Đại học quốc gia hà nội Tr ờng đại học ngoại ngữ cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010 Đề Môn Thi : Toán Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 06-06-2010 Đề thi gồm 01 trang ( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm) Câu 1: (2điểm) Cho biểu thức + + = xxx x x x x x P 2 3 1 : 9 2 3 1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 2) Tìm giá trị x để 3 4 =P Câu 2 : ( 2 điểm) 1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x 2 + 4x +1 =y 4 2) Giải hệ phơng trình : =+ =++ 1)(3 3 3 22 xyx yxyx Câu 3: ( 2 điểm) Cho phơng trình ẩn x : (m-10)x 2 +2(m-10)x + 2 =0 1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . 2) Chứng minh rằng khi đó 4 2 212 2 1 3 2 3 1 <+++ xxxxxx Câu 4:(3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại M , N 1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn. 2) Chứng minh gócBDM = gócCDN . 3) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt BC tại K .Chứng minh K là trung điểm cạnh BC Câu 5: ( 1 điểm) Cho a , b , c là các số dơng thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chứng minh rằng: 3 222 333 ++++ cba a c c b b a Hết -Họ và tên thí sinh Số báo danh Phòng thi HD thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010 Đề chính thức Câu 1: (2điểm) Cho biểu thức + + = xxx x x x x x P 2 3 1 : 9 2 3 2) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 2) Tìm giá trị x để 3 4 =P Hớng dẫn 1) ĐKXĐ 9;0 > xx ; 25 x 55 )3( . )3)(3( )3( )3( )3(2)1( : )3)(3( 2)3( = + + = + + = x x x xx xx xx P xx xx xx xxx P 2) DKXDxxx xxxxx x x P ==+ =+=+ = = 40)103)(2( 020106302043 3 4 5 3 4 Câu 2 : ( 2 điểm) 3) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x 2 + 4x +1 =y 4 4) Giải hệ phơng trình : =+ =++ 1)(3 3 2 22 xyx yxyx Hớng dẫn 1) x 2 + 4x +1 =y 4 (x+2) 2 -y 4 =3 (x-y 2 +2)(x+y 2 +2)=3 vì x;y Z nên == = == = =++ =+ =++ =+ 11 4 11 0 12 32 32 12 2 2 2 2 hoacyy x hoacyy x yx yx yx yx Phơng trình có 4 nghiệm (x;y) { ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1) }. 2) = = = = =+ = =+ = =++ = =+ =++ =+++ =++ =+ =++ 1 2 1 1 0)2)(1( 1 02 1 3 1 1 3 1))(( 3 )2(1)(3 )1(3 2 22 3 333 22 223 22 3 22 y x y x xx y xx y yxyx y xyx yxyx xyyxyxx yxyx xyx yxyx Hệ có 2 nghiệm (x;y) {(1;1) ;( -2;1)}. Cách khác Nếu x= y tta có x=y=1 là một nghiệm Với x khác y nhân 2 vế PT(1) với (x-y ) ta có hệ = = = =+ = =+ = = =+ = = = 1 2 1 0)2()1( 1 023 1 )1(31 1 )(3 1)(3 )(3 23 3 333 33 3 33 y x y xx y xx y xx yxx yxyx yxx yxyx Hệ có 2 nghiệm (x;y) {(1;1) ;( -2;1)}. Câu 3: ( 2 điểm) Cho phơng trình ẩn x : (m-10)x 2 +2(m-10)x + 2 =0 1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . 2) Chứng minh rằng khi đó 4 2 212 2 1 3 2 3 1 <+++ xxxxxx Hớng dẫn 1) Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì > 0 10 / m ( ) < > <>>> === 10 12 1)11(:;1)11(01)11(0 1)11(1)110(102)10( 2/ 222/ m m mHoacmm mmmm 2) với ĐK trên theo Viét ta có = =+ 10 2 2 2.1 21 m xx xx Đặt Q= 2 212 2 1 3 2 3 1 xxxxxx +++ 12:;100 10 448 04 10 888 4 10 888 10 8 8)(2)( )()(3)( 2121 3 21 21212121 3 21 2 212 2 1 3 2 3 1 ><< <+ < = +=++= ++++=+++= mhoacm m m m m Q m m m xxxxxxQ xxxxxxxxxxxxxxxxQ Thoả mãn điều kiện > 0 10 / m Câu 4:(3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại M , N 4) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn. 5) Chứng minh gócBDM = gócCDN . 6) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt BC tại K .Chứng minh K là trung điểm cạnh BC P Q K I O' N M O D B A C 1) ta có AMO= ADO= ANO=90 0 nên 5 điểm A, M.D, O, N thuộc đờng tròn Tâm O / đờng kính AO 2) Ta có ADB= ADC=90 0 (1) mà ADM= ADN (2) ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) từ (1);(2) ta có ĐPCM 3)Qua I ta kẻ đờng thẳng //BC cắt AB,AC tại P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội tiếp nên POI= PMI; QOI= INA mà PMI= INA (do tam giác AMN cân tại A) Nên POI= QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đờng cao vừa là pân giác nên IP=IQ. áp dụng hệ quả Ta-lét cho 2 tam giác ABK và ACK có PQ//BC Ta có )(dpcmCKBK IQ CK AI AK IP BK === Câu 5: ( 1 điểm) Cho a , b , c là các số dơng thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chứng minh rằng: 3 222 333 ++++ cba a c c b b a Hớng dẫn ¸p dông B§T xyyx 2 22 ≥+ dÊu “= “ x¶y ra khi x=y Ta cã bbaacccaaccbbcabba 21;21;21;2;2;2 222222222 ≥+≥+≥+≥+≥+≥+ Nªn 312)(23)(3 222222 ≥++⇔=+++++≥+++ cbacabca bcbacba (*) DÊu “ =” x¶y ra khi a=b=c=1 MÆt kh¸c ;2;2;2 2 3 2 3 2 3 cac a c bbc c b aab b a ≥+≥+≥+ T cã )(2)( 222 333 cbacabcab a c c b b a ++≥+++ ++ Mµ cabcabcba ++≥++ 222 nªn )(2)( 222 333 222 333 cbacabcab a c c b b a cba a c c b b a ++≥+++ ++≥+++ ++ Nªn (**) 222 333 cba a c c b b a ++≥++ DÊu “=” Khi a=b=c=1 Tõ (*) vµ (**) ta cã §PCM . -Tự Do -Hạnh Phúc Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010 Đề Môn Thi : Toán Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 06-06 -2010 Đề thi gồm 01 trang ( Chú. 3 222 333 ++++ cba a c c b b a Hết -Họ và tên thí sinh Số báo danh Phòng thi HD thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010 Đề chính thức Câu 1: (2điểm) Cho biểu thức + + = xxx x x x x x P 2 3 1 : 9 2 3 . 9;0 > xx ; 25 x 55 )3( . )3)(3( )3( )3( )3(2)1( : )3)(3( 2)3( = + + = + + = x x x xx xx xx P xx xx xx xxx P 2) DKXDxxx xxxxx x x P ==+ =+=+ = = 40)103)(2( 020106 302043 3 4 5 3 4 Câu 2 : ( 2 điểm) 3) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x 2 + 4x