Chứng minh rằng a là một số nguyên.. Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu thủ của trường kia một trận.. Biết rằng
Trang 1Sở GD & ĐT Hoà Bình kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Lớp 9 tHCS năm học 2010 - 2011
Đề chính thức Đề thi môn : Toán Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: (4 điểm) 1 Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau: a/ A x= +3 3x y2 −4xy2−12y3 b/ B x= +3 4y2−2xy x+ +2 8y3 2 Cho a= 11 6 2+ + 11 6 2− Chứng minh rằng a là một số nguyên Bài 2: (6 điểm) 1 Giải phơng trình: 2 12 2 3 1 4 2 x x −x x = + + + +
2 Cho hàm số y=(m−1)x m+ 2−1 (m: tham số) Tìm m để đồ thị hàm số là đờng thẳng cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân 3 Tìm x để biểu thức 1 1 x A x − = + đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: (4 điểm) 1 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, có bán kính bằng 2 Biết ã 600 BAC= , đờng cao AH = 3 Tính diện tích tam giác ABC 2 Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu thủ của trường kia một trận Biết rằng tổng số trận đấu bằng bốn lần tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B là số lẻ Tỡm số cầu thủ của mỗi đội Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường trũn tõm O bỏn kớnh R, đường kớnh AB Hai điểm E, F thay đổi trờn nửa đường trũn sao cho số đo cung AE khỏc khụng và nhỏ hơn số đo cung AF, biết EF = R Giả sử AF cắt BE tại H, AE cắt BF tại I 1 Chứng minh rằng tứ giỏc IEHF nội tiếp được trong một đường trũn 2 Gọi EG và FQ là cỏc đường cao của tam giỏc IEF, chứng minh rằng độ dài QG khụng đổi 3 Chứng minh rằng QG song song với AB Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình: x+2 7− =x 2 x− + − +1 x2 8x− +7 1
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD:
Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký): .
Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký):
Trang 2Së GD&§T Hoµ B×nh Híng dÉn chÊm m«n to¸n
Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh cÊp THCS N¨m häc 2010-2011
Trang 3Bài ý Nội dung Điểm
1
(4đ)
1
2
a/ A = ( x + 3y ).( x - 2y ).( x + 2y )
b/ B = ( x + 2y + 1 ).( x2 - 2xy + 4y2 )
Từ đó a là số nguyên.
1,0 1,0 1,5 0,5 2
(6 đ)
1.
2.
3
+ HS lập luận đợc x2 + x + 4 và x2 + x + 2 khác 0 rồi đa PT về dạng 9( x2 + x ) + 12 = ( x2 + x + 4 ) ( x2 + x + 2 )
+HS biến đổi PT về dạng ( x2 + x - 4 ) ( x2 + x + 1 ) = 0
2
− ±
+ HS lập luận đợc để đồ thị hàm số là đờng thẳng cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A
và B sao cho tam giác OAB cân thì đồ thị hàm số đã cho song song với đờng thẳng y = x ( hoặc y = - x )
1 0
m m
− =
1 0
m m
− = −
m = 2 hoặc m = 0 và trả lời bài toán
1
A
x
= −
+
+ HS lập luận và tìm đợc giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng - 1 khi x = 0
1,0 0,5 0,5
1,0
1,0
0,5 1,5
3
(4 đ)
1.
2.
Gọi K là trung điểm của BC, dễ có
60
Xét tam giác vuông OKC có OC = 2 Tính đợc KC OC= sin 600 = 3, Tính đợc BC=2 3, suy ra diện tích
Chú ý: Thực chất tam giác ABC đều
nh-ng khônh-ng yêu cầu HS vẽ hình đúnh-ng.
+ Gọi số cầu thủ đội trờng A là x; Số cầu thủ đội trờng B là y đặt đk và lập đợc PT: xy = 4( x + y ) ⇔ −(x 4)(y− =4) 16
+ HS lập luận và tìm đợc x = 20 ; y= 5, KL…
1,0
1,0
1,0 1,0
4
(5 đ)
1.
2
3
1 Chứng minh được tứ giỏc IEHF nội tiếp được trong một đường trũn
2 Chứng minh được ∆IQG: ∆IFE (g.g),
QG = IG = ; 1EF=1
3 Chứng minh được ∆IAB: ∆IFE (g.g), kết hợp với (2) ta cú ∆IQG: ∆IAB,
suy ra
2,0
1,0 1,0
1,0
H
I
F
B
E
Trang 4Chú ý: Mọi lời giải đúng khác đều đợc cho điểm tơng đơng