Hệ thống bài tập hình học không gian

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - Phần Hình Học Cho hình lăng trụ tam giác .''' ABCABC , ñặt === uuurruuurruuurr ',, AAaABbACc . Gọi I là trung ñiểm của B’C’. a. Phân tích véctơ uur AI theo các vétơ rrr ,, abc . b. Phân tích vétơ uuur AO theo các véctơ rrr ,, abc , với O là tâm của hình bình hành BB’C’C. c. Phân tích vétơ uuur AG theo các véctơ rrr ,, abc , với G là trọng tâm của ∆ ''' ABC . d. Chứng minh rằng: ( ) ( ) =+=+ uuuuruuuuruuuuu ruuuruuuuur 11 '''''' 22 MNACABABAC , với M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, B’C’. e. Chứng minh rằng: ( ) =+++ uuuruuu ruuuruuuuruuur 1 '' 4 AOABABACAC 1/ ( ) ( ) 1111 '' 2222 AIABACabacabc =+=+++=++ uuruuuu ruuuurrrrrrrr ()() ()() () 11 ' 1 22 11 4 ' 22 AOACABacb AOacb AOACABacb  =+=++   ⇒=++   =+=++   uuuruuuuruuurrrr uuurrrr uuuruuuruuuu rrrr ()() 11 ''' 33 212 333 AGAAABACaabac abc =++=++++ =++ uuuruuuruuuuruuuurrrrrr rrr d/Chứng minh rằng: ( ) ( ) =+=+ uuuuruuuu ruuuuuruuuruuuuur 11 '''''' 22 MNACABABAC , với M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, B’C’. Chứng minh: ( ) ( ) 11 '''''''''''' 22 '''''''''' ACABABACACABACAC ACABACABBCBC +=+⇔+=+ ⇔−=−⇔= uuuuruuuuuruuuu ruuuuuruuuuruuuuuruuuuruu uuur uuuuruuuuruuuuuruuuuu ruuuuuruuuuur 2/ 3/ Cho hình chóp S.ABC có AB = 2 a , SA = SB = SC =a, SA, SB, SC ñôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của ∆ ABC . a. Chứng minh rằng: ⊥⊥ , SABCSBAC b. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ SHABC . c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC). a/ Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và BC Ta có SB =SC suy ra SN ⊥ BC, AH ⊥ BC suy ra BC ⊥ SA Tương tự AC ⊥ SB c r a r b r TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - Ta có SNBC BCSH AHBC ⊥  ⇒⊥  ⊥  Tương tự AB ⊥ SH b/ Từ câu a Suy ra ( ) ⊥ SHABC c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC). Ta có ( ) HSABC ⊥ suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC) Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA () 3 3 3 cos 2 2 3 b AHb SAH a SAa === Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng • trong ñó α là góc sao cho 3 cos 2 b a α = 4/ Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi tâm O cạnh a, ( ) ⊥ SAABCD , SA = a, ! =° 120 BAD . a. Tính số ño góc của BD và SC. b. Gọi H là trung ñiểm của SC. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ OHABCD c. Tính số ño của góc SB và CD. a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra ACBD ⊥ ( ) SAABCD ⊥⇒ AC là hình chiếu của SC lên (ACBD) Suy ra góc giữa chúng bằng 90 0 b/ Ta có OH là ñường trung bình của tam giác CSA suy ra HO // SA mà ( ) ( ) SAABCDOHABCD ⊥⇒⊥ c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB bằng 45 0 vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A 5/ Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, tâm O, ! =° 30 BAC , ==== SASBSCSDa . a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ SOABCD . b. Tính góc giữa SC và (ABCD). c. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và BC. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ MNSBD . d. Tính khoảng cách giữa SB và AC. a/ Vì O là trong ñiểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên () SOAC SOABCD SOBD ⊥  ⇒⊥  ⊥  TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - b/ Ta có ( ) SOABCD ⊥ suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD) vì ! 0 30 BCA = suy ra tam giác ACD là tam giác ñều suy ra 3 2 a CO = ! () ! 0 3 cos30 2 OC SCOSCO SC ==⇒= .Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 30 0 c/ Ta có ( ) () () () SOABCDSOBD BDSO BDSAB DBAC BDSAB MNSAB MNAC ⊥⇒⊥ ⊥  ⇒⊥  ⊥  ⊥  ⇒⊥    ! d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB Ta có ( ) ACSBDACHO ⊥⇒⊥ . Đoạn thẳng OH là ñoạn vuông góc chung của AC và SB Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH = 2 a 7/ Cho hình chóp S.ABC có ñáy là ∆ ABC cân tại A, ñường cao AH là ñường cao của tam giác ABC và AH= a, góc ! =° 120 BAC , SA vuông góc với mặt phẳng ñáy, = 3 SAa . Goi K là hình chiếu vuông góc của A lên SH. a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ AKSBC . b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC). c. Tính khoảng cách giữa SA và BC. a/ Ta có ( ) SAABCSABC ⊥⇒⊥ HA là ñường cao của tg ABC suy ra AHBC ⊥ () () () AHBC BCSAH SABC BCSAH BCAK AKSAH ⊥  ⇒⊥  ⊥  ⊥   ⇒⊥  ⊂   K là hình chiếu của A lên SH suy ra AKSH ⊥ () AKSH BCAKAKSBC BCSHH ⊥   ⊥⇒⊥   ∩=  b/ ( ) () ()() ()() ! ( ) ! () ! ,, , AHACB SHSBC ABCSBCSHAHAHS SBCABCBC SHAHBC ⊂  ⊂  ⇒==  ∩=   ⊥  0 tan360 SA HH AH ==⇒= TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - Ta có AH là ñoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA và BC bằng a 8/Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ! =° 60 BAD , = 3 2 a SA . Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của ∆ ABD . a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ BDSAC . Tính SH, SC. b. Gọi α là góc của (SBD) và (ABCD). Tính α tan c. Tính khoảng cách giữa DC và SA. a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH ⊥ BD ABCD là hình thoi suy ra AC ⊥ BD () SHBD ACBDBDSAC SHACH ⊥   ⊥⇒⊥   ∩=  ABCD là hình thoi cạnh a và góc ! 0 60 BAD = nên tam giác ABD là tam giác ñều cạnh a. 33 ; 62 aa OHOAOC=== 222 2 222 222 2 222 222 3232335 . 232324312 5 12 545 123123 3 2 aaaaaa SHSAAHAO SHa aaa SCSHHCAO a SC   =−=−=−=−=      ⇒=  =+=+=+   ⇒= b/ Ta có ( ) ()() ()() ! () , 56 tan.5 12 3 SACBD SACABCDACOHSO SACSBDSO SH a HO a α α ⊥   ∩=⇒=   ∩=  === 9/ Cho hình chóp S.ABC có ñáy là ∆ ABC ñều cạnh 2a, ( ) ⊥ SAABC , SA = a. Gọi I là trung ñiểm của BC. a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ BCSAI b. Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC). c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) a/ Ta có ( ) SAABCSABC ⊥⇒⊥ (1) ABC là tam giác ñều, I là trung ñiểm của BC nên AI ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAI) b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC) TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Ta có ( ) ( ) ()() SBCSAI HSI SBCSAISI ⊥   ⇒∈  ∩   Xét tam giác vuông SAI có: 22222 111143 32 a AH AHAISAAHa =+⇒=⇒= c/ Ta có: ( ) ()() ()() ()() ()() ! ( ) ! () ! ! () ! 0 ,, 3 tan30 3 3 2 2 BCSAI ABCABCBC SBCABCSIAISIA SBCSAISI ABCSAIAI SAa SIASIA AI a ⊥  ∩=  ⇒==  ∩=   ∩=  ===⇒= 10/ Cho hình chóp S.ABC, ( ) ⊥ SAABC , ∆ ABC ñều. Gọi I là hình chiếu của S lên BC, H là hình chiếu của A lên SI và == 23,2 SAaABa . a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ AHSBC . b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC) c. Tính khoảng cách giữa SA và BC. a/ Ta có ( ) SAABCSABC ⊥⇒⊥ (1) ABC là tam giác ñều, I là trung ñiểm của BC nên AI ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAI) ( ) () BCSAI SAAH AHSAI ⊥  ⇒⊥  ⊂   23 a H là hình chiếu của A lên SI nên AHSI ⊥ () SAAH SIAHAHSBC SIBCI ⊥   ⊥⇒⊥   ∩=  b/ ( ) ()() ()() ()() ()() ! () ! () ! ! () ! 23 ,,;tan2 3 2 2 BCSAI ABCABCBC SAa SBCABCSIAISIASIASIA AI SBCSAISI a ABCSAIAI α ⊥  ∩=  ⇒=====⇒=  ∩=   ∩=  Trong ñó α là góc sao cho tan α = 2 c/ khoảng cách giữa SA và BC là ñộ dài ñoạn AI = 23 a TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - 11: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là ∆ ABC vuông cân với AB = BC = a, ( ) ⊥ SAABC , SA = a. Gọi I là trung ñiểm của AC. a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ BISAC b. Tính số ño của góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC). c. Tính khoảng cách giữa SB và AC. . 989 249 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - Phần Hình Học Cho hình lăng trụ tam giác .''' ABCABC , ñặt === uuurruuurruuurr ',, AAaABbACc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA và BC bằng a 8/Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ! =° 60 BAD , = 3 2 a SA . Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng. cách giữa DC và SA. a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH ⊥ BD ABCD là hình thoi suy ra AC ⊥ BD () SHBD ACBDBDSAC SHACH ⊥   ⊥⇒⊥   ∩=  ABCD là hình thoi cạnh a và góc ! 0 60 BAD