đề thi học sinh giỏi Toán 6 .5 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) B i 1 (2 điểm) Cho dãy số lẻ 1, 3, 5, 7, chứng minh rằng tổng của số lẻ đầu tiên là một số chính phơng. Bài 2 (2 điểm) Chứng minh rằng A chia hết cho 5 A = 999993 1999 - 555557 1997 . Bài 3 (2 điểm) Chứng tỏ rằng: 41 1 + 42 1 + 43 1 + + 79 1 + 80 1 > 12 7 Bài 4: (2điểm). Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ .+ n = aaa Bài 5 ; (2 điểm) a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. Hết đề thi Đáp án đề Toán 6.5 B i 1 (2 điểm) Cho dãy số lẻ 1, 3, 5, 7, chứng minh rằng tổng của số lẻ đầu tiên là một số chính phơng: Số hạng thứ n của của dãy số lẻ là 2n-1 (0,5đ) (vì u n =u 1 + (n-1)d = 1 + (n-1).2=2n-1) Tổng của n số hạng đầu tiên là: S n = 1+3+5+7+ (2n-1) (0,5đ) S n = 2 )( 1 nuu n + = 2 ).121( nn + = 2 2 nn =n 2 (0,75đ) Rõ ràng tổng S n là một số chính phơng. (0,25đ) Bài 2 (2 điểm) Để chứng minh A 5 ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hặng Muốn xét chữ số tận cùng của 999993 1999 ta chỉ việc xét chữ số tận cùng của 3 1999 Ta có: 3 1999 = ( 3 4 ) 499 . 3 3 = 81 499 . 27 (0,5đ) Suy ra: 3 1999 có tận cùng là 7 (1) (0,5đ) Tơng tự ta xét: 7 1997 = ( 7 4 ) 499 .7 = 2041 499 . 7 7 1997 Có tận cùng là 7 (2) (0,5đ) Từ (1) và (2) suy ra A có tận cùng bằng 0 A 5 (0,5đ) Bài 3 (2 điểm) Ta thấy: 41 1 đến 80 1 có 40 phân số. 80 1 79 1 78 1 43 1 42 1 41 1 ++++++ = 60 1 59 1 42 1 41 1 ++++ + ++ 62 1 61 1 .+ 80 1 79 1 + (1) (0,5đ) Ta lại thấy : >> . 42 1 41 1 > 60 1 và 61 1 > 62 1 > > 80 1 (2) (0,5đ) Ta có ++ 60 1 60 1 .+ 60 1 60 1 + + 80 1 + 80 1 + .+ 80 1 80 1 + = 12 7 12 34 4 1 3 1 80 20 60 20 = + =+=+ (3) (0,5đ) Từ (1) , (2), (3) Suy ra: 80 1 79 1 78 1 43 1 42 1 41 1 ++++++ > 12 7 (0,5đ) Bài 4: (2điểm). Từ 1; 2; ; n có n số hạng Suy ra 1 +2 + + n = 2 ).1( nn + Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+ +n = aaa Suy ra 2 ).1( nn + = aaa = a . 111 = a . 3.37 (0,5đ) Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a (0,5đ) Vì tích n(n+1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n+1 Chia hết cho 37 Vì số 2 ).1( nn + có 3 chữ số Suy ra n < 45 n = 37 hoặc n = 36 (0,5đ) +) Với n= 37 thì 703 2 38.37 = ( loại vì không chia hết 111 ) +) Với n+1 = 37 thì 666 2 37.36 = ( thoả mãn) Vậy n =36 và a=6 Ta có: 1+2+3+ + 36 = 666 (0,5đ) Bài 5 ; (2 điểm) Vẽ hình minh họa 6 tia chung gốc (0,25đ) Hết đáp án Thông tin bổ sung: Công thức tìm số hạng thứ n của dãy số: Trong đó: u n : số hạng thứ n u 1 : số hạng đầu tiên của dẫy, n: số số hạng, d: số hạng đứng sau hơn số hạng đứng trớc. VD: Tìm số hạng thứ 11 dãy số: 1,3,5, u n =u 1 + (n-1)d =1+(11-1)2=21 Vậy số hạng thứ 11 của dãy số là 21. a.Mỗi tia (giả sử tia 0x) với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc. (0,5đ) Làm nh vậy với 6 tia ta đợc 5.6 góc. Nhng mỗi góc đã đợc tính 2 lần do đó có tất cả là 15 2 6.5 = (góc) (0,75đ) b. Từ câu a suy ra tổng quát: Với n tia chung gốc có n( 2 1n ) (góc). (0,5đ) 0 x u n =u 1 + (n-1)d . 111 ) +) Với n+1 = 37 thì 66 6 2 37. 36 = ( thoả mãn) Vậy n = 36 và a =6 Ta có: 1+2+3+ + 36 = 66 6 (0 ,5 ) Bài 5 ; (2 điểm) Vẽ hình minh họa 6 tia chung gốc (0, 25 ) Hết đáp án Thông tin bổ sung: Công. . 42 1 41 1 > 60 1 và 61 1 > 62 1 > > 80 1 (2) (0 ,5 ) Ta có ++ 60 1 60 1 .+ 60 1 60 1 + + 80 1 + 80 1 + .+ 80 1 80 1 + = 12 7 12 34 4 1 3 1 80 20 60 20 = + =+=+ (3) (0 ,5 ) Từ. với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc. (0 ,5 ) Làm nh vậy với 6 tia ta đợc 5 .6 góc. Nhng mỗi góc đã đợc tính 2 lần do đó có tất cả là 15 2 6. 5 = (góc) (0, 75 ) b. Từ câu a suy ra tổng quát: Với