Gv: Traàn Quoác Nghóa 1 Bài 3. Phương trình đường thẳng I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương trình của đường thẳng. • Phương trình tham số của đường thẳng : Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vectơ chỉ phương = 1 2 3 ( ; ; )a a a a r , có phương trình tham số là : = + = + ∈ + + ≠ = + 0 1 2 2 2 0 2 1 2 3 0 3 ( ), ( 0 ) x x a t y y a t t R a a a z z a t Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường thẳng. • Phương trình chính tắc của đường thẳng : Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: − − − = = ≠ 0 0 0 1 2 3 1 2 3 ( . . 0 ) x x y y z z a a a a a a • Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và ( β ) : (α): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 có vtpt = 1 1 1 1 ( ; ; )n A B C r ( β ): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 có vtpt = 2 2 2 2 ( ; ; )n A B C r Điểm M (x ; y ; z) ∈ ∆ ⇔ Tọa độ M thỏa hệ phương trình : + + + = ≠ + + + = 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 (1) ( : : : : ) 0 A x B y C z D A B C A B C A x B y C z D Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên ∆ . Khi đó ∆ có một vectơ chỉ phương là: [ ] = = ÷ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 , ; ; B C C A A B a n n B C C A A B r r r Thường kí hiệu đường thẳng ∆ : + + + = + + + = 1 1 1 1 2 2 2 2 0 : 0 A x B y C z D A x B y C z D ∆ 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng: ∆ 1 đi qua A và có vectơ chỉ phương a r . ∆ 2 đi qua B và có vectơ chỉ phương b r . Ta có các trường hợp sau: Hình học 12 – Hình giải tích 2 • ∆ 1 và ∆ 2 cùng nằm trong một mp ⇔ [ a r , b r ]. AB uuur = 0 • ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau ⇔ = ≠ , . 0 , 0 a b AB a b uuur r r r r r • ∆ 1 và ∆ 2 song song với nhau ⇔ ≠ = , 0 , 0 a AB a b uuur r r r r r • ∆ 1 và ∆ 2 trùng nhau ⇔ = = , 0 , 0 a AB a b uuur r r r r r • ∆ 1 và ∆ 2 chéo nhau ⇔ [ a r , b r ]. AB uuur ≠ 0 • Nếu = + = + = + 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 : x x a t y y a t z z a t ∆ và = + = + = + 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 : x x b t y y b t z z b t ∆ thì số giao điểm của hai đường thẳng trên là số nghiệm của hệ : + = + + = + + = + 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 3 1 2 3 2 x a t x b t y a t y b t z a t z b t Hệ vô nghiệm ⇔ ∆ 1 và ∆ 2 song song với nhau hoặc chéo nhau. Hệ có một nghiệm ⇔ ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau Hệ có vô số nghiệm ⇔ ∆ 1 và ∆ 2 trùng nhau Gv: Traàn Quoác Nghóa 3 3. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. • Cho hai đường thẳng = + = + = + 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 : x x a t y y a t z z a t ∆ và = + = + = + 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 : x x b t y y b t z z b t ∆ thì : có vectơ chỉ phương lần lượt là : = 1 2 3 ( ; ; )a a a a r và = 1 2 3 ( ; ; )b b b b r : ( ) ( ) + + = = = + + + + 1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos ; cos ; . . a b a b a b a b a b a b a a a b b b ∆ ∆ r r r r r r Chú ý: • Cho đường thẳng = + = + = + 0 0 0 : x x at y y bt z z ct ∆ có vectơ chỉ phương = ( ; ; )u a b c r và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vtpt = ( ; ; )n A B C r : ( ) ( ) + + = = = + + + + 2 2 2 2 2 2 . sin ;( ) sin ; . . u n Aa Bb Cc u n u n a b c A B C ∆ α r r r r r r 4. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. • Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), có vectơ chỉ phương 1 ∆ A B r a r b 2 ∆ A B r a r b 1 ∆ 2 ∆ A B r a r b 1 ∆ 2 ∆ A B r a r b 1 ∆ 2 ∆ 1 2 ( ) ∆ ∆ ≡ 1 2 ( // ) ∆ ∆ 1 2 ( ) ∆ ∆ cheùo 1 2 ( ) ∆ ∆ caét ≤ ≤ 0 0 1 2 0 ( ; ) 90 ∆ ∆ Hình học 12 – Hình giải tích 4 = 1 2 3 ( ; ; )a a a a r và điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ). Khi đó : ( ) = 1 0 1 , ; M M a d M a ∆ uuuuuur r r • Cho hai đường thẳng = + = + = + 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 : x x a t y y a t z z a t ∆ và = + = + = + 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 : x x b t y y b t z z b t ∆ thì : Trong đó ∆ 1 đi qua M 1 và có vectơ chỉ phương = 1 2 3 ( ; ; )a a a a r và ∆ 2 đi qua M 2 và có vectơ chỉ phương = 1 2 3 ( ; ; )b b b b r : ( ) = 1 0 1 2 , . ; , a b M M d a b ∆ ∆ uuuuuur r r r r II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1. –Viết phương trình đường thẳng- 3.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau: a) Qua M(1 ; 2; 3) và có VTCP r a = (1 ; – 4 ; – 5). b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0). c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – x + 5 = 0. d) Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d: 1 2 3 3 4 = + = − + = x t y t z t . Đs: a) 1 2 4 3 5 = + = − = − x t y t z t b) 1 2 2 2 3 3 = + = − + = − x t y t z t c) 2 1 3 = + = − + = − x t y t z t d) 2 2 3 3 4 = + = = − + x t y t z t 3.2 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d: 2 3 2 1 3 = + = − + = + x t y t z t lần lượt trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz). Đs: a) 2 3 2 0 = + = − + = x t y t z b) 0 3 2 1 3 = = − + = + x y t z t c) 2 0 1 3 = + = = + x t y z t Gv: Traàn Quoác Nghóa 5 3.3 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0 và (β): x + 3y – 2z + 3 = 0. Đs: 1 1 2 : 2 4 5 ∆ − − − = = − x y z 3.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α). Đs: :( 1 ; 2; 2 ) ∆ = + = =x t y z 3.5 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các mp (α): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0. Đs: 1 4 2 : 1 3 6 ∆ − − + = = − x y z 3.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: 1 1 2 2 1 3 + − − = = x y x và mp (P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d. Đs: 1 1 2 : 2 5 3 ∆ − − + = = − − x y z 3.7 Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) và C(2; –3; 2). Đs: 1 3 6 : 3 1 7 ∆ − + + = = − − x y z 3.8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 2x +y + z + 1 = 0, ( β): x +y + z + 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P). Đs: 1 3 ' : 4 5 6 ∆ − + = = − − x y z 3.9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng d: 3 2 1 1 4 = − + = − = − + x t y t z t . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Đs: 4 2 4 : 3 2 1 ∆ + + − = = − x y z Dạng 2. –Vị trí tương đối. Hình học 12 – Hình giải tích 6 3.10 Xét vị trí tương đối của các của các cặp đường thẳng sau: a) d: 12 4 9 3 1 = + = + = + x t y t z t và d′: 5 ' 1 4 ' 20 ' = + = − − = + x t y t z t Đs: d cắt d ′ b) d: 1 2 3 = + = + = − x t y t z t và d′: 1 2 ' 1 2 ' 2 2 ' = + = − + = − x t y t z t Đs: d // d ′ c) d: 1 2 2 3 = − = + = x t y t z t và d′: 1 ' 3 2 ' 1 = + = − = x t y t z Đs:d chéo d ′ d) d: 3 4 5 2 = − = + = − x t y t z t và d′: 2 3 ' 5 3 ' 3 6 ' = − = + = − x t y t z t Đs: d ≡ d ′ 3.11 Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau: a) d: 1 1 2 = + = = − + x mt y t z t và d′: 1 ' 2 2 ' 3 ' = − = + = − x t y t z t Đs: m = 0 b) d: 7 1 3 2 4 1 − − − = = − x y z m và d′: 4 2 4 3 2 − + = = − x y z Đs: 103 13 =m 3.12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆: 1 2 4 3 1 − + = = x y z và mặt phẳng (α): mx + 3y – 5z + 1 = 0. Xác định m để ∆ cắt (α). Đs: m ≠ –1 3.13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng d m là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α), (β) với: (α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0, (β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0 Định m để đường thẳng d m song song với mặt phẳng (P). Đs: 1 2 = −m 3.14 Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 6y – 4z + 13 = 0 và đường thẳng d đi qua A(2; 1; 0) và có vectơ chì phương r a = (1; m; –2). Biện luận theo m số giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng d. Đs: 5 15 2 2 < ∨ >m m : d không cắt (S). 5 15 2 2 = ∨ =m m : d tiếp xúc (S). 5 15 2 2 < <m : d cắt (S) tại 2 điểm. Gv: Traàn Quoác Nghóa 7 3.15 Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có phương trình: d 1 : 1 1 3 3 2 2 + − − = = − x y z và d 2 : 1 3 1 1 2 − + = = x y z a) Chứng minh d 1 và d 2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng. b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d 1 và d 2 . Đs: a) M(2; 3; 1) b) 6x – 8y + z + 11 = 0 3.16 Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có phương trình: d 1 : 5 2 1 5 = + = − = − x t y t z t và d 2 : 3 2 ' 3 ' 1 ' = + = − − = − x t y t z t a) Chứng minh d 1 và d 2 song song với nhau. b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d 1 và d 2 . Đs: b) y – z + 4 = 0 3.17 Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có phương trình: d 1 : 1 1 3 3 2 2 + − − = = − x y z và d 2 : 1 3 1 1 2 − + = = x y z c) Chứng minh d 1 và d 2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng. d) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d 1 và d 2 . Đs: a) M(2; 3; 1) b) 6x – 8y + z + 11 = 0 3.18 Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d 1 , d 2 : d 1 : 3 1 1 2 3 − + = = − x y z và d 2 : 4 3 1 1 2 − − = = x y z a) Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau. b) Lập phương trình đường thẳng ∆ ⊂ (P) đồng thời cắt cả d 1 và d 2 . Đs: 3 1 1 : 5 8 4 ∆ − + − = = − − x y z 3.19 Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình: d 1 : 1 2 3 1 1 − + = = x y z và d 2 : 1 1 = − = − + = x y t z t Lập phương trình đ.thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d 1 và cắt d 2 . Đs: 1 1 : 1 1 2 ∆ − − = = − x y z . 2 2 3 2 : x x b t y y b t z z b t ∆ thì : có vectơ chỉ phương lần lượt là : = 1 2 3 ( ; ; )a a a a r và = 1 2 3 ( ; ; )b b b b r : ( ) ( ) + + = = = + + + + 1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3. = 0. d) Qua M(2; 0; 3) và song song với đường thẳng d: 1 2 3 3 4 = + = − + = x t y t z t . Đs: a) 1 2 4 3 5 = + = − = − x t y t z t b) 1 2 2 2 3 3 = + = − + =. t c) 2 1 3 = + = − + = − x t y t z t d) 2 2 3 3 4 = + = = − + x t y t z t 3. 2 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d: 2 3 2 1 3 = + =