GIAỈ TÍCH NC LỚP 12 Tiết 61: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ðỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG tiết 2 I.Mục tiêu: + Về kiến thức: Giúp học sinh : Hiểu các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn
Trang 1GIAỈ TÍCH NC LỚP 12 Tiết 61: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ðỂ TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (tiết 2)
I.Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Giúp học sinh :
Hiểu các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñồ thị hàm số và hai ñường thẳng vuông góc với trục hoành
+ Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Vẽ ñược ñồ thị các hàm số
- Ghi nhớ vận dụng ñược các công thức trong bài vào việc giải các bài toán cụ thể
+ Về tư duy và thái ñộ:
- Biết vận dụng các phương pháp tính tích phân ñể tính diện tích
- Biết nhiều cách giải về bài toán diện tích
II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án, bài dạy trên chương trình Sketchpad phiếu học tập
+ Học sinh: ðọc trước sgk , ñồ dùng ñể học theo nhóm…
III Phương pháp dạy học:
Trực quan, phân tích ñi lên
IV Bài học:
Hoạt ñộng 1: Kiểm tra kiến thức cũ:
5'
1/ Nêu công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] , trục hoành và hai
ñường thẳng x = a , x = b
2/ Áp dụng: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm
số: y = 4 − x2 ; trục hoành ; trục tung và ñường thẳng x = 3
=∫b
a dx ) x ( S
Trang 2
23 dx x 4 S 3
0
−
ðặt vấn ñề: Trong tiết trước ta ñã học cách tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] ,
trục hoành và hai ñường thẳng x = a , x = b Bây giờ nếu thay trục hoành bằng một ñường cong y = g(x) thì ta có thể tính diện tích S bằng công thức nào? ðây là nội dung của bài học hôm nay
II HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ðỒ THỊ HÀM SỐ:
Hoạt ñộng 2: Công thức tính:
10'
+ Cho hàm số: y= f(x) và y= g(x) liên tục trên [a,b]
H1: Giả sử f(x) ≥ 0 ; g(x) ≥ 0 và f(x) > g(x) trên [a;b]
Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị
y = f(x) , y= g(x) và 2 ñường thẳng x=a , x=b
GV minh họa trên màn hình
H2: Giả sử f(x) ≥ 0 ; g(x) ≤ 0 trên [a;b]
Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị
y = f(x) , y= g(x) và 2 ñường thẳng x=a , x=b
GV minh họa trên màn hình
Giới thiệu công thức tổng quát ñể tính diện tích
a/
∫
∫
∫
−
=
−
=
b
a
b
a
b
a
dx ) x ( g ) x (
dx ) x ( g dx ) x ( S
b/
∫
∫
∫
∫
∫
−
=
−
=
+
=
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx ) x ( g ) x (
dx ) x ( g dx ) x (
dx
| ) x ( g
| dx ) x ( S
1/ Công thức tính:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị các hàm số: y = f(x) y= g(x) liên tục trên [a;b] và 2 ñường thẳng x=a , x=b là: =∫ −
b
a
dx ) x ( g ) x ( S
Trang 3f(x)
x
(C2)
(C1)
Hoạt ñộng 3: Ví dụ
10'
Ví dụ 1:
H1: Hình phẳng cần tìm chưa thoả mãn các ñiều kiện
của công thức tính Cần phải tìm thêm các yếu tố nào ?
H2: Cách tìm các cận của tích phân ?
H3: Vẽ (P1) và (P2)
H4: Diện tích cần tính ñược giới hạn bởi các ñường
nào
+ Cận của tích phân
+ Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của hai parabol
x2−4 = −x2− 2x ⇔ 2x2 +2x − 4 = 0 ⇔ x = 1 , x = −2
2/ Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y= x2−4 (P1)
và y= −x2− 2x (P2)
Giải:
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (P1) và (P2) là:
x2−4 = −x2− 2x
⇔ 2x2 +2x − 4 = 0
⇔ x = 1 , x = −2
Nên diện tích hình phẳng cần tìm là:
Trang 4
H5: Nêu công thức tính
Chú ý: Ta có thể dựa vào hình vẽ ñể viết công thức
tính diện tích mà không cần dấu giá trị tuyệt ñối
P2
y
x 1
S - 4
I
S [( x 2x) (x 4)]dx 9 1
2
2
−
−
9 dx ) x x 4 (
dx
| 4 x x
| S 1
2
2
1
2 2
=
−
−
=
− +
=
∫
∫
−
−
15'
Ví dụ 2: Hoạt ñộng nhóm (4 nhóm)
Diện tích hình phẳng ñược xác ñịnh bởi 3 ñồ thị hàm
số nên ñể ñưa về 2 công thức ñã học ta phải vẽ ñồ thị
các hàm số ñã cho
Cho HS vẽ hình theo nhóm
GV kiểm tra hình vẽ nhận xét và cho các nhóm tính
diện tích hình phẳng theo yêu cầu
Nhận xét cách tính của từng nhóm
x
y
y = - x
2 + 3 2
y = x3
-1
2 1
D
B A
Ví dụ 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số:
y = x3 (C) , ñường thẳng :
2
3 2
x
y=− + (∆) và trục Ox
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (C) và ñường thẳng
2
3 2
x
x3 + − = ⇔ x = 1 Dựa vào hình vẽ ,diện tích cần tìm là:
Trang 5Hướng dẫn HS tính theo 2 cách:
C1: Diện tích cần tính là tổng diện tích của hình thang
cong OCA và của ∆ABC
Minh hoạ trên màn hình
C2: Diện tích cần tính là hiệu của diện tích tam giác
ODB và hình thang cong ODA
Minh hoạ trên màn hình
H1: Ngoài hai cách tính trên em nào có cách tính
khác
Gợi ý bằng cách minh hoạ trên màn hình: Xoay hình
vẽ 1 góc 900 và hỏi:
Diện tích hình phẳng cần tìm ñược giới hạn bởi các
ñường nào?
4
5 1 2 2
1 4
x S
x S
1
0
4 ABC 1
0
4
5 1 4 9
dx ) x 2
3 2
x ( S
S
1
0
2 ODC
=
−
=
− +
−
−
y
1
x
3
2
B
D
C
1
A
O
+ ðường thẳng ∆ , ñường cong (C)
và hai ñường thẳng y=0 , y= 1 + y=x3 ⇔x=3 y
4 5
dx ) 2
3 2
x ( dx x S
3
1
1
0 3
=
+
− +
NHẬN XÉT:
1/ ðể tính diện tích các hình phẳng phức tạp (trên 3 ñồ thị hàm số) , ta vẽ hình và chia hình ñã cho thành một số hình ñơn giản mà ta ñã có công thức tính diện tích
2/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường cong x=g(y) , x=h(y) (g,h liên tục trên [c;d] và hai ñường thẳng y=c , y=d là:
Trang 6H2: Viết lại ñường cong (C) và ñường thẳng (∆) là
hàm số theo biến y
H3: Công thức tính thể tích?
2
3 2
x
4
5 ) y 4
3 y y 3 (
dy y y 2 3 S
1
0
2
1
0
3
=
−
−
=
−
−
=
=∫ −
d
c
dy ) y ( h ) y ( g S
V Củng cố và bài tập về nhà: (5')
A Củng cố:
1/ Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] , trục hoành và hai ñường thẳng x = a , x = b là: =∫b
a dx ) x ( S 2/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị các hàm số: y = f(x) y= g(x) liên tục trên [a;b] và 2 ñường thẳng x=a , x=b là:
b
a
dx ) x ( g )
x
(
S
B Bài tập về nhà:
Phần 1: Các bài tập 26,27,28 sách giáo khoa nâng cao trang 167
Phần 2: Các bài tập SGK cơ bản:
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
a y = | lnx | và y = 1
b y = x2 +1 (P) , tiếp tuyến với (P) tại M(2;5) và trục Oy
x 1
2 − và y = 2(1 −x) 2/ Parabol y =
2
x2 chia hình tròn có tâm là gốc toạ ñộ và bán kính là 2 2 thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần ñó
Trang 7
Huế ,ngày 16 tháng 11 năm 2009
GV soạn: Nguyễn đình Hoàng −−−− Trường THPT Nguyễn Huệ