KHẢO SÁT HÀM SỐ KHẢO SÁT HÀM SỐ A/. TÓM TẮT LÝ THUYẾT A/. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Đạo hàm : Qui tắc tính đạo hàm : (u 1 ± u 2 ± … ± u n )’ = u 1 ’ ± u 2 ‘ … u n ‘ (uv)’ = u’v + uv’ (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’ (ku)’ = ku’ 2 ' ' ( )' u u v uv v v - = Bảng đạo hàm : Đạo hàm của các hàm số thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x) (C)’ = 0 (C : hằng số ) (x)’ = 1 (sinx)’ = cosx (cosx)’ = – sinx (e x )’ = e x (a x )’ = a x lna (sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = – u’sinu (e u )’ = u’e u (a u )’ = a u lna.u’ II. Sự đơn điệu của hàm số : Đònh lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên K. + Nếu f’(x) > 0, x K" Ỵ thì hàm số f(x) đồng biến trên K. + Nếu f’(x) < 0, x K" Ỵ thì hàm số f(x) nghòch biến trên K. ● Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f’(x) ³ 0 ( f’(x) £ 0), x K" Ỵ và f’(x) = 0 chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến ( nghòch biến ) trên K. Qui tắc tìm các khoảng đơn điệu : 1/. Tìm tập xác đònh 2/. Tính đạo hàm '( )f x 3/. Lập bảng biến thiên rồi kết luận ● Chú ý : * Hàm số 3 2 y ax bx cx d= + + + : + Đồng biến trên R ' 0 0 y a > ì ï ï Û í ï D £ ï ỵ + Nghòch biến trên R ' 0 0 y a < ì ï ï Û í ï D £ ï ỵ * Hàm số ax b y cx d + = + ( 2 2 . . ' ( ) . ) . ( a b c d ad cb y cx d cx d - = = + + ): + Đồng biến trên các khoảng xác đònh khi ad – cb > 0 + Nghòch biến trên các khoảng xác đònh khi ad – cb < 0 III. Cực đại và cực tiểu 1/.Điều kiện cần : Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm này thì 0 '( ) 0f x = . 2/.Điều kiện đủ : Dấu hiệu 1: Giả sử hs ( )y f x= xác đònh tại điểm x 0 1. Nếu đạo hàm '( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì x 0 là điểm cực đại. ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 1 2 ' 11 x x − = x x 2 1 )'( = 1 .)'( − = αα α xx 2 ' '1 u u u − = u u u 2 ' )'( = ' )'( 1 uuu − = αα α 2 2 1 (tan )' 1 tan cos x x x = = + 2 2 1 (cot )' (1 cot ) sin x x x − = = − + 2 2 ' (cot )' (1 cot ). ' sin u u u u u − = = − + 2 2 ' (tan )' (1 tan ). ' cos u u u u u = = + x x 1 )'(ln = ax x a ln 1 )'(log = u u u ' )'(ln = au u u a ln ' )'(log = 2. Nếu đạo hàm '( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì x 0 là điểm cực tiểu. Dấu hiệu 2: Giả sử hs ( )y f x= có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x 0 và 0 '( ) 0f x = , 0 "( ) 0f x ¹ thì x 0 là điểm cực trò. 1. Nếu 0 "( ) 0f x > thì x 0 là điểm cực tiểu 2. Nếu 0 "( ) 0f x < thì x 0 là điểm cực đại ● Chú ý : * Cách tìm tham số để hàm số y = f(x) đạt CĐ (hoặc CT) tại điểm x = x 0 : - Cách 1: + Tìm f’(x) + Giải f’(x 0 ) = 0 tìm tham số + Thử lại tham số nào thoả đề bài thì nhận - Cách 2: dùng dấu hiệu 2. * Hàm số 3 2 y ax bx cx d= + + + : + Có cực trò (có 2 cực trò) ' 0 0 y a ¹ ì ï ï Û í ï D > ï ỵ + Không có cực trò ' 0 0 y a ¹ ì ï ï Û í ï D £ ï ỵ * Hàm số 4 2 y ax bx c= + + : + Có 1 cực trò Û y’ = 0 có 1 nghiệm + Có 3 cực trò Û y’ = 0 có 3 nghiệm IV. Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = f(x) : Phương pháp : 1/. Trên (a;b) ( f(x) xác đònh trên (a;b)) • Tính đạo hàm '( )f x • Lập bảng biến thiên trên (a ; b) , dựa vào bảng biến thiên kết luận 2/. Trên [a ; b] ( f(x) xác đònh trên [a ; b]) • Tính đạo hàm, '( )f x tìm các điểm tới hạn ( ) 1 2 3 , , , ; n x x x x a bỴ (f’(x i ) (i=1,2 , …, n) bằng 0 hoặc không xác đònh) • Tính giá trò 1 2 3 ( ), ( ), ( ), ( ) ; ( ), ( ) n f a f x f x f x f x f b • Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các giá trò trên rồi kết luận [ ] max ( ) ; f x M a b = và [ ] min ( ) ; f x m a b = V. Tiệm cận : Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C) 1. Tiệm cận đứng : Nếu 0 lim ( ) x x f x - - > = - ¥ ( 0 lim ( ) x x f x - - > = +¥ ) hoặc 0 lim ( ) x x f x + - > = - ¥ ( 0 lim ( ) x x f x + - > = +¥ ) thì đường thẳng d: x = x 0 là TCĐ của đồ thò (C). 2. Tiệm cận ngang: Nếu lim ( ) x f x - >- ¥ = y 0 hoặc lim ( ) x f x - >+¥ = y 0 thì đường thẳng d: y = y 0 là TCN của đồ thò (C) ● Chú ý : Hàm số y = ax b cx d + + (c ≠ 0, a.d – c.b ≠ 0) + lim x a y c ®±¥ = a y c Þ = là TCN + ( ) ( 0) lim ( 0) d x c ad cb y ad cb + - ® é - ¥ - > ê = ê +¥ - < ê ë ; ( ) ( 0) lim ( 0) d x c ad cb y ad cb - - ® é +¥ - > ê = ê - ¥ - < ê ë d x c - Þ = là TCĐ VI. Kh ảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm số : 1. Tìm tập xác đònh. 2. Chiều biến thiên : ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 2 * Tìm y’, y’= 0 Þ nghiệm ( nếu có) * Lập bảng biến thiên Kết luận các khoảng tăng, giảm, cực trò của hàm số 3. Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực (điền lên BBT) và tiệm cận (nếu có). 4. Vẽ đồ thò : * Tìm các điểm đặc biệt : CĐ, CT, giao điểm với các trục toạ độ (nếu được), … * Dựa vào BBT vẽ đồ thò. Các hàm số cơ bản: 1/. Hàm số b ậc ba y= ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) * Tập xác đònh : D=R * y’= 3ax 2 +2bx + c + Nếu y’ = 0 có hai nghiệm x 1 ,x 2 ⇒ hàm số có hai cực trò + Nếu y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiêm kép ⇒ hàm số không có cực trò * Giới hạn : ( 0) lim ( 0) x a y a ®±¥ é ±¥ > ê = ê ¥ < ê ë m • Bảng biến thiên và dạng đồ thò : • Đồ thò nhận điểm uốn I(x 0 ;y 0 ) làm tâm đối xứng (x 0 là nghiệm của y”) Bảng biến thiên Dạng đồ thò a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm p/biệt x -∞ x 1 x 2 + ∞ y’ + 0 – 0 + y CĐ + ∞ -∞ CT CĐ B I A CT a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm p/biệt x -∞ x 1 x 2 + ∞ y’ – 0 + 0 – y + ∞ CĐ CT -∞ CĐ A I B CT a > 0 và y’ = 0 có nghiệm kép x -∞ x 0 + ∞ y’ + 0 + y + ∞ -∞ A I B a < 0 và y’ = 0 có nghiệm kép x -∞ x 0 + ∞ y’ – 0 – y + ∞ -∞ A I B a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm x -∞ + ∞ y’ + y + ∞ -∞ A I B a < 0 và x -∞ + ∞ ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 3 y’ = 0 vô nghiệm y’ y + ∞ -∞ A I B 2/. Hàm số trùng phương y = ax 4 +bx 2 +c (a ≠ 0) * Tập xác đònh : D=R * y’= 4ax 3 +2bx=2x(2ax 2 +b) y’ = 0 2 0 2 x b x a = é ê ê Û - ê = ê ë + a.b < 0 ⇒ y’= 0 có 3 nghiệm ⇒ hàm số có 3 cực trò + a.b ≥ 0 ⇒ y’= 0 có 1 nghiệm ⇒hàm số có 1 cực trò * Giới hạn : ( 0) lim ( 0) x a y a ®±¥ é +¥ > ê = ê - ¥ < ê ë • Bảng biến thiên và dạng đồ thò :Đồ thò nhận trục Oy làm trục đối xứng Bảng biến thiên Dạng đồ thò a > 0 và y’ = 0 có 3 nghiệm x -∞ x 1 0 x 2 +∞ y’ – 0 + 0 – 0 + y +∞ CĐ +∞ CT 1 CT 2 a < 0 và y’ = 0 có 3 nghiệm x -∞ x 1 0 x 2 +∞ y’ + 0 – 0 + 0 – y CĐ 1 CĐ 2 -∞ CT -∞ a > 0 và y’ = 0 có 1 nghiệm x -∞ 0 +∞ y’ – 0 + y +∞ +∞ CT a < 0 và y’ = 0 có 1 nghiệm x -∞ 0 +∞ y’ + 0 – y CĐ -∞ -∞ 3/. Hàm số y = ax b cx d + + (c ≠ 0 ; a.d - c.b ≠ 0) * Tập xác đònh : { } \ d D R c = - ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 4 O CT 2 CT 1 y CĐ A B y B A O CĐ 2 CĐ 1 CT O y CĐ A B O y CT A B * y’= 2 2 . . ( ) . ( ) . a b c d ad cb cx d cx d - = + + + a.d - c.b < 0 thì hàm số đồng biến + a.d – c.b < 0 thì hàm số nghòch biến * Giới hạn, tiệm cận : + lim x a a y y c c ®±¥ = Þ = là TCN + ( ) ( 0) lim ( 0) d x c ad cb y ad cb + - ® é - ¥ - > ê = ê +¥ - < ê ë ; ( ) ( 0) lim ( 0) d x c ad cb y ad cb - - ® é +¥ - > ê = ê - ¥ - < ê ë d x c - Þ = là TCĐ * Bảng biến thiên và dạng đồ thò : Đồ thò nhận ( ; ) d a I c c - làm tâm đối xứng Bảng biến thiên Dạng đồ thò ad – cb > 0 x -∞ d c - +∞ y’ + + y +∞ a c a c -∞ ad – cb < 0 x -∞ d c - +∞ y’ – – y a c +∞ -∞ a c VII. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT 1/. Sự tương giao của đường cong Bài toán : Cho hàm số ( )y f x= có đồ thi (C) và hàm số ( )y g x= có đồ thò là (C’) . Hãy biện luận (hoặc tìm giao điểm ) của hai đường cong trên. Cách giải : • Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là : ( ) ( )f x g x= (*) • Số giao điểm của hai đường cong (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình (*) • Biện luận 1. Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì ( ) ( ')C CÇ = F 2. Nếu phương trình (*) có n ngiệm thì (C) và (C’) có n điểm chung. • Chú ý : Nghiệm kép xem như là một ( điểm chung là điểm tiếp xúc). 2/. Dùng đồ thò biện luận nghiệm phương trình Bài toán : Cho phương trình ( ; ) 0(*)f x m = (m là tham số).Hãy dùng đồ thò (C) : ( )y f x= biện luận theo m nghiệm phương trình (*) ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 5 TCN TCĐ I TCN TCĐ I Cách giải : • Biến đổi phương trình (*) ( ) ( )f x g mÛ = (*a) • Số nghiệm của phương trình (*a) chính là giao điểm của (C) : ( )y f x= và d: ( )y g m= (là đường thẳng song hoặc trùng Ox) • Biện luận : Dựa vào đồ thò + ( )d CÇ = F Þ pt (*) vô nghiệm + ( )d C nÇ = điểm Þ phương trình (*) có n ngiệm 3/.Viết phương trình tiếp tuyến Bài toán : Cho hàm số ( )y f x= có đồ thò (C) .Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) Cách giải : * PTTT có dạng : y -y 0 = f’(x 0 )(x-x 0 ) ( y 0 = f(x 0 ) , M 0 (x 0 ,y 0 ) : tiếp điểm, f’(x 0 ) : hệ số góc của tiếp tuyến ) * Dựa vào đề tìm x 0 , y 0 , f’(x 0 ) thay vào PTTT rồi rút gọn ● Chú ý : *Nếu biết y 0 = p thì giải phương trình f(x 0 ) = p tìm x 0 . * Nếu biết hệ số góc k thì giải phương trình f’(x 0 ) = k tìm x 0 . + Tiếp tuyến song song đường thẳng y = kx + b thì 0 '( )f x k= + Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = kx + b thì 0 1 '( )f x k = - B/. BÀI TẬP ÁP DỤNG B/. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Khảo sát các hàm số sau: 1. ( ) 2 3y x x= - 2. 3 1 3 2 y x x= - + 3. 3 2 3 3 2y x x x= - + - + 4. 3 2 1y x x x= + + + 5. 2 2 y x = - 6. 2 1 1 x y x - = + 7. 3 5 2 2 x y x + = + 8. 2 1 1 3 x y x + = - 9. 4 2 2y x x= - 10. 4 2 10 9y x x= - + - 11. 2 4 1 2y x x= + + 12. 4 2 2y x x=- - + Bài 2 : Cho hàm số 3 1 3 4 y x x= - + có đồ thò (C) 1. Khảo sát hàm số 2. Tính diện tích hình phẳng của(C) và Ox 3. Dùng đồ thò (C) biện luận theo m nghiệm của phương trình 3 12 4 0x x m- - = 4. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x. 5. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của y = 3 1 sin sin 4 x x- + trên ; 6 2 p p é ù - ê ú ê ú ë û 6. Đường thẳng d đi qua góc toạ độ có hệ số góc k .Tìm k để d cắt đồ thò (C) tại 3 điểm phân biệt Bài 3: cho hàm số y= x 3 + 3x 2 + mx +m – 2 ; m là tham số ; có đồ thò (Cm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 3. 2. Gọi A là giao điểm của (C) và Oy .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và tính diện tích hình phẳng giới hạn của (C) và tiếp tuyến . 3. Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác đònh 4. Tìm m để hàm số nhận x 0 = -2 làm điểm cực đại. 5. Tìm m để đồ thò nhận I(-1,0) làm điểm uốn 6. Tìm m để hàm số có điểm cực đại , cực tiểu , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò. Bài 4: Cho hàm số y = x 3 – 6x 2 + 9x –1 có đồ thò ( C) ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 6 1. Khảo sát hàm số 2. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y = – m + 1 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò ( C ) và đừong thẳng y = 3 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng – 2. Bài 5: Cho hàm số 2 4 2y x x= - có đồ thò (C) 1. Khảo sát hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thò (C) và trục Ox. 4. Dùng đồ thò biện luận theo m số nghiệm phương trình 4 2 2 1 0x x m- + - = 5. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi hình phẳng (H) giới hạn bỡi (C) và Ox quay quanh Ox. Bài 6: Cho hàm số 4 2 ( 1) 4 2y m x mx= + - + ; m là tham số, có đồ thò (Cm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m =1. 2. Viết hương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 2. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thò (C) và đường thẳng y=2. 4. Biện luận theo m số cực trò của hàm số 5. Đònh m để đồ thò (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số 4 2 2( 1) 2 1y x m x m= - + + + (Cm) 1. Khảo sát hàm số khi m = 0 (có đồ thò (C)). 2. Dựa vào (C) tìm a để phương trình 4 2 2 0x x a- + = có bốn nghiệm hân biệt. 3. Tìm m để đồ thò (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm. Bài 8: Cho hàm số 3 2 x y x - = - có đồ thò (C) 1. Khảo sát hàm số ( C) . 2. Viết hương trình tiếp tuyến của (C). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x + y -3 = 0. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đồ thò 3 2 y x= - - 4. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x +m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Bài 9: Cho hàm số y= ( 1) 3 2 m x m mx + + + + (có đồ thò C m , m≠ 0) 1. Tìm m để đồ thò (Cm) đi qua M(0; 5 2 ),khảo sát với m tìm được (có đồ thò (C)) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành. 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi xoay quanh trục ox hình phẳng (H) giới hạn bởi (C), Ox, Oy và đường thẳng x=1 4. Đường thẳng (D) đi qua A(0;1) có hệ số góc k . Tìm k để đường thẳng (D) cắt đồ thò (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 10: Cho hàm số y= 1 1 x x - + có đồ thò (C) 1. Khảo sát hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C). Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và hai trục tọa độ. Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 1. 2 3 3 1 x x y x - + = - trên 1 1; 2 é ù - ê ú ê ú ë û . 2. 2 ( ) ln(1 2 )f x x x= − − trên [ ] 2;0− 3. 3 4 ( ) 2sin sin 3 f x x x= − trên [ ] 0; π . ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 7 HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Dùng công thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit a − n = n a 1 ; a 0 = 1 ; m m n n a a= ( m; n nguyên dương , n > 1) • Các quy tắc: a x .a y = a x+y ,(a.b) x =a x .b x , x a x y a y a − = , x x a a x b b = ÷ , ( ) ( ) x y y x.y x a a a = = • Hàm số mũ : y = x a với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ ) + a > 1 ; h/s đồng biến : x 1 < x 2 ⇔ 1 x a < 2 x a + 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x 1 < x 2 ⇔ 1 x a > 2 x a • Hàm số logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R + a > 1 ; h/s đồng biến : x 1 > x 2 > 0 ⇔ log a x 1 > log a x 2 + 0 < a < 1;h/s ngh biến: x 1 > x 2 > 0 ⇔ log a x 1 < log a x 2 • Đặc biệt : x a a log = x ; log a x a = x ; log a 1 = 0 ; log a a = 1 • Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có: log a (B.C) = log a B + log a C; log a B C ÷ = log a B − log a C ; log α a B β = β α log a B • Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có : log c a.log a b = log c b ⇔ log b c log b a log a c = ; 0 < a, b ≠ 1; log a b = 1 log a b Chú ý : log 10 x = log x ; log e x = ln x Bài toán 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit s(e x )’ = e x −> ( e u ) ’ = u’.e u ; ( a x )’ = a x .lna −> ( a u ) ’ = u ’ .a u .lna (lnx)’= 1 x x ∈(0;+∞) −> (lnu) ’ = u u ′ ; (log a x)’ = 1 x ln a −> (log a u ) ’ = u u. ln a ′ Bài toán 3: giải phương trình mũ và logarit : • Dạng cơ bản: f (x) a = g(x) a ⇔ f(x) = g(x) f (x) a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b log a f(x) = log a g(x) ⇔ f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x) > > = ; dạng: log f (x) b a 0 a 1 = < ≠ ⇔ f(x) = b a log v(x) u(x) = b ⇔ [ ] v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1 b v(x) u(x) > > ≠ = • Đặt ẩn phụ : i) α. 2f (x) a +β. f (x) a + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a , Đk t > 0 ii) α. b f (x) a + +β. b f (x) a − + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a , Đk t > 0 iii) α. f (x) a +β. f (x) b + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f (x) a ; 1 t = f (x) b ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 8 hoặc 4i) α. 2f (x) a +β. ( ) f (x) a.b + γ. 2f (x) b = 0 ; Đặt t = f (x) a b ÷ • Logarit hố hai vế : Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit • Dạng cơ bản : 1) f (x) a > g(x) a ⇔ f (x) g(x) khi a 1 f (x) g(x) khi 0 a 1 > > < < < 2) f (x) a > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1 f(x) < log a b nếu 0 < a < 1 3) f (x) a < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vơ nghiệm Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1 f(x) > log a b nếu 0 < a < 1 •log a f(x) > log a g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1 (a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0 •log a f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > b a * Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < b a •log a f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < b a * Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > b a • ( ) v(x) u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0 • ( ) )( )( xv xu < 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0 Lưu ý: *) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên. *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số. II. BÀI TẬP 1. Giải các phương trình a) 1 5 7 2 (1,5) 3 x x + − = ÷ b) ( ) 3 2 0,3 1 x− = c) 1 25 5 x = ÷ d) 2 3 2 2 4 x x − + = e) 7 1 2 (0,5) .(0,5) 2 x x+ − = f) 2 3 2 0,125.4 8 x x − − = ÷ ÷ g) 2 4 2 4 x x− − = Đs: a) x=1 b) 2 3 x = c) x = -2 d) x = 0 hoặc x = 3 e) x = 9 f) x=6 g)x= -2,x=3 2. Giải các phương trình mũ: a) 9 4.3 45 0 x x − − = b) 2 1 2 3 3 108 x x− + = c) 1 1 2 2 2 28 x x x+ − + + = d) 64 8 56 0 x x − − = e) 3.4 2.6 9 x x x − = f) 25 6.5 5 0 x x − + = Đs: x=0, x=1 g) 2 1 3 9.3 6 0 x x+ − + = h) 27 12 2.8 x x x + = i) 1 3 5 5 26 x x− − + = Đs: a) x =2; b) x = 2 c) x = 3 d) x = 1; e) x = 0 g) x = 0, x = 3 log 2 h) 0x = 3. Giải các phương trình logarit a) 3 9 27 log log log 11x x x+ + = b) 2 2 2 log 3log 2 0x x− + = c) 1 2 1 5 log 1 logx x + = − + d) 3 3 log (5 3) log (7 5)x x+ = + e) log( 1) log(2 11) log 2x x− − − = f) 2 log ( 5) log( 2) 3x x− + + = g) 2 log( 6 7) log( 3)x x x− + = − h) 2 2 log ( 1) 1 logx x+ = + Đs: a) x=729 c) x=100, x =1000 d) vô nghiệm e) x = 7 f) x = 6 g) x = 5 h) x=1 4. Giải các phương trình sau: ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 9 a) 2 1 1 log( 5) log5 log 2 5 x x x x + = + b) 2 1 log( 4 1) log8 log 4 2 x x x x = c) 4 8 2 log 4log log 13x x x+ + = ẹs: a) x = 2; b) x = 5 c) x = 8 5. Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh muừ a) 2 3 2 4 x x + < b) 2 2 3 7 9 9 7 x x ữ c) 2 1 3 3 28 x x+ + d) 4 3.2 2 0 x x + > e) 2 3 9 x x < f) 2 4 2.5 10 x x x < g) ( ) ( ) 7 48 7 48 14 x x + + = ẹs: a) x<1 hoaởc x>2; b) 1 1 2 x c) 1x d) 0x < hoaởc x >1 e) (1;2) f) 2 5 (log 2; )+ 6. Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh a) 8 log (4 2 ) 2x b) 1 1 5 5 log (3 5) log ( 1)x x > + c) 0,2 5 0,2 log log ( 2) log 3x x < d) 2 3 3 log 5log 6 0x x + ẹs: a) x 30 b) 5 3 3 x< < c) x > 3 d) 9 27x 7. Giaỷi caực phửụng trỡnh a) 4 3 4 3 3 3.5 5 3 x x x x+ + + + + = + b) 25 6.5 5 0 x x + = c) 4.9 12 3.16 0 x x x + = d) 7 7 7 log ( 1)log logx x x = e) 3 1 3 3 log log log 6x x x+ + = g) 8 log log 1 x x x + = ẹs: x= -3; b) x= 0, x=1 ; c) x=1; d) x=8; e)x=27; g)x=4 8. Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh a) 2 1 2 2 2 3 2 2 2 448 x x x + + b) 1 (0,4) (2,5) 1,5 x x+ > c) 2 3 1 2 log log ( 1) 1x < d) 2 0,2 0,2 log 5log 6x x < e) 5 17 7 3 32 0,25.128 x x x x + + = f) 3.4 2.6 9 x x x = g) 2 2 2log ( 1) log (5 ) 1x x > + h) 2 log( 16) log(4 11)x x ẹs: a) 9 2 x b) 1x < c) 3 2 2 2 x< < d) 0,008 < x < 0,04 CNG ễN THI TN 2011 GII TCH kientqk@gmail.com.vn 10 [...]... THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 13 1/ Diện tích hình phẳng: a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong, trục hoành và 2 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) b :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : S =∫ f ( x ) dx a b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong... 1 1 x + 2 x 2 − 3x 1 7 x − 13 dx dx dx 1 a) ∫ b) ∫ 2 c) ∫ 2 2 x x − 4x − 5 1 0 x + 3x + 2 0 2 π 3 a) sin 2x cos xdx ∫ 0 π 2 b) cos 5x cos xdx ∫ ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH 0 π 2 e) sin 2 2xdx ∫ 0 π 4 d) sin 4 x dx ∫ 0 kientqk@gmail.com.vn 12 3 3 a) 3 2 ∫ x − 4 dx b) ∫2 x 3π 4 − 4dx ∫ cos 2x +1dx c) π 4 0 −4 DẠNG 2 : Dùng phương pháp đổi biến số tính 1 Bµi 1 1 2 a) ∫ x 1 − x dx −1 b) 0 9 2 ∫... ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 14 π 2 Bài 2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay quanh trục Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: π x 1 y = x2 , y = 3x 2 y = sinx , y = cosx , x= 0 , x = 3 y = , y= x 2 2 4 y = ln x , y = 0 , x = e 5 y = x ex , y = 0 , x = 1 6 y = sinx ,O , x = 0, x = SỐ PHỨC 1 Mơ đun, các phép tốn LÝ THUYẾT • Số phức z có dạng z = a + bi , trong đó a, b... 2 dx d ∫ (e 2 x + 5)e 2 x dx 2 3 dx 2x −1 π 2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin4x , biết F( ) = -1 3 π 3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx.sin3x , biết F( ) = 1 6 ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH e.∫ kientqk@gmail.com.vn 11 4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 2 x 3 + 3x 2 + 3x − 1 , biết F( 1) = 2 3 x + 2x + 1 II.C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝnh tÝch ph©n Dạng 1: Tính tích... (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình b phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đt x= a; x=b là : S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần b [ g tìm là: S =∫ f ( x ) − ( x )]dx a... phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3 * Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0 2/ Thể tích của một vật thể tròn xoay Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung quanh trục ox là: b V =Π f 2 ( x) dx ∫ a BÀI TẬP TÍNH... Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả 2 T×m nguyªn hµm b»ng c¸ch ®ỉi biÕn sè: Dạng 1: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: 8, ∫ 2 2 a −x ; 1 2 2 a −x a2 + x2 ; thì đặt x = asint ; 1 2 + x2 a thì đặt x = atant Dạng 2: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách... +(2+i)(1-3i) = 2-3i b) (−2 + 7i ) z = (14 − i ) + (1 − 2i) z c) 3 z (2 − i) + 1 = 2iz (1 − i ) + 3i 2 + (1 − i ) z = 1 − 2i d) e) (2 − i) z = 3 + 4i f) (1 + 2i)3 z − (3 − 4i ) = −2 + 3i 2 − 3i ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 15 Bài 6: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng : a) Tổng bằng 4 và tích bằng 7; b) Tổng bằng -2 và tích bằng 6 ; c) Tổng bằng 2 và tích bằng 3; Bài 7:... x(1 − 3i ) 2 + ( x + 2 y )(1 + 2i )3 = 16 + 12i Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn mỗi điều kiện sau: a) z + 2i < 6 b) z − 1 + 3i ≤ 5 c) 2i − z = z + 3 d) z − 1 + 2i = 4 e) z + z + 2 = 1 f) z − 2i = z + 1 g) z − i = 1 h) z + (1 − 3i ) = z + 3 − 2i Bài 9: Tìm số phức z, biết: a) z + 2 z = 1 − 4i b) 2 z − 3z = 1 − 12i c) z − 3 z = 1 + 3i − d) ( z ) 2 + z =... thức sau: 2 a) A = z1 + z2 2 2 2 b) B = z1 + z2 Bài 13: 1 Tìm số phức z biết z = 3 3 c) C = z1 + z2 4 4 d) D = z1 + z2 − 34 và z + z = 6 2010 2 Chứng minh rằng z = ( 1 + i ) là số thuần ảo ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 16 . : 1. Tìm tập xác đònh. 2. Chiều biến thi n : ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – GIẢI TÍCH kientqk@gmail.com.vn 2 * Tìm y’, y’= 0 Þ nghiệm ( nếu có) * Lập bảng biến thi n Kết luận các khoảng tăng, giảm,. tương giao của đường cong Bài toán : Cho hàm số ( )y f x= có đồ thi (C) và hàm số ( )y g x= có đồ thò là (C’) . Hãy biện luận (hoặc tìm giao điểm ) của hai đường cong trên. Cách giải. Dùng đồ thò (C) biện luận theo m nghiệm của phương trình 3 12 4 0x x m- - = 4. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x. 5. Tìm giá trò lớn nhất và giá