Một số cách giải cơ bản: 1. Phương pháp thế, 1. Phương pháp đặt ẩn số phụ, 2. Phương pháp cộng, 3. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số, 4. Phương pháp dùng bất đẳng thức, 5. Phương pháp đánh giá, 6. Phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp). Sau đây là một số ví dụ cụ thể cho các phương pháp:
Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 1 MỤC LỤC Trang A- PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1- Phương pháp bình phương hai vế 2 2- Phương pháp nhân lượng liên hợp 7 3- Phương pháp đặt ẩn phụ 14 4- Phương pháp hàm số đơn điệu 19 B- BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 23 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 2 A - PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1- PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ • Mục đích: Khử dấu căn thức, đưa phương trình đã cho về phương trình đa thức. • Phương pháp chung: chuyển số hạng chứa căn về một vế, các số hạng khác sang vế còn lại, sau đó bình phương hai vế. Chú ý phép bình phương hai vế chỉ là phép biến đổi hệ quả, do đó sau khi giải ra nghiệm thì phải thử lại. • Các phương trình cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0g x f x g x f x g x ≥ = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 g x f x f x g x f x g x ≥ ≥ = ⇔ = hoÆc ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 f x g x f x g x = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 f x g x f x g x = ⇔ = • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi thử Đại học trường THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An – năm 2011) Giải phương trình 2 4 8 2 3 1 x x x − + + = . (1) Giải: Điều kiện: 3 2 x ≥ − ( ) − + + ≥ ⇔ + = − + + ⇔ + = − + + 2 2 2 2 4 8 1 0 (2) (1) 2 3 4 8 1 2 3 4 8 1 (3) x x x x x x x x 4 2 3 2 4 3 2 (3) 2 3 16 64 1 64 8 16 8 32 28 7 1 0 x x x x x x x x x x ⇔ + = + + − − + ⇔ − + + − = ( ) ( ) 2 2 4 10 1 2 3 1 0 x x x x ⇔ − + − − = 5 21 3 17 4 4 hoÆc x x ± ± ⇔ = = [dùng máy tính CASIO hoặc VINACAL để phân tích thành nhân tử] Đối chiếu với (2), ta được nghiệm là 5 21 3 17 ; 4 4 x x − + = = . Ví dụ 2: (Đề thi thử Đại học ĐH Hồng Đức năm 2012) Giải phương trình 2 1 1 3 2 3 2 4 x x x x − + + = (1) Giải: Bình phương hai vế của (1), ta được: ⇒ − + + = ⇒ + − + + = 2 2 2 4 3 2 1 1 (1) 3 12 16 32 232 8 1 0 2 4 x x x x x x x x ( ) ( ) 2 2 4 20 1 4 12 1 0 ⇒ + + − + = x x x x [dùng máy tính CASIO hoặc VINACAL để phân tích] 5 2 6 3 2 2 2 2 − ± ± ⇒ = ∨ =x x . Thử lại, ta được nghiệm là 3 2 2 5 2 6 ; 2 2 x x + − ± = = . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 3 Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) − + = + − 2 2 2 5 2 3 1 1 3 3 x x x x (1) Giải: Bình phương hai vế của (1), ta được: ( ) ( )( )( ) 3 57 1 3 2 3 26 57 0 3 2 26 x x x x x x⇒ − + − = ⇒ = ∨ = − ∨ = . Thử lại, ta được nghiệm là 3 x = ; 3 2 x = − . Ví dụ 4: Giải phương trình ( ) − + + − = − 3 1 4 2 3 x x x x x (1) Phân tích: Khi gặp một phương trình có hai căn thức bậc nhất ax b + và cx d + thì ta đặt một trong hai căn thức đó bằng t. Giải: Điểu kiện : 1 4 x − ≤ ≤ . Đặt 1 t x = + với 0 t ≥ , suy ra 2 1 x t = − , phương trình (1) trở thành : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 4 1 5 2 5 1 5 2 4 5 t t t t t t t t t t − + − − = − ⇒ − − = − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 5 4 3 2 2 2 4 11 26 7 40 20 0 2 2 1 2 5 0 5 2 1 ( 0) 2 t t t t t t t t t t t t t t ⇒ − − + + − + = ⇒ − + − − = ⇒ = ∨ = ∨ = ≥ • 2 1 3 x x = + ⇔ = (thỏa điều kiện) • 1 1 0 x x = + ⇔ = (thỏa điều kiện) • 5 3 1 2 2 x x = + ⇔ = (thỏa điều kiện) Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là 3 3; 0; 2 x x x = = = . Ví dụ 5: Giải phương trình + + + + = + + 2 2 2 4 3 3 4 1 x x x x x x (1) Giải: Bình phương hai vế của (1), ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 2 2 1 2 4 3 2 3 22 31 8 4 0 8 2 19 1 3 16 4 0 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x ⇒ + + + = − − ⇒ + + + − = − ± ⇒ + + − = ⇒ = − ∨ = Thử lại, ta được nghiệm là 8 2 19 1; 3 x x − − = − = . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 4 Ví dụ 6: Giải phương trình + − + − = + 2 9 1 11 3 2 3 x x x x x (1) Phân tích: Phương trình có chứa hai dấu căn, do đó phải mất hai lần bình phương mới khử hết dấu căn. Để giảm số lần bình phương ta có thể đặt 11 3 t x = − để làm mất đi một dấu căn. Giải: Điều kiện: 2 9 1 0 11 3 0 x x x + − ≥ − ≥ (*) Đặt 11 3 t x = − với 0 t ≥ , suy ra 2 11 3 t x − = , phương trình (1) trở thành: 2 2 4 2 4 2 3 2 1 11 11 49 409 . 2. 3 49 409 2 11 31 3 3 3 t t t t t t t t t t − − − + + = + ⇔ − + = − − + 3 2 6 5 4 3 2 2 11 31 0 (**) 4 19 106 46 682 552 0 (2) t t t t t t t t t − − + ≥ ⇔ − − + + − + = ( )( ) ( ) 4 2 1 (2) 1 3 22 18 184 0 3 t t t t t t t = ⇔ − − − + + = ⇔ = (thỏa (**)) (vì ( ) 2 4 2 2 0 0 22 18 184 11 18 63 0 t t t t t > ≥ − + + = − + + > ) • 10 11 3 1 3 x x− = ⇔ = (thỏa (*)) • 2 11 3 3 3 x x − = ⇔ = (thỏa (*)) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là 10 3 x = và 2 3 x = . Ví dụ 7: Giải phương trình − = + 3 3 2 2 1 1 x x (1) Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 6 4 3 2 1 8 2 1 1 1 1 2 2 4 2 9 0 x x x x x x x x x x ⇔ − = + ⇔ − + − + + + + + = [dùng máy tính CASIO hoặc VINACAL để phân tích thành nhân tử] 6 4 3 2 1 5 1 2 2 4 2 9 0 2 hoÆc hoÆc (2) x x x x x x x − ± ⇔ = = + + + + + = Ta có ( ) ( ) 2 6 4 3 2 3 4 2 2 2 4 2 9 1 2 4 2 8 0,x x x x x x x x x x + + + + + = + + + + + > ∀ ∈ » nên (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là 1 x = và 1 5 2 x − ± = . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 5 Ví dụ 8: Giải phương trình − + − + + = 3 2 2 2 2 6 3 0 x x x (1) Phân tích: Phương trình có chứa hai dấu căn, ta có thể đặt = − 2 t x để làm mất đi một dấu căn. Giải: Điều kiện: 2 x ≤ Đặt = − 2 t x với 0 t ≥ . Ta có = − 2 2 x t nên (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) 3 3 4 2 4 2 2 2 2 2 14 23 2 2 14 23 1 2 3 15 0 + = − + ⇔ + = − + ⇔ + − − − = t t t t t t t t t t [dùng máy tính CASIO hoặc VINACAL để phân tích thành nhân tử] 1 5 3 129 hoÆc 2 4 − ± ± ⇔ = =t t Đối chiếu điều kiện 0 t ≥ , ta được − + = 1 5 2 t và + = 3 129 4 t . • − + + − = ⇔ = 1 5 1 5 2 2 2 x x • + − − − = ⇔ = 3 129 53 3 129 2 4 8 x x ***** www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 6 BÀI TẬP Giải các phương trình sau đây : • 2 6 2 2 3 x x x − = + • 2 2 2(3 1) 2 1 10 3 6 x x x x + − = + − • ( ) 2 3 2 3 1 7 1 0 x x x − − − + = • 2 7 3 6 3 3 x x x + + − = • ( ) 2 3 2 6 5 8 x x x − + = + • ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 2 1 3 2 2 1 2 5 x x x x x x + + − − = + • 2 3 1 2 4x x x + = − − + • 2 1 2 x x x x − + − = • + − − = + − 2 3 2 (6 12 6) 2 1 22 11 x x x x x x • + − + = − − 2 2 (4 2) 4 4 3 8 x x x x x • 2 17 1 2 3 3 2 2 x x x x + = − − + − • ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 4 7 x x x x x x + − + = − + + • ( ) 2 2 2 2 1 1 9 22 15 x x x x − + + = + − • + + + + + + + + = 2 2 3 2 4( 2) 1 6 3 12 7 0 x x x x x x x • ( ) ( ) ( ) 2 5 3 1 5 1 3 3 5 1 x x x x x − + + + − = + • ( ) 7 3 7 4 7 7 32 x x x − + − − = • ( ) ( ) 2 2 3 4 3 1 2 1 x x x x x + − + = + • 2 1 1 2 4 x x x − + + = − • 2 3 2 1 2 3 x x x x − − + = − − • ( ) 1 2 1 1 2 x x x + = + + + • 2 2 5 14 9 20 5 1 x x x x x + + − − − = + • 2 2 1 1 2 2 4x x x x − + − = − + • 1 1 1 2 1 3 x x x x x x − + = − + − • 4 2 4 2 3 3 x x x − = − + • ( ) 3 4 1 2 1 0 x x x x + − + + = • 2 4 1 1 x x x x + − + = + • ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x + + + = + + + • ( ) ( ) 4 2 1 4 2 1 9 x x x x + + − − − = • 2 2 1 1 3 3 x x x x x + + = + + + • ( ) ( ) 2 1 4 5 2 3 6 23 x x x x x + + − + + = − − • 2 2 1 1 2 x x x x − − + + − = • 1 1 2 2 4 x x x + + + + = • ( ) ( ) 2 4 2 5 4 2 17 4 2 3 6 4 x x x x x x + − + + = + + − ***** www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 7 2- PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP • Mục đích: Đưa phương trình đã cho về phương trình tích (có thừa số chung). • Phương pháp: Sử dụng các biểu thức liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hợp Tích A B + A B − 2 2 A B − A B − A B + 2 2 A B − A B + 2 2 A AB B − + 3 3 A B + A B − 2 2 A AB B + + 3 3 A B − 2.1- Nhân lượng liên hợp bằng cách nhóm các số hạng • Phương pháp: Quan sát các số hạng có trong phương trình để tìm mối liên hệ giữa chúng, sau đó nhóm lại rồi nhân lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình + + − = + + − 10 1 3 5 9 4 2 2 x x x x . (1) Phân tích: Quan sát các biểu thức dưới dấu căn, ta thấy ( ) ( ) + − + = − = − − − 10 1 9 4 3 3 5 2 2 x x x x x . Như vậy ta sẽ nhóm + 10 1 x với + 9 4 x , − 3 5 x với − 2 2 x . Sau đó nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là 3 x − . Giải: Điều kiện: 5 3 x ≥ ( ) ( ) ( ) ⇔ + − + + − − − = 1 10 1 9 4 3 5 2 2 0 x x x x 3 3 0 10 1 9 4 3 5 2 2 x x x x x x − − ⇔ + = + + + − + − 1 1 3 0 10 1 9 4 3 5 2 2 hoÆc (2) x x x x x ⇔ = + = + + + − + − Phương trình (2) vô nghiệm vì vế trái lớn hơn 0. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là 3 x = . Ví dụ 2: Giải phương trình + + + − = + 2 2 2 16 18 1 2 4 x x x x . (1) Phân tích: Quan sát các biểu thức dưới dấu căn, ta thấy ( ) ( ) ( ) + − + + = − 2 2 2 2 4 2 16 18 2 1 x x x x . Như vậy ta sẽ nhóm + + 2 2 16 18 x x với + 2 4 x . Sau đó nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là 2 1 x − . Giải: Điều kiện: + + ≥ − ≥ 2 2 2 16 18 0 1 0 x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ + − + + = − ⇔ − = − + + + + 2 2 2 2 2 1 2 4 2 16 18 1 2 1 1 2 4 2 16 18 x x x x x x x x x 2 2 2 1 0 2 1 2 4 2 16 18 x x x x x − = ⇔ − = + + + + (2) www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 8 • 2 1 0 1 x x − = ⇔ = ± (thỏa mãn điều kiện) • Từ (1) và (2), ta được 2 2 2 2 16 18 1 7 64 73 0 x x x x x + + = − ⇔ + + = 2 (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 x = và 1 x = − . Ví dụ 3: Giải phương trình − + = + − + 2 6 4 2 4 2 2 4 x x x x . (1) Phân tích: Quan sát các biểu thức dưới dấu căn, ta thấy ( ) + − − = − 2 4 4 2 6 4 x x x . Như vậy ta sẽ nhóm + 2 4 x với − 2 2 x . Sau đó nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là 6 4 x − . Giải: Điều kiện: − ≤ ≤ 2 2 x ( ) − − − ⇔ + − − = ⇔ = + + − + + 2 2 6 4 6 4 6 4 1 2 4 2 2 2 4 2 2 4 4 x x x x x x x x x 2 3 2 4 2 2 4 2 x x x x⇔ = + + − = + hoÆc (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 12 2 4 2 4 2 4 4 2 4 2 2 8 x x x x x x x x ⇔ − + + − = + ⇔ + − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 2 4 2 2 4 2 4 2 4 4 2 0 2 x x x x x x x x x > ⇔ + − = − + ⇔ − + + + − = ⇔ = . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 2 x = và 2 x = . 2.2- Nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt hằng số • Phương pháp chung: đoán nghiệm o x của phương trình, sau đó thêm bớt hằng số rồi nhân lượng liên hiệp để xuất hiện nhân tử o x x − . • Cách đoán nghiệm: Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay. hoặc Chọn số o x sao cho ( ) o f x là số nguyên, nghĩa là ( ) o f x là số chính phương. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi Đại học khối B – năm 2010) Giải phương trình + − − + − − = 2 3 1 6 3 14 8 0 x x x x . (1) Phân tích: • Đoán nghiệm: Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay, ta được nghiệm là 5 o x = . Cũng có thể đoán nghiệm là số o x sao cho 3 1 o x + và 6 o x − là những số chính phương. Dễ thấy 5 o x = . • Tìm số cần thêm bớt: Ta có 3 1 16 4 o x + = = nên 4 − là hằng số cần thêm vào cho + 3 1 x và − − = − = − 6 1 1 o x nên 1 là hằng số cần thêm vào cho − − 6 x . Giải: Điều kiện: 1 6 3 x − ≤ ≤ www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 9 ( ) ( ) ( ) ⇔ + − + − − + − − = 2 1 3 1 4 1 6 3 14 5 0 x x x x ( ) ( )( ) 3 5 5 5 3 1 0 3 1 4 1 6 x x x x x x − − ⇔ + + − + = + + + − ( ) 5 3 1 3 1 0 3 1 4 1 6 (tháa ®iÒu kiÖn) (2) x x x x = ⇔ + + + = + + + − Ta có vế trái của (2) lớn hơn 0 nên phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là 5 x = . Nhận xét: Phương pháp nhân lượng liện hiệp đưa phương trình đã cho về phương trình sau: ( ) 0 (2) o x x f x = = trong đó phương trình (2) thường là vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình + + = + + 2 2 12 5 3 5 x x x . (1) Phân tích: • Đoán nghiệm: Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay, ta được nghiệm là 2 o x = . Cũng có thể đoán nghiệm là số o x sao cho 2 12 o x + và 2 5 o x + là những số chính phương. Dễ thấy 2 o x = . • Tìm số cần thêm bớt: Ta có 2 12 16 4 o x + = = nên 4 − là hằng số cần thêm vào cho + 2 12 x , và + = = 2 5 9 3 o x nên 3 − là hằng số cần thêm vào cho + 2 5 x . Giải: Tập xác định: D = » ( ) ( ) ( ) ( ) − − ⇔ + − = − + + − ⇔ = − + + + + + 2 2 2 2 2 2 4 4 1 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 x x x x x x x x 2 2 2 2 2 3 0 12 4 5 3 (tháa ®iÒu kiÖn) (2) x x x x x = + + ⇔ − − = + + + + Vì 2 2 12 5 x x + > + nên từ phương trình (1) ta suy ra 5 5 3 3 x x < ⇔ > nên 5 2 2 0 3 x + > + > , do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 12 4 5 3 12 4 5 3 x x x x x x x x + + + + < ⇒ − − < + + + + + + + + nên phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là 2 x = . Ví dụ 3: Giải phương trình + + − = + 2 3 3 2 3 2 2 2 1 x x x x . (1) Phân tích: • Đoán nghiệm: Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay, ta được nghiệm là 2 o x = . Cũng có thể đoán nghiệm là số o x sao cho 3 2 o x − và 2 2 1 o x + là những số chính phương. Dễ thấy 2 o x = . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 10 • Tìm số cần thêm bớt: Ta có + = = 3 3 3 2 8 2 o x nên 2 − là hằng số cần thêm vào cho + 3 3 2 x , − = = 3 2 4 2 o x nên 2 − là hằng số cần thêm vào cho − 3 2 x . • Giải: Điều kiện: 2 3 x ≥ ( ) ( ) ( ) ⇔ + − + + − − + = + 2 3 1 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 x x x x x ( ) ( ) ( ) ⇔ + − + − − = + − − 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 1 1 x x x x x ( ) ( ) − − − ⇔ + = + + − + + + + 3 2 3 6 2 2 3 6 3 2 2 3 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x = ⇔ + − = + + − + + + + 3 2 2 3 3 2 0 (2) 3 2 2 3 2 2 2 1 1 x x x x x x x Ta có ( ) ( ) ( ) + − − + − − = = − + + + + − + + + + 2 2 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 1 3 2 2 2 1 1 x x x x x x A x x x x x x Vì 2 3 x ≥ nên 3 1 0 x − > và − + + − − = > ∀ ≥ + + − 2 2 2 18 12 17 3 3 2 1 2 3 2 0, 2 3 2 1 2 3 2 x x x x x x x Suy ra 0 A > nên phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là 2 x = . Nhận xét: Các phương trình vô tỷ mà chứa cả căn bậc hai và căn bậc 3 thì thông thường là giải bằng phương pháp nhân lượng liên hợp. Ví dụ 4: Giải phương trình 2 2 2 1 1 2 4 2 1 x x x x x + + + = + + + (1) Phân tích: • Đoán nghiệm: Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay, ta được nghiệm là 1 1,732050808 x ≈ lưu vào biến nhớ A, 2 1,732050808 x ≈ − lưu vào biến nhớ B. Sau đó ta tính A + B = 0 và AB = -3. Do đó 1 2 ; x x là nghiệm của phương trình 2 2 0. 3 0 3 0 x x x − − = ⇔ − = . Vậy 3 x = ± chính là hai nghiệm của phương trình. • Tìm số cần thêm bớt: Ta có 1 2 1 1 1 1 4 x x x + + = + nên 1 − là hằng số cần thêm vào cho 2 1 4 x x x + + + và 2 1 1 1 2 1x = + nên 1 2 − là hằng số cần thêm vào cho 2 1 1 x + . Giải: Điều kiện: 4 x > − www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... c - Hu 13 M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình vô t _ www.MATHVN.com 3- PHƯƠNG PHÁP T N PH 3.1 t m t n ph ưa v phương trình • Phương pháp: t n ph , nêu i u ki n c a n ph (n u có) ưa phương trình ã cho v phương trình theo n ph gi i phương trình theo n ph và i chi u v i i u ki n c a n ph (n u có) tìm nghi m c a phương trình ban u ng v i nghi... trong các kỳ thi i h c và cao ng Ngoài các phương pháp trên thì còn m t s phương pháp khác như: lư ng giác hóa, ánh giá hai v , vectơ, hình h c,v.v… Nhưng các phương pháp này chưa th y xu t hi n trong các thi i h c c a b Giáo d c và ào t o Bài toán gi i phương trình là m t bài toán khó, òi h i ph i có nhi u k năng và kinh nghi m Do ó, ta c n n m v ng các phương pháp gi i phương trình Bên c nh ó ph i... Hu 19 M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình vô t _ Ví d 2: ( thi Cao www.MATHVN.com ng năm 2012) Gi i phương trình 4 x 3 + x − ( x + 1) 2 x + 1 = 0 (1) Nh n xét: Phương trình (1) có th gi i theo phương pháp bình phương hai v ây ta s gi i (1) theo phương pháp hàm s Phân tích: Quan sát hai v c a phương trình, ta th y phương trình (1) chưa có... hai v c a phương trình cho ta ph i lưu ý khi gi i phương trình vô t V y phương trình (1) có m t nghi m là x = x ây là m t thao tác mà 3.2 t hai n ph ưa v phương trình • Phương pháp: t hai n ph , nêu i u ki n c a hai n ph (n u có) ưa phương trình ã cho v phương trình theo hai n ph gi i phương trình theo hai n ph và i chi u v i i u ki n c a hai n ph (n u có) tìm nghi m c a phương trình ban u ng v i... Phương trình (2) vô nghi m vì v trái l n hơn 0 v i m i x ≥ 1 V y phương trình ã cho có m t nghi m là x = 2 ***** 1 = 0 (2) x −1 +1 www.DeThiThuDaiHoc.com Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu 12 M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình vô t _ www.MATHVN.com BÀI T P Gi i các phương trình. .. viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu 22 M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình vô t _ www.MATHVN.com Trư c h t, ta ch ng minh nh lý: N u hàm s • B- B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T nh lý sau: f ( x ) liên t c trên kho ng ( x1 ; x2 ) và phương trình f ( x ) = 0 vô nghi m trên kho ng ( x1 ; x2 ) thì f ( x ) không • Ch ng minh: Gi s f (x)... Qu c H c - Hu 18 M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình vô t _ www.MATHVN.com 4- PHƯƠNG PHÁP HÀM S ƠN I U 4.1 Phương trình f(x) = 0 v i f(x) là hàm s ơn i u trên D • Phương pháp: N u f(x) là hàm s ơn i u trên D thì phương trình f(x) = 0 n u có nghi m thì có m t nghi m duy nh t trên D • Ví d minh h a: Gi i phương trình 4x − 1 + 4x2 − 1 − 1 = 0... n k năng và tư duy linh ho t Khi g p m t tình hu ng khó khăn thì nên t câu h i: "Có nh ng phương pháp, k thu t nào khi gi i phương trình? Ta ã s d ng h t các phương pháp, k thu t ó chưa?" N u mu n tìm nghi m c a các phương trình trong ph n BÀI T P thì ta có th truy c p vào trang: http://www.wolframalpha.com/ sau ó th c hi n câu l nh theo cú pháp sau: solve( f(x) = 0 ) v i f(x) = 0 là phương trình c... (vô nghi m) 2 4 x − 4 x + 4 = x − 4 x + 4 x = 0 1 ± 21 V y phương trình ã cho có hai nghi m là x = 2 • www.DeThiThuDaiHoc.com Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu 15 M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình vô t _ www.MATHVN.com 3.3 t hai n ph ưa v h phương trình • Phương pháp: ... phương trình là S = −1; ;1 ∪ 2 5 (*) ⇔ f ( x ) < 0 ⇔ −1 < x < ***** www.DeThiThuDaiHoc.com Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu 25 M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình vô t _ www.MATHVN.com TÓM K T Trên ây là m t s phương pháp gi i phương trình hay dùng trong các kỳ . ) 2 3 2 1 1 2 1 1 3 2 1 1 x x x x+ + + + = + + • 6 5 1 1 0 1 2 3 1 x x x x x − + − + = + + + • ( ) 2 3 1 1 4 1 x x x x + + − = + − • 6 1 1 3 1 3 1 2 x x x = + + + + − • 2 2 2 1 1 3 9 12 . Huế. 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 5 2 1 5 2 1 3 1 1 3 6 x x x x x ⇔ + + − + + − + − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 12 2 2 4 2 3 2 1 1 5 2 1 5 2 1 3 2 5 12 2 4 1 3 1 1 5 2 1 5 2 1 3 . 2 9 1 0 11 3 0 x x x + − ≥ − ≥ (*) Đặt 11 3 t x = − với 0 t ≥ , suy ra 2 11 3 t x − = , phương trình (1) trở thành: 2 2 4 2 4 2 3 2 1 11 11 49 409 . 2. 3 49 409 2 11 31 3 3