=a; x-1=b thì x 2 -5x+1=a-5b ta có PT : (a-5b)a=6b 2 0))(6(065 22 =+= babababa Giải đề thi tuyển sinh đại học s phạm Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn 22 11 abba = Chứng minh rằng 1 22 =+ ba 2.Chứng minh rằng số 2222 20102010.20092009 ++ là số nguyên dơng H ớng dẫn 1. từ GT )(; 11 ))(( 11 11 2222 22 22 ba ab baba ab ba abba + + = + == suy ra 22 11 abba +=+ ta có hệ 1 1 1 11 11 22 2 2 22 22 =+ = = = +=+ ba ab ba abba abba 2 Đặt a= 2009 ta có 2222 20102010.20092009 ++ = Zaaaaaaaaaaaa ++=++=++++=++++ 1)1(1)1(2)1.()1()1.( 222222222 Câu 2: Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau iii) Phơng trình 052 2 = dcxx có 2 nghiêm a và b iv) Phơng trình 052 2 = baxx có 2 nghiêm c và d Chứng minh rằng 1. a-c=c-b=d-a 2. a+b+c+d=30 H ớng dẫn 1. Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có = =+ )2(5 )1(2 dab cba Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có = =+ )4(5 )3(2 bcd adc Từ (1) ta có a-c=c-b từ (3) ta có c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a 2.Nhân (2) và (4) ta có abcd=25bd suy ra ac=25 Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên )5(505052 22 == dadcaa c là nghiệm PT(1) nên )6(505052 22 == bcbcac từ (5) và (6) ta có )(30:;15 0150)(5)(100)(52)(100)(5 2222 dpcmdcbadacamaca cacacaaccadbca =++++=+=+ =++=++=++ Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 .Đặt nmnmS 44 22 += Chứng minh rằng: 1.Nếu m>n thì ( ) 422 2 2 2 nmSnmn << 2.Nếu S là số chính phơng thì m=n H ớng dẫn 1.ta chứng minh ( ) 42222 2 2 )44(2 nmnmnmnmn <+< Bằng cách xét hiệu ( ) 1:;044444 )44(2 33242242 222 2 2 ><=++= += nvinnmnnmmnnmH nmnmnmnH Mặt khác 0)(4)44( 242222 >=+ mnnnmnmnmn vì n>1; m>n 2.Ta chứng minh ( ) ( ) 22 22 +<< mnSmn xét S=(mn-1) 2 thì 12441244 2222 =++=+ mnmnmnnmnmnm không tồn tại m,n vì vế phải chẵn Xét S=(mn+1) 2 thì 12441244 2222 =++=+ mnmnmnnmnmnm không tồn tại m,n vì vế phải chẵn Từ đó ta có S=m 2 n 2 thì 04444 2222 ==+ mnnmnmnm suy ra m=n Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA );( CBQCAP .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho góc ACB=90 0 , góc CAB=30 0 và AB= a . Tính diện tích tam giác MCN theo a. H ớng dẫn H P Q N M A B C 1. Ta có BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy N BM 2. Ta có )1( . AB MBAC PC MB AB PC AC == )2( . AB NABC QC NA AB QC BC == Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm) 3.Nếu ACB=90 0 , góc CAB=30 0 và AB= a .thì 2 3 ; 2 a AC a BC == ta có MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC= 2 )13( a Kẻ CH AB thì 4 3 : 4 3. 2 a a a AB CBCA CHCBCACHAB ==== Vậy: 16 )33( 4 3 . 2 )13( . 2 1 . 2 1 2 aaa CHMNS CMN = == ( đvdt) Câu 5 Trên bảng đen viết ba số 2 1 ;2;2 .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới 2 ba + và 2 ba đồng thời giữ nguyên số còn lại .Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số 21;2; 22 1 + . H ớng dẫn Ta có 22 2222 2 2 2 22 22 ba babababa ba ba += ++++ = + + Nh vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới 2 ba + và 2 ba thì tổng bình ph- ơng hai số mới không đổi nên tổng bình phơng của ba số trên bảng không đổi bằng 2 13 2 1 42 =++ mà tổng bình phơng ba số 21;2; 22 1 + là 2 13 )2232 8 1 ( +++ ( đpcm) Hết . nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm bài :120. nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian. ba số 21;2; 22 1 + . Hết Giải đề thi tuyển sinh Đại học s phạm hà nội Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Câu 1: + ++ + + + = 36123 7829 : 66 4)14( 1 1 2 3 2 2 67 3 2 4 4 xx xx xxx xxx x x xA 1.