Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau.. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A.. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3..
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (2 điểm)
Giải phương trình:
cos 2 1
cotx
x cotx
Câu II (2,5 điểm)
1 Cho khai triển:
1 x x x x a a x a x a x a x
a Tính tổng a0 a2 a4 a4042110
b Chứng minh đẳng thức sau:
C a C a C a C a C a C a
2 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.
Câu III (2,5 điểm)
1 Cho dãy số u n được xác định như sau
2
1 2011; n 1 n 1 n
u u n u u , với mọi n * ,n 2 Chứng minh rằng dãy số u n có giới hạn và tìm giới hạn đó
2 Tính giới hạn:
3 2 1
2 1 3 2 2
1
x
A lim
x
Câu IV (3 điểm)
1 Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng A BD' và đường thẳng AC' đi qua trọng tâm của tam giác A BD'
2 Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông
-Hết -Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
Đáp án gồm 3 trang
I
2 điểm
ĐK
cos 2 0 cos 2 0
cos 2 0 sin 0 sin 0
sin 0 cot 1 cos sin 0
x
x
0,5 Khi đó phương trình đã cho trở thành
3sin 2 3 sin cos
cos 2 sin cos
3sin 2 3 cos sin
cos sin cos sin sin cos
x
x
0.5
2
2
3sin 2 3 2 cos sin 2cos 2 0
3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0
1 2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2
2
0,5 +) sin 2x 1 cos 2x 0 không thỏa mãn ĐK 0,25
+) sin 2 1
2
2
k
0,25
II
2,5điểm
1.a (1,5 điểm)
2011
2011
Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được
2011
2011 1
2
1.b (0,5 điểm)
Xét x 1 từ khai triển trên ta có:
1 x 1 x a a x a x a x
Hệ số của x2011 trong vế trái bằng 1
C
Hệ số của x2011 trong vế phải bằng
C a C a C a C a C a C a
Trang 30 1 2 3 2010 2011
C a C a C a C a C a C a
2 ( 0,5 điểm)
+) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì
chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có 8
9
9
9
+) Giả sử B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 3 nên số có chín
chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các
tập B\ 0 ; \ 3 ; \ 6 ; \ 9 B B B nên số các số loại này là
8 9
3.8 11
27 9.
A
0,25
III
(2,5 điểm)
1 (1 điểm)
Từ công thức truy hồi của dãy ta được
2
.2011 2011
2
3 2 1
n
u
n
2
n
2 (1,5 điểm)
0,5
3
1
2 1 1 3 2 1
x
lim
2
2
4 3 3
4 6 2
x
x
lim
x x lim
0,5
IV
(3 điểm)
1 (1,5 điểm)
Gọi I là giao điểm của AC và BD Khi đó GAC' A I' chính là giao điểm của
'
' ' '
GI AI
AC A C
GA A C
0,5
2 (1,5 điểm)
Đặt A A m A D' , ' ' n A B, ' ' p m n p a m n n p ; p m 0
0,25
Trang 4và A M' x A D D N ' ; ' y D C '
Ta có A M' x m x n D N ; ' y m y p MN MA' A D' ' D N'
y x m 1 x n y p
0,25
Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có
2
3
x
y x m x n y p m n
y x
A M A D D N D C
0,5
MN m n p MN MN
0,5
G I
C'
B' A'
C
A
D
B
D'
M
N