Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật tốn cơ bản của tốn 6 1 I. ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong đời sống và các ngành khoa học khác, toán học đóng vai trò rất quan trọng. Ở các trường phổ thông trung học hiện nay, trong tất cả các môn học thì t oán học là một môn học quan trọng nhất, không thể thiếu trong bất cứ kỳ thi nào. Ý thức được tầm quan trọng của toán học có khả năng to lớn, giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Toán học đòi hỏi tính trừu tượng cao độ, tính chính xác cao, suy luận logic chặc chẽ. Khi giải, trước tiên phải nhìn bao qt m ột cách tổng hợp, xem bài tốn thu ộc loại gì, phải phân tích các đ ã cho và cái ph ải tìm, tìm ra m ối liên hệ giữa cái đ ã cho và cái phải tìm, vv… Vi ệc giải nhiều b ài tốn đơn gi ản hơn; chia ra các trư ờng hợp khác nhau, rồi tổng hợp lại để đ ược lời giải của b ài tốn đã cho . Là môn “ Thể thao trí tuệ”, toán học còn có khả năng dạy học cho học sinh tư duy chính xác, tư duy logic. Việc tìm kiếm lời giải của một bài toán có tác dụng rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo, tò mò, dự đoán … Qua thực tiển giảng dạy cho thấy, để hình thành lời giải, cách trình bày của một bài toán thì học sinh gặp không ít khó khăn nhất là đối với học sinh yếu môn toán. Xu a á t ph a ù t từ tì nh hình đó , la ø mo ä t g ia ù o vi ê n d a ï y to a ù n . B a û n th a â n nh a ä n th a á y muo á n cho ho ï c sinh học to á t h ơ n nh a á t la ø mo â n tốn , đ a ë c b ie ä t la ø tìm r a lơ ø i g ia û i v à c a ù ch tr ì nh b à y mo ä t b à i to a ù n thì g ia ù o viên c a à n phải hướng dẫn cho học sinh giải b à i to a ù n th e o những bước giải đã đònh sẳn , đó là một phương pháp giải toán để tìm ra được kết quả nhanh , trong toán học còn được gọi là thuậ toán nói chung, đây là lí do mà tôi chọn chuyên đề như sau : “Những thuật tốn cơ bản của tốn 6” II. NỘI DUNG : 1./ Cơ sở lí luận : 1.1./ . Đ ònh nghóa thuật toán : Thuật toán là một qui đònh trình tự những thao tác cần thực hiện để giải một bài toán. 1.2./. Vận dụng thuật tốn khi tr ình bày l ời giải : Thuật toán có vai trò rất quan trọng trong việc giải toán. Nó được sử dụng rộng rãi và sâu sắc, trong quá trình giải một bài toán nói riêng và một loạt các bài toán nói chung, theo các bước một cách có hệ thống chặt chẽ, hay nói khác hơn là tuân theo một qui tắc giải toán cụ thể, cho từng loại bài toán cùng loại hay cùng kiểu. Mỗi khi có đi ều kiện, cần h ướng dẫn học sinh so sánh những khái niệm, quy tắc mới học với những khái niệm, quy tắc đ ã biết, có sự giống nhau hoặc khác nhau n ào đó, giúp h ọc sinh nắm vững v à sâu sắc kiến thức một cách có hệ thống . Việc giải một b ài tốn cũng như việc giải quyết bất cứ một việc g ì, thường được tiến hành theo 4 bư ớc : a) Tìm hiểu đề tốn; b) Tìm cách gi ải ; c) Trình bày l ời giải ; d) Kiểm tra và nghiên cứu câu, lời giải đ ã tìm được . Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật toán cơ bản của toán 6 2 Hiện nay, học sinh trung học c ơ sở rất kém trong việc tr ình bày viết lời giải của b ài toán. Ch ữ viết cẩu thả, viết sai chính tả, sai ngữ pháp, các số viết không r õ ràng, hình v ẽ thiếu chính xác, kí hiệu sử dụng t ùy tiện… đó l à điều rất dễ nhận thấy trong b ài làm của học sinh . Mội giáo vi ên nhận thức rõ tác hại của nó về lâu dài đối với học sinh v à có thái độ nghiêm khắc trong mọi giờ học, đối với b ài kiểm tra của học sinh đúng lúc, kịp thời thời những câu hỏi gợi ý sâu sắc v à sát trình độ, sữ dụng th ành thạo các bước giải . 1.2.1./ Hiểu rỏ bài toán : Đâu là ẩn ? Đâu là dữ kiện ? Đâu l à điều kiện ? Có thể thỏa m ãn được điều kiện hay không ? Đi ều kiện có đủ để xác định đ ược ẩn không ? Hay chưa đ ủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ? - Vẽ hình. Sử dụng một kí hiệu thích hợp . - Phân bi ệt các phần khác khác nhau của điều kiện. C ó thể diễn tả các điều kiện có thành công th ức không ? 1.2.2./ Xây dựng một ch ương gi ải bài toán : - Em đã gặp bài toán này l ần nào chưa ? Hay đ ã gặp bài toán này ở một dạng h ơi khác ? - Em có bi ết một bài toán nào đó có liên quan không ? m ột định nghĩa, đị nh lí có thể dùng được không ? - Xét kĩ các chưa biết, và thử nhớ lại một b ài toán quen thu ộc có cùng ẩn hay có ẩn tượng tự . - Đây là một bài toán có liên quan mà em đ ã có lần giải rồi . Có thể sử nó không ? Có thể sử dụng kết quả của nó không ? Hay sử dụng phương pháp ? Có c ần phải đưa thêm m ột số yếu tố phụ th ì mới sử dụng đ ược nó không ? - Có thể phát biểu b ài toán m ột cách khác không ? Một cách khác nữa ? quay về các định nghĩa . - Nếu em ch ưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một b ài toán có li ên quan . Em có th ể nghĩ ra một b ài toán có liên quan mà d ễ hơn không ? M ột bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? M ột bài toán tương t ự ? Em có thể giải một phần b ài toán không ? - Hãy thữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó, ẩn đ ược xác định đến một chừng mực n ào đó, nó bi ến đổi nh ư thế nào ? Em có th ể từ một dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không ? Em có thể nghĩ ra những dữ kiện khác có thể giúp em xác đ ịnh được ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn v à các dữ kiện mới đ ược gần nhau h ơn không ? - Em đã sử dụng mọi dữ kiện hay ch ưa ? đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay ch ưa ? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong b ài toán chưa ? 1.2.3./ Trình bày l ời giải : - Khi thực hiện ch ương trình hãy ki ểm tra lại từng b ước. Em đ ã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng ch ưa ? Em có th ể chứng minh l à nó đúng không ? 1.2.4./ Kiểm tra v à nghiên c ứu câu, lời giải đ ã tìm được: - Em có thể kiểm tra lại kết quả ? Em có thể kiểm tra lại to àn bộ quá trình giải bài toán không ? - Có thể tìm được kết quả một cách khác khô ng ? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả bài toán không ? - Em có th ể sử dụng kết quả hay ph ương pháp đó cho m ột bài toán nào khác Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật toán cơ bản của toán 6 3 không ? 2./ Một số ví dụ cụ thể : Ví dụ 1 : So sánh tìm UCLN và BCNN c ủa hai số bằng cách đối chiếu để thấy những chỗ giố ng nhau và khác nhau . Tìm ƯCLN của hai số Tìm BCNN c ủa hai số - Phân tích các s ố ra thừa số nguyên t ố . - Lấy tích của tất cả các thừa số chung . - Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các số đ ã cho . - Phân tích các s ố ra thừa số nguyên t ố . - Lấy tích của tất cả các thừa số chung và riêng . - Mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó trong các số đ ã cho. Trong chương tr ình toán ta có r ất nhiều dịp giúp học sinh luyện tập thao thác so sánh : So sánh các tính ch ất của phép cộn g và của phép nhân. Muốn khái quát hóa l à dùng trí óc tách ra cái chung trong các đ ối tượng, sự kiện hoặc hiện t ượng. Muốn khái quát hóa, thư ờng phải so sánh nhiều đối t ượng, hiện t ượng, sự kiện với nhau . Ví dụ 2 : Từ ba điều kiện : Số 5 chia hết cho 5 Số 15 chia hết cho 5 Số 25 chia hết cho 5 Ta so sánh ba s ố 5, 15, 25 rút ra cái chung l à các số đó đều tận c ùng bằng 5 và có kết luận khái quát : -Tất cả các số tận c ùng bằng 5 đều chia hết cho 5 . Ví dụ 3 : Từ ba điều kiện : Số 3 là số nguyên tố Số 13 là số nguyên tố Số 23 là số nguyên tố Ta rút ra đi ều khái quát : - Tất cả các số tận c ùng bằng 3 đều l à số nguyên tố . Trong vấn đề này, khái quát hóa không đúng ( số 33 không phải l à số nguyên tố); cái chung (t ận cùng bằng 3) không ph ải là dấu hiệu để các số 3, 13, 23 là nguyên t ố . Ví dụ 4 : khi dạy về góc, ta xuất phát từ mô h ình cụ thể của nó trong thực tế , từ đó, bỏ qua các tính chất khác của các vật m à chỉ giữ lại một dấu hiệu chung (hai tia chung gốc), ta đi đến định nghĩa khái niệm góc (trừu tượng hóa), sau đó ta lại cụ thể hóa khái niệm n ày bằng cách xét m ột số góc cụ thể ( nhọn, vuông, t ù, bẹt,…), nhận biết các góc trong nh ững điều kiện khác nhau, vv Ta tóm t ắt theo s ơ đồ : Cụ thể - Hình tạo bởi kim phút v à kim giờ trong đồng hồ - Hình tạo bởi hai cạnh của ê ke - Hình tạo bởi hai cạnh b àn Trừu tượng Góc là một hình tạo bởi hai tia chung gốc Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật toán cơ bản của toán 6 4 B A O Cụ thể Góc nhọn Góc tù Góc vuông Góc b ẹt P N B A O có bao nhiêu góc ? Ví dụ 5 : Cho học sinh quan sát v à làm bài tập : “có bao nhi êu hình tam giác trong hình a ”. Không ít học sinh loay hoay đếm các h ình tam giác, không theo m ột quy tắc nào, do đó, lúc thì được 8 hình, lúc 9 hình, cuối cùng mới thấy được kết quả đúng: 10 h ình . Sau đó, nếu ta hỏi tiếp : “ có bao hi êu hình tam giác trong hình b ? ” thì nhi ều học sinh lại lặp lại công việc đếm một cách lộn xộn, nh ư đã làm trên hình a, do đó không đếm được đủ các hình tam giác. Đối với các em này, câu hỏi tiếp theo : “có bao hiêu hình tam giác trong hình c ? ” là r ất phức tạp . Qua việc giải hai b ài toán trên các hình a, hình b, các em không thấy được cái gì chung trên hai hình ấy, học sinh không khái quát đ ược. Trái lại, có học sinh khi tiếp xúc với b ài toán đầu tiên ( hình a) đã nghĩ ngay đến việc tìm một cách đếm để bảo đảm chính xác, không thừa, không th iếu. có thể sẽ có một số em sẽ suy nghĩ: - Số tam giác có cạnh b ên là OA : 4 - Số tam giác có cạnh b ên OB ( bên phải cạnh của OB ) : 3 - Số tam giác có cạnh b ên OC ( bên phải cạnh của OC ) : 2 - Số tam giác có cạnh b ên OD ( bên phải cạnh của OD ) : 1 Kí hiệu : AOB So sánh các góc … Vẽ các góc … Đo các góc,vv… E D C B A 0 Hình a Hình b Hình c Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật toán cơ bản của toán 6 5 * Từ đó, chuyển qua h ình b, em có thể trả lời được ngay rằng số hình tam giác là : 5+ 4+ 3+ 2+ 1 = 15, và số hình tam giác trên hình c là : 15+ 6 = 21 . Nh ư vậy, em học sinh này đã biết khái quát hóa tr ên cơ sở phân tích chỉ một dữ liệu . Ở đây, ta có thể công nhận định lí : “ Nếu hai số a, b đều chia hết cho m (m 0) thì tổng a + b cũng chia hết m ” . Minh họa : 156 chia hết cho 12 96 chia h ết cho 12 Do đó : 156 + 96 = 252 chia h ết cho 12 . Bên cạnh đó, có một số địn h lí có thể coi như được chứng minh bằng cách suy luận tr ên một ví dụ tiêu biểu. Chẳn hạn các định lí về dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 . Chứng minh trong sách Chứng minh tổng quát Xét số 3215 3215 = 3.1000+2.100+10+5 Các số 3.1000, 2.100, 10 đều chi a hết cho5. Chữ số cuối cùng 5 cũng chia hết cho 5 . Vậy: Tổng chia hết cho 5, tức l à 3215 chia hết cho 5 . Xét số 1 1 0 n n a a a a với a 0 = 5 1 1 0 n n a a a a = a n .10 n + 10 1 n 1 a .10 + a 1 .10 + a 0 Các số a n .10 n , a n -1.10 10-1 , …, a 1 .10 đều chia hết cho 5 . Chữ số tận cùng a 0 cũng chia hết cho 5 . Vậy: Tổng chia hết cho 5, tức l à : 1 1 0 n n a a a a chia hết cho 5 . Ví dụ 6 : Bài “ So sánh hai phân s ố cùng mẫu, không cùng mẫu ”. Cho hai số tự nhiên khác nhau. Ta đã biết so sánh hai số tự nhi ên đó, nghĩa là xác định trong hai số, số nào nhỏ hơn, số nào lớn hơn . So sánh hai s ố : 5 và 3 ta được : 5 > 3 17 và 23 ta đư ợc : 17 < 23 Đối với hai phân số khác nhau, ta cũng cần so sánh hai phân số đó, nghĩa l à phải xác định trong hao số, phân số n ào nhỏ hơn, phân số nào lớn hơn . Hãy so sánh các phân s ố sau : 2 3 và 5 7 , phân số nào lớn hơn ? 2 3 > 5 7 hay 5 7 > 2 3 ? Ta tìm cách quy v ề việc so sanh hai số tự nhi ên mà ta đã biết. Ta xét theo hai tr ường hợp sau : + So sánh hai phân s ố có mẫu bằng nhau . + So sánh hai phân s ố không cùng mẫu . Quy đồng mẫu, ta được : 2 2.7 14 3 3.7 21 ; 5 5.3 15 7 7.3 21 Vậy phân số nào lớn hơn ? vì sao ? ( quy về so sánh hai phân số có mẫu bằng nhau) Ví dụ 7 : Tìm ƯCLN(264, 124) = ? Ta lấy số 264 chia cho số 124 264 = 124.2 + 16 124 = 16.7 + 12 16 = 12.1 + 4 12 = 4.3 + 0 Vậy : U7CLN (264, 124) = 4 Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009 For Evaluation Only. Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật tốn cơ bản của tốn 6 6 Tìm BCNN[(a, b)]= . ( , ) a b a b Vậy : [264, 124] = 264.124 4 = 32736 8184 4 III. KẾT LUẬN : 1.Ưu điểm: Đối với lớp đầu cấp th ì giáo viên bộ mơn của lớp đều quan tâm đến các em học sinh về mọi mặt nói chung, ri êng mơn tốn là mơn mà các em ph ải làm quen lại ở cấp I . Nên các em cũng cần có sự quan tâm sâu sắc đến từng cách nhận xét một vấn đề chung và tìm hiểu vấn đề , xây dựng đ ược cách thức trình bày cho phù hợp với đề bài tốn u cầu . Ở đây, việc hình thành từ u cầu bài tập sách giáo khoa, th ường theo một hệ thống nhất định, do vậy m à các em cũng sẽ dần quen với thuật tốn để hoạt động một cách giải chính xác, rõ ràng,… có hiệu quả chính xác . Từ đó, cũng giúp cho học sinh h ình thành cách giải một số bài tốn thường gặp đơn giản và có hướng nâng dần đến phức tạp . 2. Hạn chế : Trường học thuộc diện vùng khó khăn và con em dân t ộc cũng khơng ít, do vậy mà việc ý thức việc học tập của con em. V ì thề mà dẫn đến việc học v à tiếp thu bài giãng cũng gặp nhiều khó khăn. IV. Ý KIẾN ĐỀ XUẤT : Trên đây là một kinh nghiệm mà bản thân đã rút ra được từ quá trình gi ảng dạy, mong rằng nó sẽ góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung, cũng như chất lượng môn toán nói riêng. Kinh nghiệm này chưa gọi là hoàn chỉnh. Trong thời gian thực hiện còn nhiều thiếu sót. Xin quý đồng nghiệp cùng tham khảo và đóng góp ý kiến cho hoàn chỉnh hơn để góp phần nâng cao chất lượng giãng dạy và đáp ứng được nhu cầu cần thiết của x ã hội . Tơi chân thành cảm ơn q thầy cơ giúp đỡ cho chun đề của tơi được hoản thiện hơn ! Phong phú, ngày 8 tháng 4 năm 2011 Người thực hiện Trần Minh Trí Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật toán cơ bản của toán 6 7 Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật toán cơ bản của toán 6 8 . Tìm ƯCLN( 264 , 124) = ? Ta lấy số 264 chia cho số 124 264 = 124.2 + 16 124 = 16. 7 + 12 16 = 12.1 + 4 12 = 4.3 + 0 Vậy : U7CLN ( 264 , 124) = 4 Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009 For. b cũng chia hết m ” . Minh họa : 1 56 chia hết cho 12 96 chia h ết cho 12 Do đó : 1 56 + 96 = 252 chia h ết cho 12 . Bên cạnh đó, có một số địn h lí có thể coi như được chứng minh bằng cách suy. Only. Sáng kiến kinh nghiệm : Những thuật tốn cơ bản của tốn 6 6 Tìm BCNN[(a, b)]= . ( , ) a b a b Vậy : [ 264 , 124] = 264 .124 4 = 327 36 8184 4 III. KẾT LUẬN : 1.Ưu điểm: Đối với lớp đầu cấp