Ứng dụng của số phức trong BT Vật lý

Chuyên đề mở: Biên soạn: HỒ VĂN ƯNG Trình bày: NGUYỄN TẤN HÒA ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ I MỘT SỐ KHÁI NIỆM: A SỚ PHỨC : Sớ phức là sớ có dạng x = a + bi a: phần thực (Re x = a) b: phần ảo (Im x = b) i : đơn vị ảo, i2 = -1 B BIỂU DIỄN SỐ PHỨC TRÊN MẶT PHẲNG & DẠNG LƯỢNG GIÁC : x = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) r = a + b : mođun ϕ : acgumen, b tan ϕ = a Theo công thức Ơle: cos ϕ + i sin ϕ = e b r α iϕ a iϕ ⇒ x = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) = r.e = r ∠ϕ C BIỂU DIỄN MỘT HÀM BIẾN THIÊN ĐIỀU HÒA DƯỚI DẠNG SỐ PHỨC: Hàm điều hòa: x = A cos(ω.t + ϕ ) (*) Nếu biểu diễn dưới dạng vectơ quay, tại t = ta có: uu r uu | A | r t =0 x = A cos(ω.t + ϕ) ¬ → A :   uuu r (Ox, OA) = ϕ  Nhận thấy: a = Acosφ b = Asinφ A b => (*) có thể biểu diễn bởi số phức: φ a iϕ x = a + bi = A(cos ϕ + i sin ϕ ) = A.e = A∠ ϕ D CÁCH CHUYỂN MỘT HÀM ĐIỀU HÒA SANG HÀM SỐ PHỨC BẰNG MÁY fx-570ES Sử dụng MODE 2(CMPLX), R(radian) x = A cos(ωt + ϕ ) ↔ x = A∠ϕ ↔ ? Thao tác bấm máy: A, [ SHIFT ] , [ (−) ] , ϕ, [ =] =>được dạng: a + bi Thí dụ: π [ ( − )] − [ =] π 1) x = cos(10π t − ) ¬ → x = − 5i 100 [ = ] 2) u = 100 cos(100π t ) ¬  u = 100 → E CÁCH CHUYỂN MỘT HÀM SỐ PHỨC a +bi SANG HÀM ĐIỀU HÒA BẰNG MÁY fx-570ES Sử dụng MODE 2(CMPLX), R(radian) x = a + bi ↔ ? Thao tác bấm máy: sẽ có dạng: a + bi, [ SHIFT ] , [ 2] , [ 3] , [ =] A∠ϕ ⇒ x = A cos(ωt + ϕ ) Thí dụ: Hãy chuyển hàm số phức: u = 100 − 100 3i, ω = 100π sang hàm điều hòa (dạng cos) [ ][ ][ ][ ] 100 − 100 3i ¬  200∠ − → SHIFT = π π ⇒ x = 200 cos(100π t − ) 3 II.ÁP DỤNG VÀO VẬT LÝ A Viết phương trình các dao động điều hòa 1) Cơ sở lý thuyết:  x(0) = A cos ϕ = a  x(0) = A cos ϕ  x = A cos(ωt + ϕ )   t =0   → ⇔  v(0)  = A sin ϕ = b v = −ω A sin(ωt + ϕ ) v(0) = −ω A sin ϕ −   ω Vậy tại t = có thể viết: x = A cos(ωt + ϕ ) ¬ → x(0) −  t =0 v(0) ω i 2) Áp dụng: vật m DĐĐH tần số góc ω, tại t = nó có li độ x0 , vận tốc v0 Hãy viết biểu thức li độ theo t Thao tác: x(0) − v(0) ω [ ][ ][ ][ ] i ¬  A∠ϕ ⇒ x = A cos(ωt + ϕ ) → SHIFT = 3) Thí dụ: Thí dụ 1: vật m DĐĐH tần số 0,5Hz, tại t = nó có li độ x0 = 4cm, vận tốc v0 = 12,56 cm/s, lấy π = 3,14 Hãy viết biểu thức li độ theo t Giải: ω = 2πf = π (rad/s) Thao tác: 12,56 π [ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ =] 4− i ¬  2∠ − → 3,14 π ⇒ x = cos(π t − )cm 3) Thí dụ: Thí dụ 2: Vật nhỏ m = 250g treo va đầu dưới một lò xo nhẹ, thẳng đứng, k = 25N/m Từ VTCB người ta truyền cho m một tốc độ 40 cm/s cho nó DĐĐH Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc m qua VTCB ngược chiều dương Hãy viết phương trình dao động Giải: k ω= = 10rad / s m −40 π π [ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ =] − i ¬  4∠ ⇒ x = cos(10t + )cm → 10 2 B Tổng hợp các dao động điều hòa 1) Cơ sở lý thuyết: x = A1 cos(ω t + ϕ1 ) + A2 cos(ω t + ϕ ) + = A cos(ω t + ϕ ) ↔ x = x1 + x2 + = ( A1∠ ϕ1 ) + ( A2∠ ϕ ) + = A∠ ϕ ⇒ x = A cos(ω t + ϕ ) 2) Áp dụng: Tìm dao động tổng hợp của DĐĐH sau: Giải: π π x1 = 10 cos(20π t − )cm, x1 = cos(20π t − )cm, π x3 = −4 cos(20π t )cm, x4 = 10 cos(20π t + )cm π π π π [ SHIFT [ 2] 3] [ = ] (10∠ − ) + (6 3∠ − ) − (4 3) + (10∠ + ) ¬ ][ 6∠ − → 6 π ⇒ x = 6 cos(20π t − )cm B Tổng hợp các dao động điều hòa 3) Mở rộng: Hai chất điểm M1, M2 chuyển động hai đường thẳng song song với trục Ox, PT của chúng Ox lần lượt là: π x1 = 3cos(2π t − )cm, x2 = 3 cos(2π t )cm Tìm khoảng cách M1 M2 theo phương Ox Giải: π M 1M =| x2 − x1 ) |=| 3 cos(2π t ) − 3cos(2π t − ) | π π [ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ =] ↔ (3 3) − (3∠ − ) ¬  6∠ → π ⇒ M 1M =| cos(2π t + ) | cm D Mạch RLC mắc nối tiếp 1) Cơ sở lý thuyết: i = I cos(ωt ) ↔ i = I ; u R = U 0R cos(ωt ) ↔ u = U 0R ; π π π π uL = U 0L cos(ωt + ) ↔ u L = U 0L ∠ ; uC = U 0C cos(ωt − ) ↔ uC = U 0C ∠ − 2 2 Các điện trở phức: u R U 0R ZR = = = R; I0 i ZC = (U 0C ∠− I0 π π (U 0L ∠ ) uL = Z ∠π = Z i ZL = = L L I0 i ) = Z ∠− π = −Z i C C u = u R + u L + uC = i R + i Z L + i Z C = i [ R + i (Z L − Z C )]  modul : Z = R + ( Z L − Z C ) u iϕ  ⇒ Z = = R + i ( Z L − Z C ) = Z e = Z ∠ϕ với  Z − ZC i argument : ϕ , tan ϕ = L   2 R D Mạch RLC mắc nối tiếp 2) Áp dụng: a) Tìm tổng trở và độ lệch pha: Mạch RLC nối tiếp có R = 100Ω, cuộn dây thuần cảm ZL = 200Ω, ZC = 100Ω Tìm tổng trở và độ lệch pha của điện áp so với CĐDĐ Chỉ cần thao tác máy: π 100 + 200 i − 100 i ¬      100 2∠ → π ⇒ Z = 100 2Ω , ϕ u / i = rad [ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ = ] D Mạch RLC mắc nối tiếp b) Viết biểu thức: Mạch RLC nối tiếp cuộn dây có R = 50Ω, ZL = R, ZC =2 ZL, điện áp hai đầu mạch là u = 100√2cos100πt(V) Viết biểu thức CĐ dòng điện qua mạch và điện áp hai đầu cuộn dây u (100 2) π π [ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ = ] i = = ¬      2∠ ⇒ i = 2cos(100π t + ) A → 4 Z (50 + 50i − 100i ) π π [ SHIFT [ 2] 3] [ = ] ucd = i Z cd = (2∠ )(50 + 50i ) ¬   ][  100 2∠ → π ⇒ ucd = 100 cos(100π t + )V Hoặc: u (100 2) π [ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ = ] ucd = i Z cd = Z cd = (50 + 50i ) ¬      100 2∠ → (50 + 50i − 100i) Z c) Một số trường hợp có thể thay cho giản đồ: 1) Mạch RLC nối tiếp có các giá trị hiệu dụng UR = 100√3 V, cuộn dây thuần cảm UL = 200V, UC = 100V Tìm điện áp hiệu dụng hai đầu mạch và độ lệch pha của CĐDĐ so với điện áp ấy Giải: Do u = uR + uL + uC π => 100 + 200 i − 100 i ¬      200∠ − → π π ⇒ U = 200V , ϕ u / i = − => ϕ i / u = rad 2 [ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ = ] c) Một số trường hợp có thể thay cho giản đồ: 2) Mạch điện gồm một cuộn dây có điện trở R mắc nối tiếp với một tụ C Mạch được đặt dưới điện áp u ổn định Biết giá trị hiệu dụng UC = √3 Ucd , độ lệch pha của điện áp hai đầu cuộn dây so với CĐ dòng điện qua mạch là π/3 Tính hệ số công suất của mạch Giải: Coi Ucd bằng (đơn vị) => UC = √3 u = ucd + uC π π [ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ =] π => (1∠ ) + ( 3∠− ) ¬  1∠− → 3 ⇒ U = U cd , ϕu / i = − π => cos ϕ = 0,5 TRÂN TRỌNG KÍNH CHÀO Chuyên đề này được biên soạn nhằm trình bày cho HĐGV xem Nếu cần các thầy cô có thể sửa sang dạng trắc nghiệm để dạy cho HS thì hay  ... soạn: HỒ VĂN ƯNG Trình bày: NGUYỄN TẤN HÒA ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ I MỘT SỐ KHÁI NIỆM: A SỚ PHỨC : Sớ phức là sớ có dạng x = a + bi a: phần... có thể biểu diễn bởi số phức: φ a iϕ x = a + bi = A(cos ϕ + i sin ϕ ) = A.e = A∠ ϕ D CÁCH CHUYỂN MỘT HÀM ĐIỀU HÒA SANG HÀM SỐ PHỨC BẰNG MÁY fx-570ES Sử dụng MODE 2(CMPLX), R(radian)... chuyển hàm số phức: u = 100 − 100 3i, ω = 100π sang hàm điều hòa (dạng cos) [ ][ ][ ][ ] 100 − 100 3i ¬  200∠ − → SHIFT = π π ⇒ x = 200 cos(100π t − ) 3 II.ÁP DỤNG VÀO VẬT LÝ A Viết