C. nội dung Để giải bài toán bằng nhiều cách đòi hỏi học nắm vững kiến thức cơ bản .Giáo viên ngời hớng dẫn và dẫn dắt học sinh phân tích và tổng hợp kiến thức để học sinh có thể tìm đợc những cách giải hay cho bài toán .Sau đây là một số bài toán quen thuộc đối với học sinh lớp 7 đợc giải bằng nhiều cách . I. Bài toán : 1.Bài toán 1 Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông . Chứng minh : + Cách 1: Dùng kiến thức của tam giác cân . Ta có : AM = BM = MC = 1 2 BC (gt) ABM và AMC cân B = A 1 ; C = A 2 A 1 + A 2 = 90 0 Vậy tam giác ABC vuông tại A Đờng trung bình của tam giác đợc giới thiệu trong chơng trình lớp 8 .Tuy nhiên học sinh có thể chứng minh đợc các định lí sau bằng kiến thức Hình học 7 Định lí 1: Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba Định lí 2: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy Trong đề tài này tôi không đa ra cách chứng minh hai định lí mà nêu ra để áp giải các bài toán + Cách 2: Dùng kiến thức đờng trung bình trong tam giác Kẻ MN// AC .Khi đó : BMN = ACM (1) NMA = MAC (2) A c b m A c b m A c b m n MAC cân (vì AM =MC (gt)) => ACM = MAC (3) Từ (1) (2) (3) suy ra : BMN = NMA MN là tia phân giác của MAB cân MN AB (4) Mà: MN // AB (5) Từ (4) (5) suy ra : AC AB Vậy tam giác ABC vuông tại A + Cách 3 : Lấy B' thuộc tia đối của tia BA sao cho : AB = AB' Ta có AM là đờng trung bình của BCB , , 1 2 1 ( ) 2 AM B C AM BC gt = = = => B'C = BC => CB ' B cân tại C có AC là đờng trung tuyến nên suy ra : AC BB , AC AB Vậy tam giác ABC vuông tại A + Cách 4 : Dùng hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông Kẻ tia xy // BC Ta chứng minh đợc tia AB ,AC là hai tia phân giác của góc xAM và yAM A 1 = A 2 ; A 3 = A 4 A 2 + A 3 = 90 0 => BAC = 90 0 Vậy tam giác ABC vuông tại A A c b m b' c B A x y m + Cách 5 : Dùng phơng pháp chứng minh phản chứng. Giả sử góc : A < 90 0 Từ ABM và AMC cân ta có : B = A 1 ; A 2 = C => B + C < 90 0 A + B + C < 180 0 (Điều này vô lí) Chứng minh tơng tự : Nếu góc A > 90 0 => A + B + C > 180 0 (Điều này vô lí ) Vậy góc A=90 0 suy ra ABC vuông tại A + Cách 6: Dùng kiến thức Trờng hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c ); (c.g.c) Trên tia đối của MA lấy MA=MD Xét AMB và DMC có : MD = MA (gt) BMA = DMC (đối đỉnh ) AMB = DMC (c-g-c) MB =MC (gt) => ABC = BCD => AB // CD ( Vì cặp góc so le trong bằng nhau) => BAC + DCA = 180 0 (1) Xét ABC và CDA có : c B A m b A c d m AB =CD (vì AMB =DMC) BC = AD (gt) ABC = CDA(c.c.c) AC cạnh chung => BAC = BCA (2) Từ (1)(2) suy ra : góc BAC =90 0 Vậy tam giác ABC vuông tại A Tóm lại: Qua bài toán trên học sinh nắm đợc hệ thống kiến thức về tam giác cân, đờng trung bình trong tam giác, tia phân giác, trờng hợp bằng nhau của tam giác và các phơng pháp chứng minh. Đồng thời học sinh có thể áp dụng nội dung bài toán để giải các bài tập hình học khác. 2. Bài toán 2 : Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi AM là phân giác ngoài của góc A. Chứng minh rằng :AM//BC GT Cho ABC có AB=AC DAM = MAC KL AM// BC Chứng minh : + Cách 1: Dựa vào cặp góc so le trong Ta có: DAC = B + C (Vì góc DAC là góc ngoài của ABC) mà B = C (gt) => B = C = 1/2 DAC (1) ADM = MAC = 1/2 DAC (tính chất tia phân giác ) (2) Từ (1)(2) => AM // BC (vì cặp góc so le trong bằng nhau) + Cách 2: Dựa vào cặp góc đồng vị Chứng minh tơng tự cách 1 : b c a D m suy ra : MAC = B => AM // BC ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau ) + Cách 3 : Dựa vào cặp góc trong cùng phía bù nhau Ta có: DAC = B + C (Vì góc DAC là góc ngoài của ABC) mà B = C (gt) B = C = 1/2 DAC (1) AMC=1/2 DAC (tính chất tia phân giác ) (2) Trong ABC : BAC + B + C = 180 0 (3) Từ (1)(2)(3) suy ra : BAC + B + AMC = 180 0 hay MAB + B = 180 0 => AM //BC (Vì cặp góc trong cùng phía bù nhau ) + Cách 4: Sử dụng tính chất đờng trung bình Trên tia đối của tia AB lấy AD=AB AD =AC (1) ADC cân tại A có AM là tia phân giác (gt) AM là trung tuyến MC=MD (2) Từ (1)(2) AM là đờng trung bình của BDC AM// BC + Cách 5 : Dùng tính chất của tam giác cân Kẻ AH BC(1) AH là đờng phân giác của góc A HAM = 90 0 (Góc tạo bởi 2 tia phân giác của hai góc kề bù ) HA AM(2) Từ (1) và (2) ta có : AM//BC Tóm lại: Bài toán 2 giúp học sinh hế thống đợc các phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song. Ngoài ra tìm thêm đợc một phơng pháp mới đó là sử dụng tính chất đờng trung bình trong tam giác. b c a D m A B C M D 3.Bài toán 3: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, gọi I là trung điểm của AM ,các đờng thẳng CI và AD cắt nhau tại D .Chứng minh rằng AD=1/3AB. GT Cho ABC có MB =MC IA=IM; AB cắt CI tạiD KL AD=1/3AB Chứng minh : + Cách 1 : Sử dụng định lí về đờng trung bình . Kẻ ME // CD Dễ dàng chứng minh đợc : BE = ED; ED= AD AD = DE = BE Vậy AD= 1/3 AB + Cách 2 Từ B đờng thẳng song song với AM cắt CD tại K Lấy điểm P và Q là trung điểm của BK và BD Ta chứng minh đợc BPQ =ADI BQ=QD=AD Suy ra: AD=1/3AB A B C m i d e A B C m i d k p q + C¸ch 3: KÎ MN// AB MN lµ ®êng trung b×nh cña ∆DBC ⇒ MN= 1 2 BD(1) DÔ dµng chøng minh ®îc ∆AID =∆MNI(g c g ) ⇒ MN=BD(2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ AD=1/2BD hay AD=1/3AB A B C m i d n