ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HK2

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TPĐN TRƯỜNG PTTH PHAN CHU TRINH ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 HỌC KỲ II NĂM HỌC: 2009 - 2010 A. ĐẠI SỐ I. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN §1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh một mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi số nguyên dương n, ta thực hiện hai bước sau: . Bước 1: Kiểm chứng P(n) đúng khi n = 1 . Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng với n = k + 1 Vd1: Chứng minh 1 3 + 2 3 + + n 3 = 4 )1n(n 22 + §2. Dãy số 1. Định nghĩa: u: N * → R n → u n = u(n) gọi là dãy số 2. Cách cho dãy số: a/ Cách 1: Cho bởi công thức b/ Cách 2: Cho bởi hệ thức truy hồi (qui nạp) c/ Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số. 3. Dãy số tăng, giảm 4. Dãy số bị chặn Chú ý: . Để chứng minh dãy (U n ) tăng, giảm xét U n+1 - U n (hoặc n 1n U U + nếu U n > 0, ∀n) . Để chứng minh (U n ) bị chặn, ta tìm hai số m, M sao cho m ≤ U n ≤ M, ∀n. Vd: Cho (U n ): U n = 2n 1n2 + + . Chứng minh dãy số tăng và bị chặn cần chú ý: Nếu (U n ) tăng thì bị chặn dưới bởi U 1 . Nếu (U n ) giảm thì bị chặn trên bởi U 1 §3. Cấp số cộng 1. Định nghĩa: (U n ) là CSC ⇔ U n = U n-1 + d, ∀n ≥ 2. 2. Tính chất: (U n ) là CSC ⇔ U k = 2 UU 1k1k +− + , ∀k ≥ 2 3. Số hạng tổng quát: U n = U 1 + (n - 1)d 4. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng S n = [ ] 2 nd)1n(u2 2 )uu(n 1n1 −+ = + §4. Cấp số nhân 1. Định nghĩa: (U n ) là CSN ⇔ U n = U n-1 . q, ∀n ≥ 2 2. Tính chất: (U n ) là CSN ⇔ 2 k U = U k-1 . U k+1 , ∀k ≥ 2 3. Số hạng tổng quát: U n = U 1 . q n-1 4. Tổng của n số hạng đầu tiên của CSN S n = q1 )q1(u n 1 − − (q ≠ 1) II. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ §1. Dãy số có giới hạn 0 1. Định nghĩa: limU n = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃ N / n > N → U n < ε 2. Một số dãy số có giới hạn 0 2 a) 0 n 1 lim = b) 0 n 1 lim 3 = . Định lý 1: U n  < V n , ∀n mà V n → 0 thì U n → 0 Vd1: Chứng minh 0 n nsin lim = . Định lý 2: Nếu q < 1 thì limq n = 0 Vd2: 0 2 1 lim n = H: Chứng minh 0 4 3 n cos lim n = π §2. Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Định nghĩa: limU n = L ⇔ lim(U n - L) = 0 2. Một số định lý . Định lý 1: Cho U n → L khi đó a) U n  → L và 3 3 n LU → b) Nếu U n ≥ 0 ∀n thì L ≥ 0 và LU n → . Định lý 2: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai dãy số bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn . CSN lùi vô hạn khi công bội q mà q < 1 . S = U 1 + U 2 + + U n + = q1 U 1 − Vd1: Tính 2 2 2 1 2 1 32 +++ Vd2: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777 dưới dạng phân số. §3. Dãy số có giới hạn vô cực 3 1. Dãy số có giới hạn +∞ Định nghĩa: limU n = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ N / n > N → U n > M 2. Dãy số có giới hạn -∞ Định nghĩa: limU n = -∞ ⇔ ∀m < 0, ∃ N / n > N → U n < m Định lý: U n  → +∞ ⇒ n U 1 → 0 3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực a) QT1: U n → ±∞ → U n .V n → ±∞ V n → ±∞ b) QT2: U n → ±∞ → U n .V n → ±∞ V n → L (L ≠ 0) c) QT3: U n → L (L ≠ 0) V n → 0 (V n ≠ 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi) → n n V U → ±∞ Chú ý: Trên đây chỉ viết tổng quát, trong từng trường hợp cụ thể, ta phải xác định dấu của U n và V n khi đó mới có kết quả cụ thể được. III. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Giới hạn tại 1 điểm a) Giới hạn hữu hạn Định nghĩa: L)x(flim o xx = → ⇔ ∀(x n ): x n ≠ x o (x n ≠ x o ) → f(x n ) → L Vd1: x 1 sin.xlim 0x→ b) Giới hạn vô cực Định nghĩa: 4 ±∞= → )x(flim o xx ⇔ ∀(x n ): x n → x o (x n ≠ x o ) → f(x n ) → ±∞ Vd2: Tìm 2 1x )1x( 2 lim − → 2. Giới hạn tại vô cực Định nghĩa: L)x(flim x = +∞→ ⇔ ∀(x n ): x n → +∞ → f(x n ) → L L)x(flim x = −∞→ ⇔ ∀(x n ): x n → -∞ → f(x n ) → L Vd3: Chứng minh a) 0 x 1 lim x = +∞→ b) 0 x 1 lim x = −∞→ Nhận xét: . 0Clim o xx = → .    ∞− ∞+ = −∞→ k x xlim . o xx xxlim o = → . 0 x 1 lim k x = +∞→ . +∞= +∞→x k xlim . 0 x 1 lim k x = −∞→ 3. Một số định lý a) Định lý: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số bằng tổng, hiệu, tích thương các giới hạn của chúng. KQ1: k o k xx axaxlim o = → b) Định lý 2: Nếu L)x(flim o xx = → thì; . L)x(flim o xx = → . 3 3 xx L)x(flim o = → . Nếu f(x) ≥ 0 ∀x ≠ x o thì L ≥ 0 và L)x(flim o xx = → 5 nếu k chẵn nếu k lẻ IV. GIỚI HẠN MỘT BÊN 1. Giới hạn hữu hạn ĐN1: )x(flim o xx + → = L ⇔ ∀(x n ): x n → x o (x n > x o ) → f(x n ) → L )x(flim o xx − → = L ⇔ ∀(x n ): x n → x o (x n < x o ) → f(x n ) → L . Nhận xét: 1) f(x) có giới hạn bằng L tại x o ⇔ )x(flim o xx + → = )x(flim o xx − → = L 2) Các định lý 1 và 2 trong mục III vẫn đúng khi thay x → x o bởi x → + o x hoặc x → − o x 2. Giới hạn vô cực: Định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn V. MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC a) Định lý: f(x) → +∞ → )x(f 1 → 0 b) Các quy tắc . Quy tắc 1: f(x) → ±∞ → f(x) . g(x) → ±∞ g(x) → L (L ≠ 0) . Quy tắc 2: f(x) → L (L ≠ 0) → . )x(g )x(f → ±∞ g(x) → 0 (g(x) ≠ 0) Chú ý: Dấu +∞ hoặc -∞ tùy thuộc vào f(x); g(x) hoặc L VI. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH 1. 0 0 và ∞ ∞ 2. 0 x ∞ 3. ∞ - ∞ VII. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa: . f liên tục tại x o ⇔ )x(flim o xx→ = f(x o ) . Hàm số không liên tục tại x o được gọi là gián đoạn tại x o 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn 6 a) Định nghĩa: . f liên tục trên khoảng (a, b) ⇔ f liên tục tại mọi x ∈ (a, b) + f liên tục trên khoảng (a, b) . f liên tục trên đoạn [a, b] ⇔ + )x(flim ax + → = f(a) + )b(f)x(flim bx = − → b) Kết quả: . Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm liên tục là một hàm liên tục . Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng c. Định lý 1: Các hàm số lượng giác đều liên tục trên tập xác định của chúng. 3. Tính chất của hàm số liên tục . Định lý 2: (Định lý về giá trị trung gian) Giả sử f liên tục trên đoạn [a, b], nếu f(a) ≠ f(b) thì mọi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c) = M. Hq: Nếu f liên tục trên [a, b] mà f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0. IV. ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm tại một điểm . f'(x o ) = x y lim x )x(f)xx(f lim xx )x(f)x(f lim 0x oo 0x o o xx o ∆ ∆ = ∆ −∆+ = − − →∆→∆→ 2. Qui tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: B1. Tính ∆y = f(x o + ∆x) - f(x o ) B2. Tìm x y lim 0x ∆ ∆ →∆ 7 Chú ý: f có đạo hàm tại x o ⇒ f liên tục tại x. 3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm f'(x o ) là hsg của tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại điểm M o (x o , f(x o )) thuộc đồ thị. 4. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại điểm M o (x o , f(x o )): y = f(x o )(x - x o ) + f(x o ) 5. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm Vận tốc tức thời tại thời điểm t o (hay vận tốc tại t o ) của một chuyển động có phương trình S = S(t) là v(t o ) = S'(t o ) 6. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng . f có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f'(x) tại mọi x ∈ J . Nếu f có đạo hàm trên J thì hàm số f': J → R. x → f'(x) gọi là đạo hàm của f. 7. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp a) y = c → y' = 0 b) y = x → y' = 1 c) y = x n → y' = nx n-1 (n ∈ N * ) d) y = x2 1 'yx =⇒ 8. Các qui tắc tính đạo hàm a) y = u ± v → y' = u' + v' . Mở rộng: y = u 1 ± u 1 ± ± u n → y' = u' 1 ± u' 2 ± ± u' n b) y = u.v → y' = u'v + v'u . Đặc biệt: y = k . u → y' = k . u' (k là hằng số) . Mở rộng: y = u.v.w → y' = u' . v. w + u.v'.w + u.v.w' 8 c) y = 2 v u'vv'u 'y v u − =⇒ Đặc biệt 2 v 'v 'y v 1 y −=⇒= d) Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y = f(u(x)) ta có y' x = f'(u(x)) . u'(x) Trong thực hành ta thường viết y' x = y' u . u' x Hệ quả: 1) y = u n → y' = n.u n-1 . u' 2) y = u2 'u 'yu =⇒ 3) y = 2 u 'u 'y u 1 − =⇒ 9. Đạo hàm của các hàm số lượng giác a) 1 x xsin lim 0x = → . Mở rộng 1 )x(u )x(usin lim o xx = → với 0)x(ulim o xx = → b)    =⇒= =⇒= ucos'.u'yusiny xcos'yxsiny c)    =⇒= −=⇒= usin'.u'yucosy xsin'yxcosy d)        =⇒= =⇒= ucos 'u 'yutany xcos 1 'yxtany 2 2 e)        −=⇒= −=⇒= usin 'u 'yucoty xsin 1 'yxcoty 2 2 9 10. Vi phân a) Vi phân của hàm số tại 1 điểm df(x o ) = f '(x o ) ∆x b) Vi phân của hàm số d(f(x) = f '(x)dx 11. Đạo hàm cấp cao a) Đạo hàm cấp hai: f " = (f')' b) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: gia tốc tại t o là: γ(t o ) = S"(t o ) c) Đạo hàm cấp cao: f (n) = [f (n-1) ]' B. HÌNH HỌC I.QUAN HỆ SONG SONG 1. Cho a // b: mp(P) chứa a; mp(Q) chứa b nếu (P) cắt (Q) theo giao tuyến d thì d// a, d // b hoặc d trùng với một trong hai đường thẳng đó. 2. Chứng minh đt a // mp(P) . Cách 1: Ta c/m a ∉ (P); a // b và b ⊂ (P) . Cách 2: Ta c/m a ⊂ (Q) mà (Q) // (P) 3. Nếu a // (P); mp(Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b // a. 4. C/m (P) // (Q); Ta chứng minh trong mp này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. 5. Cho (P) // (Q). Nếu (R) cắt (P) thì (R) phải cắt (Q) và hai giao tuyến song song với nhau. 6. Cho a chéo b, qua đường thẳng này ta dựng được duy nhất một mặt phẳng song song với đường thẳng kia. 7. Định lý Thales a. Định lý thuận: Ba mặt phẳng song song chắn trên hai 10 [...]... phẳng vuông góc a ĐN: Hai mặt phẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90o b Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Định lý 2: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau c Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc Định lý 3: Nếu (P) ⊥ (Q) thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mp này mà vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc... ba vectơ không đồng phẳng: Trong không gian, cho ba vectơ a , b , c không đông phẳng, khi đó mọi vectơ d đều phân tích được theo a , b , c nghĩa là d = m a + n b + p c với m, n, p ∈ R và duy nhất 3 Phương pháp giải các bài toán hình học bằng phương pháp vectơ Để giải các bài toán hình học bằng phương pháp vectơ, trước hết ta chọn ba vectơ không đồng phẳng của bài toán làm cơ sở (nên chọn cùng một điểm... trên mp(P) ta lấy hai vectơ không cùng phương v và w rồi chứng minh u , v , w đồng phẳng (tức u = m v + n w ), sau đó chỉ ra một điểm của a không thuộc (P) §2 Hai đường thẳng vuông góc 1 Góc giữa hai đường thẳng 2 Hai đường thẳng vuông góc: a ⊥ b ⇔ (a, b) = 90o §3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1 ĐN: a ⊥ (P) ⇔ a vuông góc với mọi đường thẳng của (P) 2 Định lý 1: nếu d vuông góc với hai đường thẳng... bao nhiêu 4 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều a ĐN: Hình chóp đều là hình chóp có: Đáy là đa giác đều Các cạnh bên bằng nhau b.Tính chất hình chóp đều: Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau - Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau - Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau c Hình chóp cụt đều: Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng... song DE EF FD song với một mặt phẳng 8 Hình lăng trụ và hình hộp 9 Phép chiếu song song II.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1 Vectơ trong không gian và sự đồng phẳng của các vectơ 1 Vectơ trong không gian: Vectơ và các phép toán về vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng vì vậy ta cần ôn lại các kiến thức đã học ở lớp 10, cụ thể: + Phép cộng hai vectơ; Quy tắc ba điểm; Quy tắc hình... thẳng vuông góc chung của a và b A B P CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 1 Dạng 1: Chứng minh a ⊥ b Cách 1: Ta chứng minh góc của a và b là 90o Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia Cách 3: Dùng định lý ba đường vuông góc 2 Dạng 2: Chứng minh mp(P) ⊥ mP(Q): Ta chứng minh trong mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia 3.Dạng 3: Dựng mp(P) qua O và vuông... ∈ (P) , đường thẳng d qua A và d ⊥ (Q) thì d ⊂ (P) 15 Hq2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt thứ ba Hq3: Qua đường thẳng a không vuông góc với (P), có duy nhất một mp(Q) ⊥ (P) 3 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Bài toán: Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh... a⊥d   b) (P) ⊥ (d) ⇒ a // (P) d ∉ ( P)   5 Định lý ba đường vuông góc: Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với một đường xiên khi và chỉ khi đường thẳng đó vuông góc với hình chiếu cua đường xiên 6 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng a và mp(P) a ĐN: Nếu a ⊥ (P) thì góc của a và (P) là 90o Nếu a không vuông góc với (P) thì góc của a và (P) là góc của a và hình chiếu a'... đều: Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều Trong một hình chóp cụt đều, ta có: Hai dáy là hai đa giác đều và đồng dạng Các cạnh bên kéo dài đồng qui tại 1 điểm đó là đỉnh của hình chóp đều được cắt ra để tạo nên hình chóp cụt đều Các mặt bên là các hình thang cân và bằng nhau 16 Đoạn nối tâm của hai đáy là đường cao §5 Khoảng cách... (P) thì d ⊥ (P) Hq: Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh thứ ba 3 Các tính chất a) Có duy nhất một mp (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng ∆ cho trước b) Có duy nhất một dường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mp(P) cho trước 4 Liên hệ giữa hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng . PHAN CHU TRINH ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 HỌC KỲ II NĂM HỌC: 2009 - 2010 A. ĐẠI SỐ I. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN §1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh một mệnh đề chứa biến. chiếu song song II.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1. Vectơ trong không gian và sự đồng phẳng của các vectơ 1. Vectơ trong không gian: Vectơ và các phép toán về vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn. a , b , không cùng phương thì a , b , c đồng phẳng ⇔ c = m a + n b c. Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng: Trong không gian, cho ba vectơ a , b , c không đông phẳng,