ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4 điểm) a) Không sử dụng máy tính và bảng số, chứng minh: 14 13 2 3 11− 〈 − b) Không sử dụng máy tính và bảng số, hãy so sánh: A = 11 96+ và B = 2 2 1 2 3+ − Bài 2: (5 điểm) Cho biểu thức: M = ( ) 2 3 3 3 2 3 1 3 x x x x x x x x − − + − + − − + − a) Rút gọn biểu thức M. b) Tính giá trị của M với x = 14 6 5− c) Tìm GTNN của M. Bài 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: ( ) 1 x-2008 + y-2009 + z-2010 +3012= x+y+z 2 b) Giải hệ phương trình: 3 3 x - y =3 x -y =9 Bài 4: (7 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho · · · MAN =MAB+ NAD . a) BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay đổi. c) Kí hiệu diện tích tam giác APQ là S 1 và diện tích tứ giác PQMN là S 2 . Chứng minh rằng tỷ số 1 2 S S không đổi khi M và N thay đổi. Họ tên thí sinh: …………………………………………. số báo danh: ……… Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp 9 Bài 1: (4 điểm) a) Không sử dụng máy tính và bảng số, chứng minh: 14 13 2 3 11− 〈 − <=> 14 11 13 12+ 〈 + (0,5 điểm) <=> 14 + 2 154 +11 〈 13 +2 156 +12 (0,5 điểm) <=> 2 154 〈 2 156 đúng => điều phải chứng minh. (1 điểm) b) Không sử dụng máy tính và bảng số, hãy so sánh: A = 11 96+ và B = 2 2 1 2 3+ − Rút gọn A = 2 2 3+ (0,5 điểm) và B= 1 + 2 3+ (0,5 điểm) Xét hiệu A - B = 2 1− > 0 (0,5 điểm) Vậy A > B (0,5 điểm) Bài 2: (5 điểm) Cho biểu thức: M = ( ) 2 3 3 3 2 3 1 3 x x x x x x x x − − + − + − − + − a) Rút gọn biểu thức M. ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 9 (0,25 điểm) M = 2 3 2( 3) ( 3)( 1) ( 1)( 3) x x x x x x x − − − − + + + − (0,75 điểm) M= 8 1 x x + + (1 điểm) b) Tính giá trị của M x = 14 6 5− = ( 5 -3) 2 => x = 3- 5 (0,25 điểm) Thay vào tính được M = 58 2 5 11 − (0,75 điểm) c) Tìm GTNN của M. Biến đổi được M = 9 9 1 1 6 4 1 1 x x x x − + = + − + + + + (0,5 điểm) Đặt 1x a+ = Ta có M = 2 ( )a - 2. a . 2 3 3 a a + ÷ + 4 = 2 3 a a − ÷ + 4 ≥ 4 (0,75 điểm) Dấu bằng xảy ra khi 3 3 1 1 a hay x a x = + = + (0,25 điểm) <=> x = 4 (0,25 điểm) Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi và chỉ khi x = 4 (0,25 điểm) Bài 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: ( ) 1 x-2008 + y-2009 + z-2010 +3012= x+y+z 2 (*) Điều kiện: x ≥ 2008; y ≥ 2009; z ≥ 2010 (0,25 điểm) (*) <=> (x-2008) - 2 2008x − +1 + (y-2009) - 2 2009y − + 1 + (z-2010) - 2 2010z − +1 = 0 (0,5 điểm) <=> ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2008 1 2009 1 2010 1 0x y z− − + − − + − − = (0,5 điểm) <=> 2008 1 2009 2009 1 2010 2010 1 2011 x x y y z z − = = − = ⇔ = − = = (0,75 điểm) b) Giải hệ phương trình: 3 3 x - y =3 (1) x -y =9 (2) Từ (1) => x = 3 + y (3) (0,25 điểm) Thay vào (2) và rút gọn được PT: y 2 + 3y + 2 = 0 (0,25 điểm) Tìm được y 1 = -1 ; y 2 = -2 (0,5 điểm) Thay vào (3) tìm được x 1 = 2; x 2 = 1 (0,5 điểm) Vậy hệ PT có hai nghiệm (x 1 = 2; y 1 = -1) và ( x 2 = 1; y 2 = -2) (0,5 điểm) Bài 4: (7 điểm) H Q P D N C M B A - Không cho điểm vẽ hình và ghi GT, KL nhưng nếu vẽ hình sai không chấm bài. a) Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn. - Chỉ ra được góc MAN = 45 0 (0,5 điểm) - Chỉ ra được tứ giác ABMP nội tiếp đường tròn (0,5 điểm) => góc MPA = 90 0 (0,5 điểm) - Tương tự góc NQA = 90 0 (0,25 điểm) - Lại có góc MCN = 90 0 (0,25 điểm) Từ đó suy ra năm điểm P, Q, M, N, C cùng nằm trên một đường tròn đường kính MN (0,5 điểm) b) Chứng minh MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay đổi. - Kẻ AH vuông góc với MN. Chứng minh được tam giác AHM = tam giác ABM (1 điểm) - => AH = AB không đổi (0,5 điểm) Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định. (1 điểm) c) Chứng minh rằng tỷ số 1 2 S S không đổi khi M và N thay đổi. Tam giác AQN và tam giác APM vuông cân tại Q và P nên ta có AQ AP a 1 = = = AN AM a 2 2 (a là cạnh tam giác vuông cân) (0,5 điểm) Mà tam giác APQ đồng dạng với tam giác AMN (g.g) Suy ra 2 2 APQ AMN S AP 1 1 = S AM 2 2 = = ÷ ÷ (0,5 điểm) => APQ APQ AMN PQMN S S 1 1 1 S 2 1 S APQ S = = => = − − (0,5 điểm) => 1 2 1 S S = (0,5 điểm) Ghi chú: - HS dùng cách khác giải đúng vẫn cho điểm tối đa. - Bài làm có lập luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài giữ nguyên, không làm tròn. . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4 điểm) a) Không. …………………………………………. số báo danh: ……… Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp 9 Bài 1: (4 điểm) a) Không sử