PHƯƠNG TRìNH, hệ phơng trình Và MộT Số MẹO NHỏ I.Phơng pháp sử dụng phơng trình đờng thẳng vào việc giải phơng trình Ta nhắc lại khái niệm về phơng trình tham số của đờng thẳng: Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm M(a,b) và có vectơ chỉ phơnglà thì phơng trình tham số của đờng thẳng là: Ta đã biết phơng trình đờng thẳng trong mặt phẳng, nó cũng là một phần trong các đề thi đại học nhng ở đây ta sẽ ứng dụng nó vào việc giải phơng trình. Nghe có vẻ lạ quá phải không?. Thật ra cũng không có gì cả, nó chỉ là một mẹo nhỏ thôi để giúp việc giải phơng trình đợc dễ dàng hơn thôi (Mà này cái này không phải do mình nghĩ ra đâu nha, đừng có ngạc nhiên hey!,mình cũng chỉ đi góp nhặt tài liệu thôi!!!). Ta sẽ làm một ví dụ nhỏ để làm sáng tỏ những nghi ngờ nha. V D1: Giải phơng trình: + =1 Giải: Ta so sánh 2 cách giải sau đây: Cách 1: Điều kiện: Đặt u= , ; v= , v. Ta có hệ phơng trình sau: + Với thì + Với thì + Với thì Vậy phơng trình có nghiệm là Cách 2: Đặt Khi đó ta có: Cộng theo vế (1) và (2), ta đợc: +Với thì +Với thì +Với thì Vậy phơng trình có các nghiêm là: Ta thấy 2 cách trên có nhiều nét tơng đồng, nhng ở cách 2 ta không phải giải hệ phơng trình (điều đó thực sự không quan trọng lắm, nhng dẫu sao vẫn tiện hơn!) Các bạn đang thắc mắc tại sao ta lại đặt đợc nh cách 2. Ta sẽ thấy ngay sau đây: Đặt: Ta thu đợc phơng trình đợc đờng thẳng: . Ta có phơng trình tham số là: Sau đó ta đặt nh trên và ta có lời giải thật là gọn. VD2: Giải phơng trình: Giải: Tơng tự nh cách làm trên ta có cách giải nh sau: + Cái này là ngoài nháp nì: Đặt . Ta có phơng trình đờng thẳng (d) là: Đờng thẳng (d) đi qua điểm M(1;3) và có , nên có phơng trình tham số là Lời giải: Điều kiện: Đặt . Ta có: (2) Cộng theo vế (1) và (2), ta đợc: loại nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là Các bạn thấy thế nào, nó đem lại cho chúng ta một lời giải khá ngắn gọn nhng nó cũng có một số nh- ợc điểm, nhng trớc hết các bạn thử giải một số phơng trình bằng cách sử dụng kĩ thuật nhỏ trên nha: Bài tập 1: Giải các phơng trình: a, b, c, Các bạn có thể tự tìm bài tập cho mình vì lợng tài liệu mà các bạn đang có là rất lớn trên mạng nè, trên sách báo nè. Các bạn có để ý tới những bài toán mà chúng ta vừa làm không, chúng đều có dạng chung là:, đây chính là điểm hạn chế của kĩ thuật trên. Nhng nếu gặp các bài toán dạng nh trên thì các bạn cứ áp dụng thoải mái và một điều quan trọng là kĩ thuật này có thể đợc áp dụng nhiều vào việc giải phơng trình hơn. Ta có ví dụ nhỏ sau đây: VD3: Giải hệ phơng trình: (ĐH-A-2005) Bài này chắc cũng có nhiều bạn làm đợc rồi và với nhiều cách khác nhau nhng hôm nay mình sẽ giới thiệu một lời giải mới. Nói trớc tí nha, mình sẽ xét phơng trình (2) trớc, ngoài nháp nha: Đặt . Ta thu đợc phơng trình đờng thẳng là: . Từ đây ta dễ dàng lập đợc phơng trình tham số của đờng thẳng là: , do đó ta có lời giải nh sau: Giải: Đặt Ta có: Thay vào (1), ta đợc: Suy ra: Vậy phơng trình có nghiệm là (1;1) Các bạn thấy lời giải trên nh thế nào, riêng mình thấy lời giải trên khá hay và ngắn gọn và dơn giản về mặt ý tởng. Ta sẽ đến với ví dụ nhỏ sau đây: VD4: Giải hệ phơng trình: (Kon Tum 2005-2006) Giải: Điều kiện: Đặt Thay vào ta đợc: (loại) + Với + Với Vậy hệ phơng trình có các nghiệm là: (8;8);(8;-8) Ta thấy hai bài toán trên là các bài toán đối xứng thế ta thử xem với các bài toán không đối xứng ta có thể giải quyết đợc không. Ta tới với ví dụ sau: VD5: Giải hệ phơng trình: Các bạn chắc đã gặp nhiều bài loại này rồi phải không, rứa thì thử làm theo cách của các bạn trớc rồi hãy đọc lời giải này sau và so sánh nha!!! (Ta sẽ xuất phát từ phơng trình (1), ta thấy có hai biểu thức đặt dới dấu căn nên ta sẽ xem mỗi căn là một ẩn và đặt ẩn phụ cho các căn đó. Xem kĩ nha!) Giải: Điều kiện: Đặt: Ta có: Ta có tiếp: Thay vào ta đợc: (lọai) Với Vậy hệ phơng trình có nghiệm là: Bài toán trên có dạng khá hay, có bài tơng tự là đề thi học giỏi quốc gia, ta sẽ thấy luôn nha: VD6 : Giải hệ phơng trình: (HSGQG-2001) Giải: Điều kiện: Đặt: Ta có: Ta có tiếp: Suy ra: Thay vào (2), ta đợc: Đối chiếu điều kiện thì nghiệm: (loại) Với thì : (hệ phơng trình bậc nhất trên các bạn tự giải nha!!!) Vậy hệ phơng trình có nghiệm là: Thật là thú vị, khi viết về phần này là mình không ngĩ là sẽ làm đợc bài toán trên, nhng càng làm thì mình thấy có một số bài tơng tự có thể giải đợc nên mình thử làm cái không ngờ lại đẹp rứa. Sau đây là lời giải do ban tổ chức công bố: Điều kiện: Đặt: Từ hệ đã cho ta có hệ: Nhận thấy: . Kết hợp với (1) suy ra: . Thế vào (2) ta đợc: (3) Thay (3) vào (2) ta có: Thế vào (3) ta đợc: Thử lại thấy thoả mãn bài toán. Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất là: Các bạn thử so sánh nha. Các bạn thử ngĩ xem là cách nào đơn giản hơn và cách nào có ứng dụng nhiều hơn.Chúng ta sẽ tới một ví dụ tiếp theo, chúng ta sẽ thấy đợc kĩ thuật nhỏ này không chỉ để giải phơng trình mà nó còn giúp ta giải quyết một số bài toán giải và biện luận bài toán: VD7: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm: Giải: Bằng cách làm ngoài nháp tơng tự nh trên ta sẽ đặt: Suy ra: Đặt: với . Suy ra: : Cách xét tính biến thiên của hàm số bậc 2 thì các bạn đều biết cả nên mình không trình bày ở đây (vì phải kẻ bảng, phiền phức lắm, mà mình thì nhác nữa), ta có kết quả là: Vậy để phơng trình có nghiệm thì . Phải công nhận là nó rất khéo phỉa không?. Và ví dụ cuối cùng sau đây sẽ khẳng dịnh điều đó: VD8: Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm: Giải: Điều kiện: Đặt: . Suy ra: Cộng theo vế và ta đợc: Đặt: với .Suy ra: : Vẫn câu nói trên, xét tính biến thiên của hàm số là của các bạn, ta có kết quả là: Suy ra: , đó là giá trị m cần tìm. Nh vậy là đã xong một phần, mỏi tay quá. Hôm nay là 29/12/2010, đơng nhiên là âm lịch nha. Sắp tới tết rồi, nhanh quá mới đó mà lại thêm một cái tết nữa và thời gian trôi vèo vèo luôn chẳng cho con ng- òi nghỉ ngơi gì cả. Không biết nói gì nữa cả, thôi trở lại vấn đề chính nha.!!! Và trên đây chỉ là một bài toán đơn giản, từ đó có thể áp dụng vào nhiều bài toán khó hơn, nhng phần đó xin nhờng lại cho các bạn. Sau đây là một số bài tập để các bạn luyện tập, nhng muốn giỏi thì đề nghị các bạn làm các bài tập ở các nguồn tài liệu khác. Bài tập tự luyện: 1.Giải hệ phơng trình: a, b, c, d, e, f, (Chọn đội tuyển Bà Rịa-Vũng Tàu 2010-2011) 2. Giải phơng trình: a, b, Đến đây thôi nha! Mình không biết viết gì nữa cả. Vốn ngữ văn của mình tệ lắm. Sang kĩ thuật mới nha, mình lại nói sai nữa rồi cái này không mới đâu dã có từ lâu rồi chỉ có điều là mọi ngời cũng không biết nhiều về nó thôi ah! (Dặn nè! Nếu ai biết cái này rồi thì đừng nói mình khinh ngời nha mà nghĩ là mình nói còn thiếu nha và xem nh cái này để giúp các bạn ôn tập luôn nha!) II. Phơng pháp sử dụng tính đồng bậc của đa thức Chẳng có gì lạ đúng không, cái này các bạn áp dụng suốt,đừng nói đông bậc là gì nha, nó cũng đơn giản thôi. Ví dụ: ) là một đa thức đồng bậc 2. Cái này đợc áp dụng nhiều vào các bài giải phơng trình,hệ phơng trình và đặc biệt là nó cũng đợc áp dụng nhiều vào việc giải các bài bất đẳng thức, một phần mà mình nghĩ có rất nhiều ngời sợ (Cái đó mình sẽ nói tới ở phần bất đẳng thức). Giống nh phần trên chúng ta sẽ đi qua các ví dụ và mong các bạn sẽ rút ra đợc nhiều kinh nghiệm qua những ví dụ đó. VD1: Giải hệ phơng trình: Giải: Ta có: Ta có các trờng hợp sau: + Nếu + Nếu + Nếu (Vô nghiệm) Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là: (0;1);(1;0) Thật là ngắn gọn, chúng ta sẽ thấy đợc sức mạnh của nó ở các ví dụ tiếp theo. Nhng trớc đó, chúng ta ngắm lại bài toán trên tí! Việc chúng ta nhân đại lợng vào phơng trình dới đã đa phơng trình dới về một phơng trình đồng bậc 5, chính điều này đã mở đờng cho việc giải bài toán trên, vì vậy chúng ta hiểu việc giải bằng phơng pháp đồng bậc là chúng ta cố gắng chuyển bài toán mình đang giải về dạng đồng bậc rồi giải. Ah, ở đây mình không xét các phơng trình lợng giác đồng bậc vì các bạn cũng đã làm nhiều mà quan trọng là mình không biết cách làm số mũ của hàm lợng giác. Mình chỉ xét tới những bài đại số đơn thuần mà thôi. VD2: Giải hệ phơng trình: (Dự bị KA-2006) Chắc chắn sẽ có ngời ồ lên rằng bài này quen quen, đúng rồi đó vừa mới thi thử Minh Khai xong mà. Câu này đợc xếp vào câu khó của đề thi và hôm đó mình giải bằng một cách khác phức tạp hơn cách mình sắp trình bày. Giải: Ta có: Ta có: (1) + Với , thay vào , ta thấy không thoả mãn. + Với , ta đợc hệ: + Với , ta thu đợc hệ: Vậy hệ phơng trình có các nghiệm là: (1;3); (-1;-3); (); (). Đây là đáp án của trờng THPT Minh Khai, và cũng là lời giải mà mình tìn thấy ở một số tài liệu. Bài này còn một số cách khác nữa mong các bạn tự tìm hiểu. Đừng bao giờ hài lòng là mình đã giải đợc một bài nào đó mà chúng ta nên thêm các lời giải các cho bài toán hoặc từ bài toán đó chúng ta đa ra những bài toán mới hay bài toán tổng quát (nói rứa thôi mình cũng không làm đợc nh vậy). VD3: Giải hệ phơng trình: Giải: + Với ta thu đợc hệ: + Với ta thu đợc hệ: + Với ta thu đợc: 0=1, Vô lí. Vậy hệ phơng trình có các nghiệm là: (); () Vì phần này không có gì mới lạ nên mình chỉ làm thêm một ví dụ nữa thôi, còn lại là phần bài tập dành cho các bạn. VD4: Giải hệ phơng trình: Giải: Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm là: (2;1);(-2;-1) Qua các ví dụ trên ta có thể thấy t tởng chính của kĩ thuật này là chúng ta chuyển phơng trình cần giải về dạng đồng bậc rồi làm mà thôi. Sau đây là một số bài tập dành cho các bạn luyện tập. bài tập tự luyện: Giải hệ phơng trình: a, b, c, d, e, Các bạn hãy làm các bạn tập trên và làm các bài tập các trong các tài liệu khác chắc chắn sẽ thu đợc nhiều kinh nghiệm bổ ích. III. Nhân liên hợp Đây là phần cuối trong phần phơng trình này và cũng là phần mà mình tâm đắc nhất vì nó đã giúp mình rất nhiều trong việc giải các bài phơng trình và bây giờ mình muốn các bạn khám phá kĩ hơn về nó. Các biểu thức nhân liên hợp, mình xin nhắc lại là rất quan trọng, vì nó áp dụng vào các phần khác trong toán chứ không phải chỉ trong phơng trình, do đó các bạn phải nắm chắc các công thức này. Mình không nhắc lại các công thức nữa vì phải đánh máy. Sau đây là một số ví dụ: VD1: Giải phơng trình: Giải: Điều kiện: Ta có: + Với:(t/m) + Với: Vậy phơng trình có nghiệm là: Mấu chốt để giải bài toán trên là ta xác định đợc là một nghiệm của phơng trình, từ đó chúng ta biến đổi để xuất hiện nhân tử chung: . Nh vậy để giải một bài toán mà sử dụng kĩ thuật này thì ta phải xác định đợc ít nhất một nghiệm của phơng trình, thờng là nghiệm mang các giá trị nguyên và dễ đoán. Ta có cách giải một bài toán bằng kĩ thuật này là: Cho phơng trình: + Ngoài nháp: - Nhẩm một nghiệm của phơng trình, giả sử là . Từ đó ta có: . Ta chỉ cần giải phơng trình . Đến đây ta thờng dùng các đánh giá bất đẳng thức để chứng minh ph- ơng trình vô nghiệm hay có nghiệm duy nhất, hay sử dụng kĩ thuật trên biến đổi tiếp nếu ta nhẩm đợc thêm một nghiệm nữa của phơng trình. Ta sẽ biến đổi: , sao cho: Suy ra: Ta sẽ giải phơng trình:. Tiếp tục quá trình nh trên ta sẽ giải quyết xong bài toán. Để hiểu hơn ta sẽ làm bài toán sau: VD2. Giải phơng trình: Ta thay một số giá trị đặc biệt nh 0; 1; 2; 3ta thấy là một nghiệm của phơng trình. Ta sẽ phân tích: Vì: Hay: Ta có lời giải nh sau: Điều kiện: Ta có: + Với: + Với: . Theo điều kiện ta có: (Vô nghiệm) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: Ta sẽ tiếp tục với một số ví dụ sau: VD3: Giải phơng trình: Ta thấy: Do vậy ta sẽ nhân các biểu thức liên hợp để xuất hiện các biểu thức trên. Giải: Điều kiện: (Vì Ta có: (t/m) (Vì vô nghiệm). Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: VD4: Giải phơng trình: Giải: Điều kiện: Ta có: (Vì vô nghiệm) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: VD5: Giải phơng trình: Giải: Điều kiện: Ta có: (vì ) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là Kĩ thuật này đòi hỏi phải quan sat tinh tế một tí, nhiều khi ta có thể phân tích thành nhân tử đợc nhng nghiệm đó không thoả mãn điều kiện ta vẫn phân tích nhiều khi điều đó giúp làm đơn gianr bài toán đi rất nhiều. Nh VD3 và VD4 thì ta chú ý thấy một hiệu của các cặp đa thức là giống nhau nên ta ghép lại. Ta sẽ thờng dùng cách này trong nhng bài toán phức tạp vì khi đó khá là khó cho việc nhẩm nghiệm. VD6: Giải phơng trình: Giải: Điều kiện: Ta có: Suy ra: + Thử thấy là nghiệm của phơng trình. + Giả sử . Nhân 2 vế của (1) với biểu thức liên hợp ta đợc: Từ (1) ta có: Cộng theo vế hai phơng trình trên ta đợc: Đến đay tự giải nha!!! VD7: Giải phơng trình: Mình không làm kĩ, chỉ hớng dẫn qua thôi. Trừ theo vế 2 phơng trình trên và bình phơng ta thu đợc phơng trình bậc 2.(dễ ợt rồi còn gì nữa) Một số bài tập tự luyện ( Số lợng ít vì mình cha tổng hợp đợc vì vậy khi nào làm bài tập thì các bạn nghĩ xem bài đó có thể giải bằng phép nhân liên hợp không và thử là nha!!!): Giải các phơng trình sau: a, b, c, Tiếp theo là một số hệ phơng trình ta có thể giải bằng phép nhân liên hợp này. VD8. Giải hệ phơng trình: Bài này ta có thể giải bằng việc sử dụng phơng trình đờng thẳng, ở đây ta sẽ giải cách khác. Giải: Điều kiện: . Ta có: Đặt: . Với: . Ta có: Suy ra: Trên đó là tất cả nhng gì mình muốn nói, hãy bớt chút thời gian và đọc nó nhé. Và cuối cùng là lời chúc mừng năm mới an khang thịnh vợng, cùng với lời giải một số bài toán thi ( Lơì giải không tránh khỏi việc dài dòn và sai sót mong các bạn thông cảm và góp ý). một số bài toán thi: Bài 1: Hà Nội 2010-2011 Giải hệ phơng trình: Giải: Từ (2) ta có: Từ (1) ta có: Xem là phơng trình bậc 2 với ẩn là . Ta có: Suy ra: . Thay vào (1) ta đợc: . Thay vào (1) ta đợc: ( Vô nghiệm) Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất là (2;1) Bài 2: Đồng Tháp 2003-2004 Giải phơng trình: Giải: Điều kiện: . Ta luôn có: VP>0 + Với thì . Phơng trình vô nghiệm. + Với thì Theo điều kiện của ta có thể đặt: với Phơng trình đã cho trở thành: Suy ra: Số xấu quá không biết mình có tính sai không nữa nên các bạn kiểm tra lại nha!!! Bài 3: Kon-Tum 2005-2006 Giải phơng trình: Giải: Điều kiện: Đặt với Phơng trình trên trở thành: (Tự tính tiếp nha!!!) Tơng tự: Kon-Tum 2006-2007 Giải phơng trình: Bài 4: Lâm Đồng 2010-2011 Giải hệ phơng trình: Giải: Đặt . Ta đợc: + Với suy ra (không phải là nghiệm của hệ) + Với + Với Vậy hệ có 2 nghiệm là: ( Bài 5: Lâm Đồng 2010-2011 Giải phơng trình: Giải: Điều kiện: Ta có: ( Vì phơng trình trong ngoặc vô nghiệm) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là Vì thời gian có hạn nên mình chỉ viết đến đây thôi!!! Chúc các bạn học tốt! Nguyễn Mạnh Hùng.11A1. . trình: Ta thay một số giá trị đặc biệt nh 0; 1; 2; 3ta thấy là một nghiệm của phơng trình. Ta sẽ phân tích: Vì: Hay: Ta có lời giải nh sau: Điều kiện: Ta có: + Với: + Với: . Theo điều kiện. nha!) Giải: Điều kiện: Đặt: Ta có: Ta có tiếp: Thay vào ta đợc: (lọai) Với Vậy hệ phơng trình có nghiệm là: Bài toán trên có dạng khá hay, có bài tơng tự là đề thi học giỏi quốc gia, ta. đây ta thờng dùng các đánh giá bất đẳng thức để chứng minh ph- ơng trình vô nghiệm hay có nghiệm duy nhất, hay sử dụng kĩ thuật trên biến đổi tiếp nếu ta nhẩm đợc thêm một nghiệm nữa của phơng