Đề số 6 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) x x x 3 0 ( 2) 8 lim → − + b) ( ) x x xlim 1 →+∞ + − Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 1= : x x khi x f x x x khi x 3 ² 2 1 1 ( ) 1 2 3 1 − − > = − + ≤ Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) x y x 1 2 1 − = + b) x x y x 2 2 2 1 + − = + Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC), SA = a 3 . a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM). b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: x x x 4 2 2 4 3 0+ + − = có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1; 1). Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số x y x 3 4 − = + . Tính y ′′ . b) Cho hàm số y x x 3 2 3= − có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –2). 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: x x 3 3 1 0− + = có 3 nghiệm phân biệt. Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y x x.cos= . Chứng minh rằng: x y x y y2(cos ) ( ) 0 ′ ′′ − + + = . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y f x x x 3 ( ) 2 3 1= = − + tại giao điểm của (C) với trục tung. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 6 Câ u Ý Nội dung Điểm 1 a) 3 3 2 0 0 ( 2) 8 6 12 lim lim x x x x x x x x → → − + − + = 0,50 2 0 lim( 6 12) 12 x x x → = − + = 0,50 b) ( ) 1 lim 1 lim 1 x x x x x x →+∞ →+∞ + − = + + 0,50 = 0 0,50 2 f (1) 5= (1) 0,25 x x x x x f x x x 1 1 1 3 ² 2 1 lim ( ) lim lim(3 1) 4 1 + + + → → → − − = = + = − (2) 0,25 x x f x x 1 1 lim ( ) lim(2 3) 5 − − → → = + = (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1 0,25 3 a) x y y x x 2 1 3 ' 2 1 (2 10 − = ⇒ = + + 0,50 b) x x x x y y x x 2 2 2 2 2 2 5 ' 2 1 (2 1) + − + + = ⇒ = + + 0,50 4 0,25 a) Tam giác ABC đều, ,M BC MB MC AM BC∈ = ⇒ ⊥ (1) 0,25 ( ) . .SAC SAB c g c SBC∆ = ∆ ⇒ ∆ cân tại S SM BC ⇒ ⊥ (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAM) 0,25 b) (SBC) ∩ (ABC) = BC, ( ) ,SM BC cmt AM BC⊥ ⊥ 0,50 · SBC ABC SMA(( ),( ))⇒ = 0,25 AM = ( ) · 3 , 3 tan 2 2 a SA SA a gt SMA AM = ⇒ = = 0,25 c) Vì BC ⊥ (SAM) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM) 0,25 SBC SAM SM AH SAM AH SM AH SBC( ) ( ) , ( ), ( )∩ = ⊂ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 d A SBC AH( ,( )) ,⇒ = 0,25 a a SA AM a AH AH AH SA AM SA AM a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 . 1 1 1 . 3 4 5 3 3 4 = + ⇒ = ⇒ = = + + 0,25 2 5a Gọi f x x x x 4 2 ( ) 2 4 3= + + − ⇒ f x( ) liên tục trên R 0,25 f(–1) = 2, f(0) = –3 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất 1 nghiệm c 1 ( 1;0)∈ − 0,25 f(0) = –3, f(1) = 4 f f(0). (1) 0⇒ < ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất 1 nghiệm c 2 (0;1)∈ 0,25 Mà 1 2 c c≠ ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng ( 1;1)− . 0,25 6a a) x y y x x 2 3 7 ' 4 ( 4) − = ⇒ = + + 0,50 y x 3 14 " ( 4) − ⇒ = + 0,50 b) y x x 3 2 3= − y x x k f 2 ' 3 6 (1) 3 ′ ⇒ = − ⇒ = = − 0,50 x y k PTTT y x 0 0 1, 2, 3 : 3 1= = − = − ⇒ = − + 0,50 5b x x 3 3 1 0− + = (*). Gọi f x x x 3 ( ) 3 1= − + ⇒ f x( ) liên tục trên R f(–2) = –1, f(0) = 1 f f( 2). (0) 0⇒ − < ⇒ c 1 ( 2;0 )∃ ∈ − là một nghiệm của (*) 0,25 f(0) = 1, f(1) = –1 f f c 2 (0). (1) 0 (0;1)⇒ < ⇒ ∃ ∈ là một nghiệm của (*) 0,25 f f f f c 3 (1) 1, (2) 3 (1). (2) 0 (1;2)= − = ⇒ < ⇒ ∃ ∈ là một nghiệm của (*) 0,25 Dễ thấy 1 2 3 , ,c c c phân biệt nên PT (*) có ba nghiệm phân biệt 0,25 6b a) y x x.cos= ⇒ ' cos sin " sinx sinx cos " cosy x x x y x x y x x= − ⇒ = − − − ⇒ = − 0,50 x y x y y x x x x x x x x x x2(cos ) ( ) 2(cos cos sin ) ( 2sin cos cos ) ′ ′′ − + + = − + + − − + = 0,25 2 sin 2 sin 0x x x x = − = 0,25 b) Giao điểm của ( C ) với Oy là A(0; 1) 0,25 y f x x x 3 ( ) 2 3 1= = − + ⇒ y f x x 2 ' ( ) 6 3 ′ = = − 0,25 k f (0) 3 ′ = = − 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(0; 1) là y x3 1= − + 0,25 3 . AH AH SA AM SA AM a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 . 1 1 1 . 3 4 5 3 3 4 = + ⇒ = ⇒ = = + + 0 ,25 2 5a Gọi f x x x x 4 2 ( ) 2 4 3= + + − ⇒ f x( ) liên tục trên R 0 ,25 f(–1) = 2, f(0) = –3 ⇒ f(–1).f(0). số không liên tục tại x = 1 0 ,25 3 a) x y y x x 2 1 3 ' 2 1 (2 10 − = ⇒ = + + 0,50 b) x x x x y y x x 2 2 2 2 2 2 5 ' 2 1 (2 1) + − + + = ⇒ = + + 0,50 4 0 ,25 a) Tam giác ABC đều, ,M. sinx sinx cos " cosy x x x y x x y x x= − ⇒ = − − − ⇒ = − 0,50 x y x y y x x x x x x x x x x2(cos ) ( ) 2( cos cos sin ) ( 2sin cos cos ) ′ ′′ − + + = − + + − − + = 0 ,25 2 sin 2 sin 0x x