Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Sở giáo dục và đào tạo lai châu (Đề thi gồm 01 trang) kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2011 môn: toán - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1: (4 Điểm) a, Chứng minh rằng số tự nhiên abcd chia hêt cho 11 nếu ab cd + chia hết cho 11 b, Chứng minh (5 20 -1) chia hết cho (5 5 -1) c, Tìm nghiệm nguyên và nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 7x + 23y = 120 Câu 2: (3 điểm) a, Thực hiện phép tính sau: A = 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 + + + + b, Rút gọn biểu thức sau: 2010 2011 2 2010 + c, Không khai phơng hy so sánh: 2009 + 2011 và 2 2010 Câu 3: (5 điểm) 1, Cho x + y = 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x 3 + y 3 + xy 2, Cho phơng trình: x 2 + 6x + 6m - m 2 = 0 (Với m là tham số) a, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. b, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 sao cho: x 1 = x 2 3 - 8x 2 . Câu 4: (4 điểm) Cho đờng tròn tâm (O) bán kính R, A là một điểm cố định trên (O). Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) tại A. Lấy điểm M trên tia Ax (M A). Kẻ tiếp tuyến MB với (O), B là tiếp điểm. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MA, K là giao điểm thứ hai của BI và đờng tròn (O). Nối M với K. a, Chứng minh các tam giác IAK và IBA đồng dạng với nhau. b, Chứng minh góc IMK và góc IBM bằng nhau c, Gọi H là trực tâm của tam giác MAB. Khi điểm M di động trên tia Ax thì điểm H chạy trên hình nào? Câu 5: (4 điểm) 1, Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, có các đờng cao AA', BB', CC', đồng quy tại H. Chứng minh rằng: AH BH CH 6 A'H B'H C'H + + 2, Cho hình thang ABCD (AB//CD), Một đờng thẳng qua giao điểm I của hai đờng chéo và song song với hai đáy cắt BC tại J. Chứng minh rằng: 1 1 1 AB CD IJ + = Hết đề chính thức Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Câu 1: a, Chứng minh rằng số tự nhiên abcd chia hết cho 11 nếu ab cd + chia hết cho 11 Ta có: abcd = ab .100 + cd = 99. ab + ( ab + cd ) Vì: 99 ab 11 và ( ab + cd ) 11 (gt) abcd 11 (đpcm) b, Chứng minh (5 20 -1) chia hết cho (5 5 -1) Ta có: (5 20 - 1) = (5 5 ) 4 - 1 = [(5 5 ) 2 - 1][(5 5 ) 2 + 1] = (5 5 - 1)(5 5 + 1)[(5 5 ) 2 + 1] (5 5 -1) (đpcm) c, Tìm nghiệm nguyên và nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 7x + 23y = 120 +) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: Từ 7x + 23y = 120 x = 1 2y 17 3y 7 + . Đặt 1 - 2y = 7a (a Z) 2y = 1 - 7a y = -3a + 1 a 2 Đặt 1 - a = 2t (t Z) a = 1 - 2t y = -3(1 - 2t) + t = 7t - 3 x = 27 - 23t Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là: x 27 23t y 7t 3 = = (t Z) +) Tìm nghiệm nguyên dơng: Do x 0 27 23t 0 3 27 t y 0 7t 3 0 7 23 > > < < > > Nhng vì t Z t = 1 x = y = 4 Vậy: Nghiệm nguyên dơng của phơng trình là x = y = 4 Câu 2: (3 điểm) a, Thực hiện phép tính sau: A = 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 + + + + + Giải A = 2 3 2 3 2 4 3 2 4 3 + + + + 2 2 2 3 2 3 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) + = + + + 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 + = + + + + 2 3 2 3 3 3 3 3 + = + + (2 3)( 3 1) (2 3)( 3 1) 2 3 1 3( 3 1)( 3 1) 2 3 + + + = = = + . Vậy A = 1. b, Rút gọn biểu thức sau: Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên B = 2010 2011 2 2010 + = 2 2010 ( 2010 1) + = 2010 - 2010 - 1 = 1. Vậy B = -1 c, Không khai phơng hy so sánh: 2009 2011 + và 2. 2010 Vì 2010 + 2009 < 2011 + 2010 1 1 2010 2009 2011 2010 < 2010 - 2009 > 2011 - 2010 2. 2010 > 2009 2011 + Vậy: 2009 2011 + < 2. 2010 Câu 3: 1, Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x 3 + y 3 + xy Thậy vậy: Q = x 3 + y 3 + xy = (x + y)(x 2 - xy + y 2 ) + xy = x 2 + y 2 Q = x 2 + y 2 Mặt khác theo Bunhiacopxky ta có: (x + y) 2 (1 + 1)(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 1 2 . Dấu "=" xảy ra khi x = y Vậy: MinQ = 1 2 khi x = y 2, Cho phơng trình: x 2 + 6x + 6m - m 2 = 0 a, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệu cùng dấu: Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là 2 2 2 ' 0 9 (6m m ) 0 m 3 (m 3) 0 ac 0 0 m 6 0 m 6 1.(6m m ) 0 > > > > < < < < > Vậy với 0 < m < 6 và m 3 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu b, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 sao cho: x 1 = x 2 3 - 8x 2 Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: m 3 Khi đó ta có: 3 1 2 1 2 1 2 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x 6 x x 6 x (1) x x 8x x x 6 6 x x 8x x 7x 6 0 (2) x .x 6m m x .x 6m m x .x 6m m (3) = = = + = = + = = = = Giải (2): x 2 3 - 7x 2 + 6 = 0 (x 2 - 1)(x 2 - 2)(x 2 + 3) = 0 TH 1 : x 2 = 1 x 1 = - 7 thay vào (3) ta có: m 2 - 6m - 7 = 0 m = -1 hoặc m = 7 (T/m) TH 2 : x 2 = 2 x 1 = - 8 thay vào (3) ta có: m 2 - 6m - 16 = 0 m = -2 hoặc m = 8 (T/m) TH 3 : x 2 = - 3 x 1 = - 3 (Loại vì phơng trình có hai nghiệm phân biệt) Vậy m = {-2; -1; 7; 8} Câu 4: Cho đờng tròn tâm (O) bán kính R, A là một điểm cố định trên (O). Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) tại A. Lấy điểm M trên tia Ax (M A). Kẻ tiếp tuyến MB với (O), B là tiếp điểm. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MA. K là giao điểm thứ hai của BI và đờng tròn (O). Nối M với K. a, Chứng minh các tam giác IAK và IBA đồng dạng với nhau. b, Chứng minh góc IMK và góc IBM bằng nhau c, Gọi H là trực tâm tam giác MAB. Khi M di động trên tia Ax thì điểm H chạy trên đờng nào? Giải HS: Tự ghi GT/KL a, Xét IAK và IBA có: Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên I - chung; IAK IBA = ( = 1 2 sđ AK ) IAK IBA(g.g) b, Vì IAK IBA(g.g) IA IK IB IA = Theo giả thiết thì: IA = IM IM IK IB IM = IM IB IK IM = Xét IMK và IBM có: IM IB IK IM = (C/m trên) I - chung IMK IBM (c.g.c) IMK IBA = (góc tơng ứng) c, Gọi N là giao của AH với AM Khi đó: 1 1 A B = (cùng phụ với NAB ) mà 1 2 A B = (OAB cân tại O) 1 2 1 B B A = = Mặt khác: AB OH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AOBH là hình thoi. H luôn nhìn điểm A với một khoảng cách không đổi R Khi M di động trên Ax thì H di động trên nửa đờng tròn tâm A bán kính R đồng thời H O ( Vì H O A, O, B thẳng hàng không tồn tại M) Vậy khi M di động trên Ax thì H di động trên nửa đờng tròn tâm A bán kính R và H O (Xem hình vẽ) O K I M B A D C 2 N 1 1 H O K I M B A Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Câu 5: 1, Cho tam giác ABC với ba góc nhọn, có đờng cao AA', BB', CC' đồng quy tại H. Chứng minh rằng: AH BH CH 6 A'H B'H C'H + + Giải Đặt S HAB = S 1 ; S HBC = S 2 ; S HAC = S 3 +) 3 1 3 1 HCA' HBA' 2 AH S S S S A'H S S S + = = = +) BH B'H = 1 2 1 2 HAB' HCB' 3 S S S S S S S + = = +) CH C'H = 3 2 3 2 HAC' HBC' 1 S S S S S S S + = = AH BH CH A'H B'H C'H + + = = 3 1 2 S S S + + 1 2 3 S S S + + 3 2 1 S S S + = 1 2 2 3 1 3 2 1 3 2 3 1 S S S S S S 2 2 2 6 S S S S S S + + + + + + + = (đpcm) 2, Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đờng thẳng đi qua giao điểm I của hai đờng chéo và song song với hai đáy cắt BC tại J. Chứng minh rằng: 1 1 1 AB CD IJ + = Giải +) Vì AB // IJ IJ CJ AB CB = (hệ quả đlí Talet) +) Vì CD // IJ IJ BJ CD BC = (hệ quả đlí Talet) IJ AB + IJ CD = CJ CB + BJ BC IJ AB + IJ CD = CJ JB 1 CB + = IJ AB + IJ CD = 1 1 1 1 AB CD IJ + = S 3 S 2 S 1 H C' C B' B A' A J I D C B A . 2010 + 2009 < 2011 + 2010 1 1 2010 2009 2011 2010 < 2010 - 2009 > 2011 - 2010 2. 2010 > 2009 2011 + Vậy: 2009 2011 + < 2. 2010 Câu 3: 1, Cho x + y = 1 Uyên B = 2010 2011 2 2010 + = 2 2010 ( 2010 1) + = 2010 - 2010 - 1 = 1. Vậy B = -1 c, Không khai phơng hy so sánh: 2009 2011 + và 2. 2010 Vì 2010 + 2009 < 2011 + 2010 . Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Sở giáo dục và đào tạo lai châu (Đề thi gồm 01 trang) kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2011 môn: toán - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150