Các bài toán giải tích là một dạng toán điển hình thường gặp trong các kì thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh và cấp Quốc gia. Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị ôn tập tốt và hướng đến các kì thi, bài viết xin được giới thiệu một số thí dụ và bài tập là những đề thi của các Sở GD–ĐT trong những năm gần đây. Trong bài viết này, chúng tôi đều tiến hành các thao tác trên máy tính VINACAL 570ES PLUS II, CASIO fx − 570 , VN PLUS hai dòng máy có nhiều tính năng nhất được Bộ GDĐT cho phép mang vào phòng thi.
40 TRẦN ĐÌNH CƯ (GV Trường THPT Gia Hội, Huế) ác bài toán giải tích là một dạng toán điển hình thường gặp trong các kì thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh và cấp Quốc gia. Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị ôn tập tốt và hướng đến các kì thi, bài viết xin được giới thiệu một số thí dụ và bài tập là những đề thi của các Sở GD–ĐT trong những năm gần đây. Trong bài viết này, chúng tôi đều tiến hành các thao tác trên máy tính VINACAL 570ES PLUS II, CASIO f x − 570 ,VN PLUS hai dòng máy có nhiều tính năng nhất được Bộ GD&ĐT cho phép mang vào phòng thi. I. TÍNH GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ • Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0 x ta nhấn liên tiếp các phím lúc đó màn hình hiển thị () d d x x =, , . Nhập hàm số và nhập giá trị 0 x , sau đó ấn phím • Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II ta có thể tính giới hạn của hàm số tại điểm 0 x bằng cách nhấn các phím lúc đó màn hình hiển thị ( ) lim →, , x . Nhập hàm số và nhập giá trị 0 x , sau đó ấn phím . Thí dụ 1. Tính giới hạn 56 0 121 lim x xx A x → + −+ = . Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II) Ta thực hiện theo quy trình bấm phím sau: . Ta được kết quả 0,1333333333 ≈ − x . Để đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn này sang phân số ta ấn phím như sau 1 3 ta được kết quả 2 15 = −A . Ta có thể chuyển việc tính giới hạn trên thành tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm nhờ nhận xét. 0 () (0) lim '(0) 0 → − == − x fx f Af x với 56 () 1 2 1 = +− +fx x x . Để tính '(0)f ta thực hiện theo quy trình ấn phím sau: Ta được kết quả 0,1333333333. A ≈ − Thí dụ 2. Cho hàm số () 3 () 2ln 1 x e fx xx x 2 = + ++ . Tính giá trị gần đúng của () 1 '1 ' 2 Sf f ⎛ ⎞ =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11 ''. 310 ff ⎛⎞ ⎛ ⎞ +++ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ " Lời giải. Để tính S ta thực hiện theo quy trình ấn phím sau: {Biến đếm} {Biến tổng} . C 41 Lúc đó màn hỉnh hiển thị 1:XX C=+ () 3 2 1 d d 2ln 1 X x X e C x XX X = ⎛⎞ ⎜⎟ =+ ⎜⎟ ++ + ⎝⎠ ấn tiếp . Rồi ấn liên tiếp dấu đến khi 10=X thì trên màn hình xuất hiện 57, 7875854=−C . Để lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, ta tiếp tục ấn phím . Kết quả 57, 7876≈−S . Từ đây về sau, nếu không có gì đặc biệt thì các kết quả đều lấy 4 chữ số thập phân. II. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thí dụ 3. Giải phương trình 37sin x x x=+ trên ( ) 0; .+∞ Lời giải. Xét hàm số () 3 7sin=− − x f xxx Ta có '( ) 3 ln 3 7 cos 1; x fx x=−− 2 ''( ) 3 ln 3 7 sin x f xx=+. Nhận thấy "( ) 0fx> với ( ) 0;x∀∈ +∞ nên '( ) f x có nhiều nhất một nghiệm thuộc ( ) 0; + ∞ . Do đó () f x có nhiều nhất hai nghiệm thuộc ( ) 0; +∞ . Dùng chức năng để giải phương trình: Chuyển máy về chế độ rad bằng cách ấn . Ghi vào màn 37sin()−− X XX bằng cách ấn các phím . Để tìm nghiệm ta ấn được 1 0,1474477308,x ≈ tiếp tục ấn ta được 2 1, 943922627.x ≈ Kết quả 1 0,1474;x ≈ 2 1, 9439x ≈ . Thí dụ 4. Giải hệ phương trình 33 23 ln 0 (1) 2517 1 (2) xx yy x ee y yx x ++ ⎧ +− = ⎪ ⎨ ⎪ +−= − ⎩ Lời giải. Điều kiện 1> x , 0> y . PT 33 (1) ln ln xx yy exe y ++ ⇔+=+ (3) Xét hàm số 3 () ln + =+ tt f te t trên ( ) 1; .+∞ Ta có () 3 2 1 '( ) 3 1 0, tt ft t e t + = ++> nên hàm số () f t đồng biến trên ( ) 1; .+∞ Do đó PT (3) ⇔ () () f xfy = ⇔ . x y= Thay y = x vào PT (2), ta được 23 2517 1xx x + −= − ⇔ 432 4292110500(*)xxxx−+−+= Sử dụng chức năng để giải PT (*) bằng cách: ghi vào màn hình PT (*), sau đó ấn liên tiếp ta được 1 1, 550510257 ≈ x , lưu x 1 vào ô nhớ A bằng cách ấn tiếp phím , để tìm nghiệm thứ hai ta vẫn ghi lại vào màn hình PT(*) rồi ấn ta được 2 6, 449489743≈x lưu nghiệm này vào ô nhớ B bằng cách ấn . Ta thấy {màn hình hiện số 8}, dùng phím dịch chuyển đến dấu , ấn {màn hình hiện số 10} tức là { 8 .10 + = = AB AB hay , A B là nghiệm của phương trình 2 8100−+=XX , từ đó (*) ⇔ 46x =± . Vậy nghiệm của hệ phương trình (; ) xy = ( ) 46;46,++ (; ) xy = ( ) 46;46−−. III. CỰC TRỊ HÀM SỐ, ĐIỂM UỐN VÀ TIỆM CẬN Thí dụ 5. Cho hàm số 432 () , f xaxbxcxdxe = ++++ ( ) 0a ≠ thoả mãn 35 (0) ; (1) ; 42 ff==− 37 (2) ; 4 f =− 21 (3) ; 2 f =− 35 139 (4) ; (5) 42 ff ==. Gọi ,, A BC là các điểm cực trị của hàm số. Tính gần đúng giá trị diện tích của tam giác . A BC Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II). Từ 3 (0) 4 f = suy ra 3 4 = e . Vào chương trình giải hệ 4 phương trình 4 ẩn bằng cách ẩn 42 , nhập các hệ số để tìm a, b, c, d. Ta tìm được hàm số 42 173 () 424 =−+fx x x . Khảo sát hàm số này ta tìm được 32323 0; ; 7; ; 7; 422 AB C ⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ −− − ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ . Vậy () 1 ., 32,4105 2 ABC SBCdABC=≈. Lưu ý. Đối với máy VINACAL 570ES PLUS II ta có thể giải được hệ 4 phương trình 4 ẩn số và lưu trực tiếp được các nghiệm này vào các biến nhớ trong môi trường EQN. Thí dụ 6. Tìm các tiệm cận của hàm số 2 1|| 238 . 2 x xx ye x − ++ =+ + Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II). Do 2 lim 0 x y →− = nên tiệm cận đứng 2.x =− Để tìm tiệm cận ngang, ta cần tính 2 1|| 238 lim 2 − →±∞ ⎛⎞ ++ ⎜⎟ + ⎜⎟ + ⎝⎠ x x xx e x . Dùng chức năng tính giới hạn của hàm số , màn hình hiển thị ( ) lim →, , x . Nhập hàm số 2 1| | 238 2 − ++ + + X XX e X và cho x các giá trị rất lớn như 999 999; 999 999 999; 999 999 999 999 ta cùng được giá trị 2=y hay y ≈ 1,4142; cho x các giá trị rất bé như 999 999;− 999 999 999;− 999 999 999 999− ta cùng được giá trị 2=−y hay 1, 41421 y ≈− . Vậy có hai tiệm cận đứng là 2 1, 4142=± ≈±y . Thí dụ 7. Cho hàm số y 2 2 253 31 xx x x − + = −+ . Xác định toạ độ điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. Lời giải. TXĐ = \D . Ta có () 2 2 2 13 14 2 '; 31 xx y xx −− = −+ ( ) () 32 3 2 613 21 6 3 '' 31 xxx y xx − −−+ = −+ . Vào chương trình để giải phương trình bậc ba 32 13 21 6 3 0.xxx − −+= 1 2 3 1, 8005 '' 0 0, 2772 0, 4624 x yx x ≈ ⎡ ⎢ =⇔ ≈ ⎢ ≈− ⎣ l−u vµo « nhí A l−u vµo « nhí B l−u vµo « nhí C. Sử dụng chức năng tính giá trị hàm số () = yfx tại các giá trị ,, A BC (xem Đặc san Số 5) ta được 1 0, 0539;y ≈ 2 1, 8542;y ≈ 3 2, 7282y ≈ . IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Thí dụ 8. (Đề thi HSG MTCT Quảng Trị 2012) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 432 2011 31 17 2 2012 yx x xx=− − +− trên đoạn 3; 2 ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ . Lời giải. Đặt 3; 2 ⎡ ⎤ =− ⎣ ⎦ D , và 3 432 2011 31 () 17 . 2 2012 =− − +− fx x x x x Ta có 3 32 33 '( ) 4 2 17 1 2 fx x x x = −−+. Sử dụng để giải PT '( ) 0fx= tìm được 1 1, 4275x ≈ (loại); 2 0,1824x ≈ ; 3 0, 9603.x ≈− Sử dụng chức năng tính được ( ) 3 3, 0579;f −≈ ( ) 2 3,1741;f ≈− ( ) 2 0, 9035fx ≈− ; ( ) 3 2, 7104.fx ≈− Suy ra 3,1741 ( ) 3, 0579, . − ≤≤ ∀∈ f xxD Do đó 0()3,1741≤≤fx . Vậy max ( ) 3,1741; min ( ) 0. D D fx fx ≈ = 43 V. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Thí dụ 9. (Đề thi HSG MTCT Quốc gia 2013) Cho hàm số () 2 3 3 () sin4 log sin 2. xx fx e x x + =++ a) Tính giá trị hàm số tại 12 x π = ; b) Đường thẳng y ax b=+ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 12 x π = . Tìm ,ab. Lời giải. a) Đưa máy về chế độ rad bằng cách ấn . Ghi vào màn hình 2 3 3 sin 4 log (sin 2) XX eXX + ++ rồi ấn các phím ta được kết quả là 2, 516059996. Đưa giá trị này vào ô nhớ A bằng cách ấn . Vậy 2, 5161. 12 f π ⎛⎞ ≈ ⎜⎟ ⎝⎠ b) Ta có ( ) '; 12 af π = ( ) 12 12 bf a ππ =− Để tính a ta ấn liên tiếp các phím được kết quả a = ' 9, 0080. 12 f π ⎛⎞ ≈ ⎜⎟ ⎝⎠ Đưa giá trị này vào ô nhớ B bằng cách ấn . Ghi vào màn hình 12 π − A B và ấn phím ta được 0,1578 . Vậy 0,1578.b ≈ Thí dụ 10. (Đề thi HSG MTCT Tuyên Quang 2011) Cho hàm số sin () ( 0) xxx fx x x ++ => (1). Tính (theo radian) góc tạo bởi tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ 0 3x = với đường thẳng 2012. x = Lời giải. Gọi α là góc tạo bởi tiếp tuyến tại điểm 0 3x = với chiều dương của trục Ox. Khi đó 0 tan '( ) 0α= >fx . Đưa máy về chế độ rad, sử dụng chức năng tính đạo hàm ( ) ' 3 27, 5218045≈f . Góc cần tìm bằng 1 tan ( '( 3)). 2 − π − f Kết quả α ≈ 0, 0363 (rad). BÀI TẬP 1. Tính các giới hạn sau a) ( ) 2 sin sin 1 lim ; 2 x xx x π → − π − b) 35 3 0 121 lim . 382 1 x xx xx → +− + + −+ 2. Cho hàm số 2 2 2 13 () log ( 1) 23 + + =+ + ++ x xx fx x xx . Hãy tính giá trị gần đúng của (1) 1 (1) '(3). 2 f Pf f ⎛⎞ =+ + ⎜⎟ ⎝⎠ 3. Giải phương trình () 6 64log6121. x xx = ++ + 4. Giải hệ phương trình 33 2 2013 2014 2013 2014 31 83. x xx x xy x xy ⎧ += + ⎪ ⎨ −+= − ⎪ ⎩ 5. Cho hàm số 42 41 = −+yx x . Tính chu vi tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. 6. Cho hàm số 2 1 3 2 = −− x yx x . Gọi ,, A BC là ba điểm cực trị hàm số. Tính gần đúng các giá trị toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 7. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số a) 2 2 2 51 + − = + + xx y x x ; b) 2 32 .yx xx=+ + − 8. Cho hàm số bậc ba 32 . y xbxcxd=+ ++ Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 6) và tiếp tuyến tại điểm 141 ; 28 B ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ thuộc đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 15 . 4