HD cham HSG Thanh Hoa 2011(Toán)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (4,0 điểm). Cho hàm số 3 2 2 ( 1) (4 ) 1 2 y x m x m x m = - + - - - - ( m là tham số thực), có đồ thị là ( ). m C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1. m = - 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị ( ) m C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: cos2 cos3 sin cos4 sin6 . x x x x x + - - = 2) Giải bất phương trình: 2 4 2 6( 3 1) 1 0 x x x x - + + + + £ ( ). x Î ¡ 3) Tìm số thực a để phương trình: 9 9 3 cos( ) x x a x p + = , chỉ có duy nhất một nghiệm thực .Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân: ( ) 2 3 0 sin . sin 3cos x I dx x x p = + ò Câu IV. (6,0 điểm). 1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt , AM x = AN y = . Tìm , x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2) Trên mặt phẳng toạ độ , Oxy cho đường thẳng : 5 0 x y D - + = và hai elíp 2 2 1 ( ): 1 25 16 x y E + = , 2 2 2 2 2 ( ): 1 ( 0) x y E a b a b + = > > có cùng tiêu điểm. Biết rằng 2 ( ) E đi qua điểm M thuộc đường thẳng . D Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp 2 ( ) E có độ dài trục lớn nhỏ nhất. 3) Trong không gian , Oxyz cho điểm (0;2;0) M và hai đường thẳng 1 2 1 2 3 2 : 2 2 ( ); : 1 2 ( ) 1 , , x t x s y t t y s s z t z s = + = + ì ì ï ï D = - Î D = - - Î í í ï ï = - + = î î ¡ ¡ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục O x , sao cho (P) cắt hai đường thẳng 1 2 , D D lần lượt tại A, B thoả mãn 1 AB = . Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực , , a b c thoả mãn: 2 2 2 6 3. a b c ab bc ca ì + + = í + + = - î Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6 6 6 . P a b c = + + HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. S GD & T THANH HO HNG DN CHM CHNH THC (Gm cú 4 trang) K THI CHN HC SINH GII TNH NM HC 2010 - 2011 MễN THI: TON LP: 12 THPT Ngy thi: 24 - 3 - 2011 Cõu í Hng dn chm iờm Vi 1, m = - ta c hm s 3 3 1. y x x = - + Tp xỏc nh: . Ă Gii hn ti vụ cc: lim , lim . x x y y đ+Ơ đ-Ơ = +Ơ = -Ơ S bin thiờn: 2 ' 3 3 0 1. y x x = - = = 0,5 ' 0 ( ; 1) (1; ). y x > ẻ -Ơ - ẩ +Ơ Hm s ng bin trờn cỏc khong ( 1) -Ơ - v (1; ) +Ơ . ' 0 ( 1;1). y x < ẻ - Hm s nghch bin trờn khong ( 1;1). - im cc i ca th ( 1;3), - im cc tiu ca th (1; 1). - 0,5 Bng bin thiờn: 0,5 1) 2,0 th i qua im (-2; -1) v (2; 3). im un I(0; 1) l tõm i xng 0,5 Ta cú 2 2 ' 3 2( 1) 4 , y x m x m = - + - + l tam thc bc hai ca x. y' cú bit s 2 ' 2 2 13. m m D = - + + Nu ' 0 D Ê thỡ ' 0, y x " , suy ra yờu cu bi toỏn khụng tho món. 0,5 Nu 1 3 3 1 3 3 ' 0 ; 2 2 m ổ ử - + D > ẻ ỗ ữ ố ứ , thỡ ' 0 y = cú hai nghin 1 2 1 2 , ( ). x x x x < Du ca y': 0,5 Cõu I 4,0 2) 2,0 Chn 0 1 2 0 ( ; ) '( ) 0. x x x y x ẻ ị < Ycbt tho món khi v ch khi tn ti x sao cho 0 '( ). '( ) 1 y x y x = - pt: 2 2 0 1 3 2( 1) 4 0 '( ) x m x m y x - + - + + = (1) cú 0,75 -2 -1 -1 1 1 3 2 x y O x y' y -Ơ -Ơ +Ơ +Ơ 1 - 1 - 1 3 0 0 - + + x - Ơ + Ơ ' y 1 x 2 x 0 0 - + + nghiệm . Pt (1) có: 2 1 0 3 1 3 3 1 3 3 ' 2 2 13 0, ; . '( ) 2 2 m m m y x æ ö - + D =- + + - > " Î ç ÷ è ø Vậy giá trị cần tìm của m là 1 3 3 1 3 3 ; 2 2 m æ ö - + Î ç ÷ è ø . 0,25 PT 0)3cos.3sin23(cossin)4cos2(cos = - + - - Û xxxxxx 0)3cos3cos3sin2()sin3sinsin2( = - - - Û xxxxxx 0,5 0)3cos)(sin13sin2( = - - Û xxx 0,5 1) 2,0đ ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë é +-= += += += Û ê ê ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ -= = Û p p pp pp pp p kx kx kx kx xx x 4 28 3 2 18 5 3 2 18 2 cos3cos 2 1 3sin ( ). k Î ¢ 0,5 0,5 Tập xác định: ¡ . . BPT ( ) 2 2 2 2 6 2( 1) ( 1) 6( 1)( 1) 0 x x x x x x x x Û - + - + + + - + + + £ 0,5 2 2 2 2 1 6( 1) 12. 6 0 1 1 x x x x x x x x - + - + Û + - £ + + + + (vì 2 1 0, x x x + + > " ) 0,5 Đặt: 2 2 6( 1) 1 x x t x x - + = + + (t > 0), ta được 2 2 6 0 t t + - £ 3 0 2 t Û < £ . 0,5 Câu II 6,0 đ 2) 2,0đ BPT đã cho tương đương với 2 2 2 6( 1) 9 11 21 11 21 5 11 5 0 ; . 1 4 10 10 x x x x x x x æ ö - + - + £ Û - + £ Û Î ç ÷ + + è ø 0,5 2 9 9 3 cos( ) 3 3 .cos( ) (2). x x x x a x a x p p - + = Û + = Nhận xét: Nếu 0 x là nghiệm của (2) thì 0 2 x - cũng là nghiệm của (2), 0,5 suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất là 0 0 0 2 1. x x x = - Û = Với 0 1 x = , thì từ (2) suy ra 6. a = - 0,5 3) 2,0đ Với 6, a = - thì phương trình (2) trở thành 2 3 3 6cos( ) (3). x x x p - + = - Ta có (3) 6, (3) 6. VT VP ³ £ Vậy 2 3 3 6 (3) 1. 6cos( ) 6 x x x x p - ì + = Û Û = í - = î Vậy 6. a = - 1,0 Ta có: 1 3 sin (sin 3cos ) (cos 3sin ) 4 4 x x x x x = + - - 1 3 (sin 3cos ) (sin 3cos )'. 4 4 x x x x = + - + 0,5 Câu III 2,0đ Suy ra 2 2 2 3 0 0 1 1 3 (sin 3cos )' 4 4 (sin 3cos ) (sin 3cos ) x x I dx dx x x x x p p + = - + + ò ò 0,25 2 2 2 2 0 0 1 1 3 16 8(sin 3cos ) cos 6 dx x x x p p p = + + ổ ử - ỗ ữ ố ứ ũ 0,75 2 0 1 3 tan 16 6 12 x p p ổ ử = - + ỗ ữ ố ứ 3 3 3 . 12 12 6 = + = 0,5 K DH ^ MN , do (DMN) ^ (ABC) suy ra DH ^ (ABC). M ABCD l t din u, nờn suy ra H l tõm ca tam giỏc u ABC. 0,5 Ta cú: S AMN = 2 1 .AM.AN.sin60 0 = xy 4 3 ; S AMN = S AMH + S ANH = 2 1 .AM.AH.sin30 0 + 2 1 .AN.AH.sin30 0 = 3 3 . 4 1 (x+y). Suy ra xy 4 3 = 3 3 . 4 1 (x+y) ị x+y= 3xy (0 Ê x,y Ê 1 ). 0,5 1) 2,0 Din tớch ton phn ca t din DAMN: S = S AMD + S AND + S DMN + S AMN = 2 1 AD.AM.sin60 0 + 2 1 AD.AN.sin60 0 + 2 1 DH.MN + 2 1 AM.AN.sin60 0. = 3 xy + )1xy3(xy3 6 6 - . T 2 4 3 2 . 3 9 xy x y xy xy xy = + ị ị Suy ra 3(4 2) min , 9 S + = khi 2 . 3 x y = = 0,5 0,5 Hai elớp cú cỏc tiờu im 1 2 ( 3;0), (3;0). F F - 0,5 im 2 1 2 ( ) 2 M E MF MF a ẻ ị + = . Vy 2 ( ) E cú di trc ln nh nht khi v ch khi 1 2 MF MF + nh nht. 0,5 Gi ( ; ) N x y l im i xng vi 1 F qua D , suy ra ( 5;2). N - Ta cú: 1 2 2 2 MF MF NM MF NF + = + (khụng i). Du bng xy ra khi v ch khi 2 M NF = ầ D 0,5 2) 2,0 To im 17 4 3 0 17 8 5 : ; . 5 0 8 5 5 5 x x y M M x y y ỡ = - ù + - = ỡ ù ổ ử ị - ớ ớ ỗ ữ - + = ố ứ ợ ù = ù ợ 0,5 Cõu IV 6,0 3) 2,0 Gi s ó xỏc nh c (P) tha món ycbt. 1 2 (1 2 ;2 2 ; 1 ); (3 2 ; 1 2 ; ). A A t t t B B s s s ẻD ị + - - + ẻD ị + - - Suy ra ( ) 2 2( ); 3 2( );1 ( ) AB s t s t s t = + - - - - + - uuur 0,5 H A B C D M N GHI CH: Nu hc sinh gii cỏch khỏc m ỳng thỡ vn cho im ti a. 2 2 1 9( ) 22( ) 14 1 13 . 9 s t AB s t s t s t - = - ộ ờ ị = - + - + = ị ờ - = - ở 0,5 Vi 1 (0; 1;0) s t AB - = - ị = - ị uuur (P) cú mt vtpt 1 ; (0;0;1) n AB i ộ ự = = ở ỷ ur uuur r , suy ra ( ): 0 P z = (loi do (P) cha trc O x ). 0,5 Vi 13 8 1 4 ; ; 9 9 9 9 s t AB - - - ổ ử - = - ị = ỗ ữ ố ứ uuur , suy ra ( ) P cú mt vtpt 2 4 1 ; (0; ; ) 9 9 n AB i - ộ ự = = ở ỷ uur uuur r , suy ra ( ): 4 8 0 P y z - - = (tha món bi toỏn). 0,5 T gi thit suy ra : 0 a b c + + = 0,25 Ta cú: , , a b c l ba nghim thc ca phng trỡnh ( )( )( ) 0 x a x b x c - - - = 3 3 3 0 3 1 1 x x abc x x abc - - = - + = + (3) 0,5 T th hm s 3 3 1, y x x = - + suy ra pt (3) cú ba nghim thc , , a b c khi v ch khi 1 1 3 2 2. abc abc - Ê + Ê - Ê Ê 2 abc = - , khi trong ba s a, b, c cú hai s bng 1 v mt s bng -2. 2 abc = , khi trong ba s a, b, c cú hai s bng -1 v mt s bng 2. 0,5 6 6 6 2 3( ) P a b c P abc = + + ị - 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 ( )( ) a b c a b c a b b c c a = + + + + - - - . 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3( )( ) 216 18.9 54 a b c a b c a b b c c a = + + - + + + + = - = . 0,5 Cõu V 2,0 2 3( ) 54 max 66, P abc P= + ị = khi cú hai s bng -1 v mt s bng 2, hoc hai s bng 1 v mt s bng -2. 0,25 . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010-. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. S GD & T THANH HO HNG DN CHM CHNH THC (Gm cú 4 trang) K THI CHN HC SINH GII TNH NM HC 2010 - 2011