ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải hệ phương trình =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 2) Giải phương trình .183124312 32 ++=+−++ xxxx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức ( )( ) ( )( ) .2512411 22 =++++++ xyyxxyyx 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. ( ) n nn nn = + ++ ++ 1 1 3.2 7 2.1 3 2 Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 30=ACB . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức 4 9 )1)(1( =++ ba , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 44 11 baP +++= . _____________________________ Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MễN THI: TON (Vũng 2) Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian phỏt ) Cõu I 3) Gii phng trỡnh 4133 =+++ xx 4) Gii h phng trỡnh ( )( ) =++ =++ .1123 26225 22 yxyxx xyyx Cõu II 3) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n 391 2 +n l s chớnh phng. 4) Gi s x, y, z l nhng s thc dng tho món iu kin 1=++ zyx . Chng minh rng .1 1 22 22 + +++ xy yxzxy Cõu III Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v M l im nm trong tam giỏc. Kớ hiu H l hỡnh chiu ca M trờn cnh BC v P, Q, E, F ln lt l hỡnh chiu ca H trờn cỏc ng thng MB, MC, AB, AC. Gi s bn im P, Q, E, F thng hng. 1) Chng minh rng M l trc tõm ca tam giỏc ABC. 2) Chng minh rng BEFC l t giỏc ni tip. Cõu IV Trong dóy s gm 2010 s thc khỏc 0 c sp xp theo th t 201021 , ,, aaa , ta ỏnh du tt c cỏc s dơng v tt c cỏc s m tng ca nú vi mt s số liờn tip lin ngay sau nú l mt s dng. (Vớ d vi dóy s -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thỡ cỏc s c ỏnh du l 2,1,4,4 5432 ==== aaaa ). Chng minh rng nu trong dóy s ó cho cú ớt nht mt s dng thỡ tng ca tt c cỏc s c ỏnh du l mt s dng. _____________________________ Cỏn b coi thi khụng gii thich gỡ thờm. Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh I HC QUC GIA H NI THI TUYN SINH LP 10 TRNG I HC KHOA HC T NHIấN H THPT CHUYấN NM 2010 MễN THI: TON (Vũng 1) Thi gian lm bi: 120 phỳt (Khụng k thi gian phỏt ) Cõu I 5) Gii h phng trỡnh =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 6) Gii phng trỡnh .183124312 32 ++=+++ xxxx H ớng dẫn 1) Cộng cả hai phơng trình ta đợc =+ =+ =+ =++ =+ =++ .2 25)32( .2 251294 .2 231283 22 2 22 22 22 22 yx yx yx xyyx yx xyyx Ta có hai hệ =+ =+ 2 532 22 yx yx Và =+ =+ 2 532 22 yx yx Giai ra ta đợc Hệ PT có 4 nghiệm ( ) 13 17 ; 13 7 ;1;1; 13 17 ; 13 7 );1;1();( yx ĐKXĐ 2 1 x Đặt )0(124);0(12 2 >=+=+ bbxxaax = = = = =+ =+ =+ =+ =+ = = =++=+ ++=+++ 2 1 0 1 0)12(2 312 1124 312 1124 312 1 3 0)1)(3(3333(*) (*).183124312 2 2 32 x x x xx x xx x xx x b a bababaabba xxxx Phơng trình có 3 nghiệm 2 1 ;0;1 321 === xxx Cõu II 5) Tỡm tt c cỏc s nguyờn khụng õm (x, y) tho món ng thc ( )( ) ( )( ) .2512411 22 =++++++ xyyxxyyx 6) Vi mi s thc a, ta gi phn nguyờn ca s a l s nguyờn ln nht khụng vt quỏ a v ký hiu l [a]. Chng minh rng vi mi n nguyờn dng ta luụn cú. ( ) n nn nn = + ++ ++ 1 1 3.2 7 2.1 3 2 H íng dÉn 1)Ph¸ ngoÆc ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 25)1()1(25)1(25)(12)1( 2512412512411 22222 222222 =++⇔=+++⇔=++++++⇔ =+++++++⇔=++++++ yxyxxyyxxyyxxy xyyxxyyxxyxyyxxyyx v× x,y kh«ng ©m nªn (x+1)(y+1)=5 ta cã x+1 1 5 y+1 5 1 x 0 4 y 4 0 (x;y) ∈ {(0;4);(4;0)} 2) xÐt )( 1 1 1 1 1 )1()1( 1 )1()1( 1 22 Nk kkkk k kk k kk k kk kk ∈+ + −=+ + = + + + + = + ++ Thay k lÇn lît tõ 1 ®Õn n ta cã ( ) 1 1 0:);( 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 3 1 11 2 1 1 1 1 3.2 7 2.1 3 2 < + <= + += + −+= + + −+ − +−++++−++−= + ++ ++ n n vidpcmn n n n n n nnnnnn nn Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 30=ACB . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 3) Tính độ dài đưêng thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 4) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. H íng dÉn j N C H O A B M 1)Xét tam giác vuông ABC ( vuông tại A)có AB=2R;gúc 0 30=ACB . Nên BC=4R; áp dụng Pi-Ta-Go 22222 12416 RRRABBCAC === nên AC= R32 ; áp dụng hệ thức lợng 3 4 32.2. R R RR BC ACAB AHACABBCAH ==== vậy AH= 3R 2) Ta có Do 0 30 == HABACB suy ra 0 30 == HABHNB nên 0 180=+ MNHC nên tứ giác CMNH nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác này thuộc trung trực HC cố định Cõu IV Vi a,b l cỏc s thc tho món ng thc 4 9 )1)(1( =++ ba , hóy tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 44 11 baP +++= . H ớng dẫn áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dãy 1; 2 a và 1; 4 ta có 2 1 ":");1( 17 4 1)4()1(17 2 4224 == + +++ aDau a aaa 1; 2 b và 1; 4 ta có 2 1 ":");2( 17 4 1)4()1(17 2 4224 == + +++ bDau b bbb Từ (1)&(2) ta có (*) 17 8 22 ++ ba P Mặt khác Từ GT ta có 4 5 =++ abba Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 ta có 2 1 ":"; 2 1 4 5 )( 2 1 )( 2 3 2 4 1 4 1 2222 22 2 2 ==⇔=≥+⇔=++≥++⇔ ≥ + ≥+ ≥+ baDaubaabbaba ab ba bb aa Thay Vµo (*) ta cã 2 17 17 8 2 1 = + ≥P V©y 2 1 2 17 )( ==⇔= baPMin _____________________________ MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 7) Giải phương tr×nh 4133 =+++ xx 8) Giải hệ phương trình ( )( ) =−++ =++ .1123 26225 22 yxyxx xyyx H íng dÉn 1) §KX§ 3 1− ≥x ; x=1 Th¶o m·n. xÐt x< 1 th× VT<4 (lo¹i); x>1 th×VT>4 (lo¹i) C¸ch kh¸c = = ⇔=−−⇔=+−⇔++=+⇔ +=+⇔+=+⇔+++−=+⇒ ≤⇔≤++−=+⇔=+++ )(;33 )/(1 0)33)(1(0333449141648 7134142138;13138163 )5413(;13434133 22 loaix mtx xxxxxxx xxxxxxx xxxxxx ( )( ) −= =++ = =++ ⇔ −=+ =++ =+ =++ ⇔ =+ =++ ⇔ =++ =++ ⇔ =−−+ =++ ⇔ =−−+ =++ ⇔ =−++ =++ 3 8 )1(26225 2 )1(26225 713 26225 713 26225 49)13( 26225 49169 26225 222246 26225 1123 26225 .1123 26225 22 22 22 22 2 22 2 22 22 22 22 22 22 x xyyx x xyyx x xyyx x xyyx x xyyx xx xyyx yxyxx xyyx yxyxx xyyx yxyxx xyyx Với 3 8 =x thay vào PT(1) vô nghiệm Với 2 = x thay vào PT(1) ta đợc y=1 hoặc y=-3 Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) {(2;1);(2-3)} Cõu II 1)Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n 391 2 + n l s chớnh phng. 2)Gi s x, y, z l nhng s thc dng tho món iu kin 1 =++ zyx . Chng minh rng .1 1 22 22 + +++ xy yxzxy H ớng dẫn 1)ta có 391 2 + n là số chính phơng nên 22 391 kn =+ )( Nk 391))((391 22 =+=+ knknkn mà 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(- 23) Ta có n-k<n+k nên n-k -391 -1 -23 -17 n+k 1 391 17 23 n -195( loại) 195 -3(loai) 3 Vậy n =3 hoặc n=195 2) xyyxzxy xy yxzxy ++++ + +++ 122.1 1 22 22 22 áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có yxyxyxyx ++++ )(2)()(2 22222 Nên yxzxyyxzxy ++++++ 22 22 ta phải chứng minh )(22122 111 22 dungxyyxxyzxyzzzxyxyzzzxy xyzzxyxyzzxyxyyxzxy ++++ +++++++++ Dấu = xảy ra khi 3 1 2 1 = == z yx Cách khác ta có )1()(2 22122 22 2 zxyzxyzxyxyzzxyzxy xyzzzxyzxyzzyxxyyx +++=+++ ++++++ áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có yxyxyxyx ++++ )(2)()(2 22222 (2) Từ (1) và (2) ta có .1 1 22 122 22 22 + +++ ++++ xy yxzxy xyyxzxy Dấu = Xảy ra khi 3 1 2 1 = == z yx Cõu III Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v M l im nm trong tam giỏc. Kớ hiu H l hỡnh chiu ca M trờn cnh BC v P, Q, E, F ln lt l hỡnh chiu ca H trờn cỏc ng thng MB, MC, AB, AC. Gi s bn im P, Q, E, F thng hng. 3) Chng minh rng M l trc tõm ca tam giỏc ABC. 4) Chng minh rng BEFC l t giỏc ni tip. H ớng dẫn P Q E F M H B C A 1)Vì t giác BEPH nội tiếp nên EPBEHB = (1) vì E;P;Q thẳng hàng nên EPBMPQ = (2). Vì t giác MQHP nội tiếp nên MHQMPQ = (3) Ta có MHC vuông tại H có MCHQ suy ra MHQMCH = (4) từ (1); (2) ; (3) ;(4) ta có MCHEHB = ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà (*)ABCMABHE Tơng tự (**)ACBM từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC 2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có 00 90;90 == AFHAEH nên tứ giác AEHF nội tiếp đờng kính AH nên AHEAFE = ( nội tiếp chắn cung AE) mà AHEEBH = ( cùng phụ BHE ) Vậy EBHAFE = mà 00 180180 =+=+ EFCEBHEFCAFE Nên tứ giác BEFC nội tiếp Cõu IV Trong dóy s gm 2010 s thc khỏc 0 c sp xp theo th t 201021 , ,, aaa , ta ỏnh du tt c cỏc s õm v tt c cỏc s m tng ca nú vi mt số s liờn tip lin ngay sau nú l mt s dng. (Vớ d vi dóy s -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thỡ cỏc s c ỏnh du l 2,1,4,4 5432 ==== aaaa ). Chng minh rng nu trong dóy s ó cho cú ớt nht mt s dng thỡ tng ca tt c cỏc s c ỏnh du l mt s dng. H ớng dẫn Xét các số đợc đánh dấu a 1 ;a 2 ;a 3 a n (n )2010; < nN -Nếu dãy có tất cả các số dơng thì ta có đpcm -Nếu có số âm đợc đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng sao cho tổng của số âm này với các số liền sau nó luôn dơng ( Giá trị tuyệt đối số số tổng các d- ơng lớn hơn GTTĐ số âm) suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu . Tổng cña c¸c sè ®îc ®¸nh dÊu b»ng c¸c tæng lu«n d¬ng nªn Tæng c¸c sè ®îc ®¸nh dÊu lu«n d¬ng ( ®pcm) ____________________ . baP +++= . _____________________________ Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MễN THI: TON (Vũng 2) Thi gian lm bi: 150. dng. _____________________________ Cỏn b coi thi khụng gii thich gỡ thờm. Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh I HC QUC GIA H NI THI TUYN SINH LP 10 TRNG I HC KHOA. NI THI TUYN SINH LP 10 TRNG I HC KHOA HC T NHIấN H THPT CHUYấN NM 2010 MễN THI: TON (Vũng 1) Thi gian lm bi: 120 phỳt (Khụng k thi gian phỏt ) Cõu I 5) Gii h phng trỡnh =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 6)