Các bài toán giải tích là một dạng toán điển hình thường gặp trong các kì thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh và cấp Quốc gia. Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị ôn tập tốt và hướng đến các kì thi, bài viết xin được giới thiệu một số thí dụ và bài tập là những đề thi của các Sở GD–ĐT trong những năm gần đây. Trong bài viết này, chúng tôi đều tiến hành các thao tác trên máy tính VINACAL 570ES PLUS II, CASIO fx − 570 , VN PLUS hai dòng máy có nhiều tính năng nhất được Bộ GDĐT cho phép mang vào phòng thi.
Trang 1TRẦN ĐÌNH CƯ
(GV Trường THPT Gia Hội, Huế)
ác bài toán giải tích là một dạng toán điển
hình thường gặp trong các kì thi giải toán
trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh và cấp Quốc
gia Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị ôn
tập tốt và hướng đến các kì thi, bài viết xin
được giới thiệu một số thí dụ và bài tập là
những đề thi của các Sở GD–ĐT trong
những năm gần đây Trong bài viết này, chúng
tôi đều tiến hành các thao tác trên máy
tính VINACAL 570ES PLUS II, CASIO fx−
570VN PLUS, hai dòng máy có nhiều tính
năng nhất được Bộ GD&ĐT cho phép mang
vào phòng thi
I TÍNH GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM
CỦA HÀM SỐ
• Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 ta
nhấn liên tiếp các phím lúc đó màn
hình hiển thị ddx( ), x=, Nhập hàm số và
nhập giá trị x0, sau đó ấn phím
• Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II
ta có thể tính giới hạn của hàm số tại điểm
0
x bằng cách nhấn các phím
lúc đó màn hình hiển thị lim( ), x→, Nhập
hàm số và nhập giá trị x0, sau đó ấn phím
Thí dụ 1 Tính giới hạn
0
1 2 1 lim
x
A
x
→
+ − +
Lời giải (VINACAL 570ES PLUS II) Ta thực
hiện theo quy trình bấm phím sau:
Ta được kết quả x ≈ −0,1333333333 Để đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn này sang phân số ta ấn phím như sau 1 3 ta được kết quả 2
15
= −
Ta có thể chuyển việc tính giới hạn trên thành tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm nhờ nhận xét
0
( ) (0)
0
→
−
x
x
với f x( ) = 5 x+ −1 62x+1
Để tính '(0)f ta thực hiện theo quy trình ấn phím sau:
Ta được kết quả A≈ −0,1333333333.
Thí dụ 2 Cho hàm số
( )
3
( )
2 ln 1
x e
f x
= + + +
Tính giá trị gần đúng của
( ) 1
' 1 '
2
S= f + ⎜ ⎟f ⎛ ⎞⎝ ⎠ ' 1 ' 1
+ ⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠ " ⎝ ⎠
Lời giải Để tính S ta thực hiện theo quy trình
ấn phím sau:
{Biến đếm}
{Biến tổng}
C
Trang 2Lúc đó màn hỉnh hiển thị X = X +1 :C
3 2
1
d
X
x X
e C
=
ấn tiếp Rồi ấn liên tiếp dấu
đến khi X =10 thì trên màn hình xuất hiện
57, 7875854
= −
C Để lấy kết quả với 4 chữ
số thập phân, ta tiếp tục ấn phím
Kết quả S ≈ −57, 7876 Từ đây về sau,
nếu không có gì đặc biệt thì các kết quả đều
lấy 4 chữ số thập phân.
II SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thí dụ 3 Giải phương trình 3 x =7 sinx x +
trên (0;+∞ )
Lời giải Xét hàm số ( )f x = 3x −7 sinx− x
Ta có '( )f x =3 ln 3 7 cosx − x− 1;
2 ''( ) 3 ln 3 7 sinx
Nhận thấy "( )f x > với 0 ∀ ∈x (0;+∞ nên )
'( )
f x có nhiều nhất một nghiệm thuộc (0;+∞ )
Do đó ( )f x có nhiều nhất hai nghiệm thuộc
(0;+∞ )
Dùng chức năng để giải phương trình:
Chuyển máy về chế độ rad bằng cách ấn
Ghi vào màn 3X −7 sin( )X − X bằng cách ấn
các phím
Để tìm nghiệm ta ấn được x1 ≈0,1474477308, tiếp tục
ấn ta được x2 ≈1, 943922627
Kết quả x1 ≈ 0,1474; x2 ≈1, 9439.
Thí dụ 4 Giải hệ phương trình
y
⎪
⎨
⎩
Lời giải Điều kiện x >1, y > 0
PT (1) ⇔ e x3+x +ln x = e y3+y + ln y (3)
Xét hàm số f t( ) = e t3+t +lnt trên (1;+∞ )
t
+
nên hàm số ( )f t đồng biến trên (1;+∞ )
Do đó PT (3) ⇔ ( )f x = f y( ) ⇔ x = y
Thay y = x vào PT (2), ta được
2x +5x− =1 7 x − 1
⇔ 4x4 −29x3 +21x2 −10x+50 = 0 (*)
Sử dụng chức năng để giải PT (*) bằng cách: ghi vào màn hình PT (*), sau đó
1 ≈1, 550510257
x , lưu x1 vào ô nhớ A bằng cách ấn tiếp phím , để tìm nghiệm thứ hai ta vẫn ghi lại vào màn hình PT(*) rồi
ấn ta được x2 ≈6, 449489743
lưu nghiệm này vào ô nhớ B bằng cách ấn
Ta thấy {màn hình hiện số 8}, dùng phím dịch chuyển đến dấu , ấn {màn hình hiện số 10} tức là { 8
.+ 10=
=
A B hay ,A B là
nghiệm của phương trình X2 −8X +10 0= , từ
đó (*) ⇔ x = ±4 6 Vậy nghiệm của hệ phương trình ( ; )x y = (4+ 6; 4+ 6 ,)
( ; )x y = (4− 6; 4− 6).
III CỰC TRỊ HÀM SỐ, ĐIỂM UỐN
VÀ TIỆM CẬN
Thí dụ 5 Cho hàm số
f x =ax +bx +cx +dx e + (a ≠ 0)
4
21 (3) ;
2
f = − (4) 35; (5) 139
Gọi , , A B C là các điểm cực trị của hàm số Tính gần đúng giá trị diện tích của tam giác ABC
Lời giải ( VINACAL 570ES PLUS II)
Từ (0) 3
4
f = suy ra 3
4
=
e Vào chương trình giải hệ 4 phương trình 4 ẩn bằng cách ẩn
Trang 3, nhập các hệ số để tìm a, b, c, d Ta tìm
được hàm số ( ) 1 4 7 2 3
sát hàm số này ta tìm được
Vậy 1 ( , ) 32, 4105
2
ABC
Lưu ý. Đối với máy VINACAL 570ES PLUS II
ta có thể giải được hệ 4 phương trình 4 ẩn số
và lưu trực tiếp được các nghiệm này vào
trường EQN
Thí dụ 6 Tìm các tiệm cận của hàm số
2
2
x
+
Lời giải ( VINACAL 570ES PLUS II)
Do
2
→ư = nên tiệm cận đứng x = ư 2
Để tìm tiệm cận ngang, ta cần tính
2
lim
2
ư
→±∞
x x
e
Dùng chức năng tính giới hạn của hàm số
, màn hình hiển thị lim( ), x→,
Nhập hàm số 1 | | 2 2 3 8
2
+
e
cho x các giá trị rất lớn như 999 999;
999 999 999; 999 999 999 999 ta cùng được
giá trị y = 2 hay y ≈ 1,4142; cho x các
giá trị rất bé như 999 999;ư 999 999 999;ư
999 999 999 999
2
= ư
y hay y≈ ư1, 41421 Vậy có hai tiệm
cận đứng là y = ± 2 ≈ ±1, 4142.
Thí dụ 7 Cho hàm số
ư +
=
ư +
Xác định toạ độ điểm uốn của đồ thị hàm số
đã cho
Lời giải TXĐ D = \
Ta có
( )
2
2 2
y
=
ư +
( )
3 2
''
y
=
Vào chương trình để giải phương trình bậc ba 13x3 ư21x2 ư6x+ =3 0
1 2 3
1, 8005
0, 4624
x
x
≈
⎡
⎢
⎢ ≈ ư
⎣
lưu vµo « nhí A lưu vµo « nhí B lưu vµo « nhí C
Sử dụng chức năng tính giá trị hàm số ( )
=
y f x tại các giá trị , , A B C (xem Đặc san
Số 5) ta được y1 ≈ 0, 0539; y2 ≈1, 8542;
3 2, 7282
IV GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Thí dụ 8 (Đề thi HSG MTCT Quảng Trị 2012)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
trên đoạn ⎡⎣ư 3; 2⎤⎦
Lời giải Đặt D = ư⎡⎣ 3; 2⎤⎦, và
3
2011
Ta có '( ) 4 3 3 3 2 2 173 1
2
f x = x ư x ư x+
Sử dụng để giải PT '( )f x = tìm được 0
1 1,4275
x ≈ (loại); x2 ≈0,1824; x3 ≈ ư0, 9603
Sử dụng chức năng tính được
( )3 3, 0579;
f ư ≈ f ( )2 ≈ ư3,1741; ( )2 0, 9035
f x ≈ ư ; f x( )3 ≈ ư2, 7104 Suy ra 3,1741ư ≤ f x( ) ≤ 3, 0579,∀ ∈x D
Do đó 0 ≤ f x( ) ≤ 3,1741 Vậy max ( ) 3,1741; min ( ) 0
D
Trang 4V TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Thí dụ 9 (Đề thi HSG MTCT Quốc gia 2013)
3 ( ) x xsin4 log sin 2
a) Tính giá trị hàm số tại
12
x = π ;
b) Đường thẳng y = ax b + là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
12
x = π
Tìm , a b
Lời giải a) Đưa máy về chế độ rad bằng
cách ấn Ghi vào màn hình
2
3
3 sin 4 log (sin 2)
quả là 2, 516059996 Đưa giá trị này vào ô
nhớ A bằng cách ấn
Vậy 2, 5161
12
f ⎛⎜ π ⎞ ≈⎟
b) Ta có '( );
12
b = f π −a π
Để tính a ta ấn liên tiếp các phím
được kết quả a = ' 9, 0080
12
f ⎛⎜ π ⎞ ≈⎟
⎝ ⎠
Đưa giá trị này vào ô nhớ B bằng cách ấn
Ghi vào màn hình
12
π
−
A B và ấn phím ta được 0,1578 Vậy b ≈ 0,1578.
Thí dụ 10 (Đề thi HSG MTCT Tuyên Quang 2011)
Cho hàm số f x( ) = xsinx+ x x+ (x > 0) (1)
Tính (theo radian) góc tạo bởi tiếp tuyến của
đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ
x = với đường thẳng x = 2012
Lời giải. Gọi α là góc tạo bởi tiếp tuyến tại điểm
x = với chiều dương của trục Ox Khi đó
0
tanα = f x'( ) > 0 Đưa máy về chế độ rad,
sử dụng chức năng tính đạo hàm
( )
' 3 ≈ 27, 5218045
1 tan ( '( 3))
π−
f Kết quả α ≈ 0, 0363 (rad). BÀI TẬP
1. Tính các giới hạn sau
2
2
x
x
π
→
− π
−
0
x
→
2. Cho hàm số
2
( )
log ( 1)
2 3
+ +
+ +
x
x x
f x
x
Hãy tính giá trị gần đúng của
(1) 1
2
f
3.Giải phương trình 6x=4log 66( x+ + + 1 2) x 1
4. Giải hệ phương trình
2
2013 2014 2013 2014
⎪
⎪⎩
5.Cho hàm số y = x4 − 4x2 +1 Tính chu vi tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số
6. Cho hàm số 2 3 1
2
= x − −
x Gọi , ,A B C
là ba điểm cực trị hàm số Tính gần đúng các giá trị toạ độ tâm và bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC
7.Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
+ −
= + +
y
x x ; b)
2
y = +x + x x−
8. Cho hàm số bậc ba y=x3 +bx2 +cx d+
Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 6) và tiếp
tuyến tại điểm 1 41;
2 8
B ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ thuộc đồ thị hàm số
có hệ số góc bằng 15
4