chuyen de boi duong hoc HSG tai dien chau

Chuyên đề BDHSG Toán THCS Đổi mới phơng pháp dạy học toán theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh A. Một vài nét về lý luận dạy học 1.T t ởng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh Xã hội phát triển và sự đổi mới đất nớc đòi hỏi phải nâng cao chất lợng giáo dục nhằm đào tạo những con ngời lao động đảm bảo mục tiêu hiện đại hoá đất nớc. + Theo Kharlamop.I.F. Học tập là một quá trình nhận thức tích cực Theo từ điển Tiếng Việt: Tích cực là một trạng thái tinh thần có tác dụng khẳng định và thúc đẩy sự phát triển . Trong hoạt động học tập nó diễn ra ở nhiều phơng diện khác nhau: Tri giác tài liệu, thông hiểu tài liệu, ghi nhớ, luyện tập, vận dụng, khái quát và đợc thể hiện ở nhiều hình thức đa dạng, phong phú. Động cơ học tập là nguồn tạo ra tính tích cực trong hoạt động học và khi đã hình thành lại có giá trị nh một động cơ thúc giục hoạt động, là thuộc tính của nhân cách, còn tính tích cực lại là một trạng thái tinh thần làm nền cho hoạt động diễn ra có hiệu quả và có thuộc tính thiên về cảm xúc . G.I. Sukina đã chia tính tích cực ra làm ba cấp độ 1. Tính tích cực bắt chớc, tái hiện: xuất hiện do tác động kích thích bên ngoài. Trong trờng hợp này ngời học thao tác trên đối tợng, bắt chớc theo mẫu hoặc mô hình của GV, nhằm chuyển đối tợng từ ngoài vào trong theo cơ chế hoạt động bên ngoài bên trong có cùng cấu trúc. Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động đợc tích luỹ thông qua kinh nghiệm ngời khác. 2. Tính tích cực tìm tòi: đi liền với quá trình hình thành khái niệm. Giải quyết các tình huống nhận thức, tìm ra các phơng thức hành động trên cơ sở có tính tự giác, có sự tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí của HS. Loại này xuất hiện không chỉ do yêu cầu của GV mà còn hoàn toàn tự phát trong quá trình nhận thức. Nó tồn tại không chỉ ở dạng trạng thái, cảm xúc mà còn ở dạng thuộc tính bền vững của hoạt động. ở mức độ này tính độc lập cao hơn mức trên, cho phép HS tiếp nhận nhiệm vụ và tự mình tìm ra ph- ơng tiện thực hiện. 3. Tính tích cực sáng tạo: thể hiện khi chủ thể nhận thức tự tìm tòi kiến thức mới, tự tìm kiếm ra phơng thức hành động riêng và trở thành phẩm chất bền vững của cá nhân. Đây là mức độ biểu hiện tính tích cực nhận thức cao nhất . Nh vậy nói về tính tích cực nhận thức, ngời ta thờng đánh giá về mức độ nhận thức của ngời học trong quá trình thực hiện mục đích dạy học. Kharlamop I.F. viết: Tính tích cực trong hoạt động nhận thức là trạng thái hoạt động của HS, đợc đặc trng bởi khát vọng học tập, sự cố gắng trí tuệ với nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức cho chính mình . + Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh: Tối đa hoá sự tham gia hoạt động của ngời học với định hớng chỉ đạo là tự nhận thức, tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra và đánh giá, qua đó hình thành và phát triển t duy độc lập và sáng tạo của HS. GS.TSKH Nguyễn Bá Kim chỉ rõ 4 yêu cầu để tích cực hoá hoạt động học tập của HS: 1 Chuyên đề BDHSG Toán THCS - Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, đảm bảo tính tự giác, tích cực sáng tạo của hoạt động học tập. - Dạy học phải dựa trên nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thức sẵn có của ngời học, nhằm khai thác mặt thuận lợi, hạn chế mặt khó khăn, nghiên cứu những ch- ớng ngại hoặc sai lầm có thể có của những kiến thức đó trong quá trình học tập của HS. - Dạy học không chỉ nhằm mục đích là tri thức và kỹ năng bộ môn, mà quan trọng hơn cả là việc học, dạy cách học cho HS. - Quá trình dạy học phải bao hàm cả việc dạy cách tự học thông qua việc để HS tự hoạt động nhằm đáp ứng nhu cầu của bản thân và của xã hội . Tóm lại: Để phát huy đợc tính tích cực trong hoạt động học tập của HS cần một quá trình làm cho ngời học trở thành chủ thể tích cực trong hoạt động học tập của chính họ. 2. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học + Phơng pháp dạy học - Phơng pháp dạy học là con đờng, là cách thức của hoạt động để đạt mục đích dạy học. - Phơng pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lu của thầy gây nên những hoạt động và giao lu cần thiết của trò nhằm đạt mục đích dạy học . - Hoạt động của thầy gây nên hoạt động của trò: Hoạt động của thầy là tác động điều khiển. Tuy nhiên tác động không chỉ gồm hoạt động mà còn có sự ứng xử của thầy giáo. Thuật ngữ dạy học vốn đợc dùng để phản ánh hoạt động của ngời dạy, thế nhng đối tợng của hoạt động dạy học là HS, HS vừa là đối tợng của hoạt động dạy lại vừa là chủ thể của hoạt động học. Vì vậy phơng pháp dạy học vừa bao hàm cách dạy của thầy và cách học của trò. + Đổi mới phơng pháp dạy học Nghị quyết Trung ơng II khoá VIII của Đảng Cộng sản Việt Nam chỉ rõ Đổi mới mạnh mẽ phơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo của ngời học Đào tạo con ngời năng động sáng tạo có năng lực phát hiện vấn đề và tự giải quyết vấn đề là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của ngành giáo dục. Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời mới xây dựng xã hội công nghiệp hoá và thực trạng lạc hậu của phơng pháp dạy học đã làm nảy sinh thúc đẩy công cuộc đổi mới phơng pháp dạy học ở tất cả các cấp học trong ngành giáo dục . Phơng pháp dạy học không phải là bản thân hoạt động và ứng xử của GV ở bình diện xem xét riêng lẻ, cụ thể mà theo Nguyễn Bá Kim: Phơng pháp dạy học là hình ảnh khái quát hoá những hoạt động ứng xử nào đó của GV. Hình ảnh này thờng đợc hình thành do phản ánh những hoạt động ứng xử thành công của GV trong quá trình dạy học và phản ánh những thành tựu của khoa học giáo dục hoặc những khoa học khác thông qua khoa học giáo dục Phơng pháp dạy học là phơng tiện để đạt mục đích dạy học . 2 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Trong những năm gần đây t tởng dạy học chủ đạo đợc phát biểu dới nhiều hình thức khác nhau nh lấy HS làm trung tâm,phát huy tính tích cực, phơng pháp dạy học tích cực, tích cực hoá hoạt động học tập, Hoạt động hoá ngời học Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo. + Làm thế nào để tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh ? Nhà tâm lí học I.X.Iakimanxkai cho rằng: Nhà trờng cần trang bị cho HS hai hệ thống tri thức: 1. Về hiện thực đối tợng; 2. Về nội dung cách thức thực hiện các hành động trí tuệ, đảm bảo việc nắm vững các tri thức khoa học về hiện thực đối tợng đó. Các tri thức loại một đợc phản ánh trong SGK, còn các tri thức loại hai đợc hình thành chủ yếu ở HS bằng con đờng tự phát. ở đó tri thức loại hai là các thủ pháp của học tập nh: tri thức logic (phân tích, so sánh, khái quát hoá, phân loại); tri thức tổ chức hợp lí các quá trình nhận thức khác nhau Lerner I.Ia. còn thêm vào đó hai hệ thống nữa: Kinh nghiệm hoạt động sáng tạo và kinh nghiệm thái độ tình cảm. Các nhà lí luận dạy học P.I. Pitcaxixti,B.I. Côrôtiaiev khẳng định: tơng ứng với hai loại hoạt động nhận thức tái tạo và tìm tòi, sáng tạo của HS thì có hai loại thông tin tái hiện và dự đoán. Thông tin tái hiện là những tri thức HS lĩnh hội ở dạng có sẵn, thông qua việc ghi nhận và tái hiện lại. Thông tin dự đoán là các tri thức học tập đợc HS khôi phục lại bằng cách thiết kế, tìm kiếm và kiểm tra tính đúng đắn của điều dự đoán. Trong khi hoạt động tái hiện chỉ có một phơng án và việc thực hiện nó chính xác luôn dẫn đến kết quả, thì hoạt động tìm tòi sáng tạo lại dựa vào những thông tin ẩn tàng, cha tờng minh. HS kiểm tra dự đoán trên cơ sở tìm kiếm và lựa chọn phơng án có khả năng nhất trong hệ thống kiến thức đã có của mình. Dựa vào kết quả nghiên cứu của P.I. Pitcaxixti, B.I. Côrôtiaiev có hai cách chiếm lĩnh kiến thức: 1. Tái hiện kiến thức: định hớng đến hoạt động tái tạo, đợc xây dựng trên cơ sở HS lĩnh hội các tiêu chuẩn, hình mẫu có sẵn. 2. Tìm kiếm kiến thức: định hớng đến hoạt động cải tạo tích cực, dẫn đến việc phát minh kiến thức và kinh nghiệm hoạt động . Nh vậy, PPDH nào đảm bảo phối hợp giữa cách dạy tái hiện kiến thức và tìm kiếm kiến thức, trong đó tận dụng cơ hội và điều kiện để cách dạy tìm kiếm kiến thức chiếm u thế, đồng thời kết hợp hài hoà với tính sẵn sàng học tập của HS, thì về cơ bản PPDH đó có khả năng tích cực hoá hoạt động học tập của HS 3. Dy luyn tp toỏn cho hc sinh Quá trình dạy học là một quá trình tâm lý. Trong quá trình học tập HS phải cảm giác, tri giác, vận dụng trí nhớ, tình cảm, ý chí Trong những năm gần đây, tâm lý học đã chú ý vào dạy học phát triển: Dạy học đi trớc sự phát triển, điều đó có nghĩa là dạy học phải tiến hành trong điều kiện dự kiến đợc mức độ phát triển của HS cao hơn hiện tại. Quan điểm dạy học đi trớc sự phát triển và kéo theo sự phát triển đợc coi là quan điểm khoa học và cách mạng. 3 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Theo L.X. Vygotski, dạy học phải theo đúng chức năng của nó, phải đi trớc sự phát triển, nó sẽ thúc đẩy, kéo theo sự phát triển đi lên. Mấu chốt của dạy học phát triển là xác định đúng các trình độ phát triển của học sinh: Trình độ phát triển hiện thời và khả năng phát triển gần nhất. Mức độ hiện tại đợc biểu hiện qua quá trình HS độc lập giải quyết nhiệm vụ, không cần sự trợ giúp từ bên ngoài. Còn khả năng phát triển gần nhất đợc thể hiện trong tình huống HS hoàn thành nhiệm vụ khi có sự hợp tác, giúp đỡ của ngời khác. Từ đó ông đa ra nguyên lý dạy học phải tác động vào vùng phát triển gần nhất, có nghĩa là phơng pháp dạy học tuân theo nguyên tắc tôn trọng kinh nghiệm đã có của HS và tăng dần mức độ khó khăn. Nh vậy dạy học không bị động chờ sự phát triển, mà ngợc lại phát triển các chức năng tâm lí. Vấn đề động cơ học tập, hứng thú nhận thức có ý nghĩa rất quan trọng đến hiệu quả của quá trình dạy học. Để đảm bảo thành công của quá trình dạy học, thầy giáo phải đặc biệt chú ý tới mặt tâm lý trong quá trình dạy học. - Dạy học là một quá trình xã hội, trong đó có sự tơng tác giữa ngời và ngời, giữa ng- ời và xã hội. Hiểu đợc tính xã hội của dạy học và ảnh hởng của xã hội đối với nhà trờng sẽ giúp ngời dạy điều khiển đợc quá trình dạy học. Sự giống nhau và khác nhau về yêu cầu xã hội, về sự phát triển nhân cách của từng ngời đòi hỏi một quá trình dạy học thống nhất cùng với biện pháp phân hoá, do vậy trong hoạt động của mình ngời thầy cần quan tâm đến kinh nghiệm sống và điều kiện học tập thực tế của HS để xây dựng kế hoạch và nội dung dạy học thích hợp. Tóm lại, căn cứ vào nhận thức về quá trình dạy học trong giai đoạn hiện nay (quá trình nhận thức, quá trình tâm lý và quá trình xã hội), hệ thống BT cần phải phản ánh tích cực và có chọn lọc các tri thức, phơng pháp, kỹ năng liên quan chặt chẽ đến hoạt động toán học, thúc đẩy các chức năng tâm lý, hứng thú nhận thức và chú ý đến kinh nghiệm sống và điều kiện thực tế của học sinh. Tiến trình giải bài tập toán Giải BTT là thực hiện một loạt các hoạt động liên tục và khá phức tạp vì BTT là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm , quan hệ toán học Vì vậy để giải đc BTT đòi hỏi học sinh nắm chắc các khái niệm, định lý, quy tắc các kiến thức trong mối quan hệ toán học của chơng trình đã học. Theo V.M. Brađixơ BTT có thể xem là đã đợc giải chỉ sau khi đã tìm đc lời giải đảm bảo các điều kiện: Không sai sót, có lập luận khoa học, mang tính toàn diện và tối - u. Theo Polya G. : Giải một BTT chúng ta phải lập đc một lợc đồ xác định mạnh lạc những thao tác (lôgíc, toán học hay thực tiễn) bắt đầu từ giả thiết và kết thúc bằng kết luận, dẫn dắt từ các đối tnng mà ta có trong tay đến đối tợng ta muốn đạt tới. + Polya G. quan niệm giải một BTT là một quá trình tìm kiếm những hoạt động thích hợp để đạt kết quả. Theo ông tiến trình giải một BTT gồm 4 bc: 4 Chuyên đề BDHSG Toán THCS - Hiểu rõ BTT (understanding the problem) - Xây dựng chơng trình giải (devising a plan) - Thực hiện chơng trình giải (carrying out the plan) - Kiểm tra lời giải tìm đc (looking back) Bc 1: Hiểu rõ bài tập toán - Xác định đối tợng và các điều kiện và hệ thống hành động, làm rõ các mối quan hệ ở giả thiết, mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận. Xác định đựợc dạng BTT, xem xét cấu trúc của BTT từ đó suy nghĩ hựớng giải BTT đó. Bớc 2: Xây dựng chơng trình giải - Từ sự phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố của BTT, từ suy nghĩ hựớng giải ở bựớc 1, HS tìm con đựờng cụ thể, khả năng đạt đợc mục đích, định hựớng các hành động tiến tới quá trình giải BTT. - Quá trình này kết hợp giữa logic hình thức (việc vạch ra cấu trúc của kế hoạch) và lôgic biện chứng (chỉ ra tính cụ thể, tính khả thi và phựơng thức thực hiện kế hoạch). Bớc 3: Thực hiện chựơng trình giải - Kế hoạch giải vẫn còn ở ý tựởng, HS phải thực hiện một hệ thống hành động phù hợp với những chi tiết cụ thể của BTT. - Sử dụng các thao tác t duy những lập luận logic để thực hiện kế hoạch. - Có thể giải BTT theo nhiều cách giải khác nhau, tìm ra cách giải tối u. - ở b ớc này thao tác t duy logíc, hoạt động ngôn ngữ đóng vai trò quan trọng. Bớc 4: Khảo sát lời giải tìm đợc - Công việc đợc tiến hành trong suốt quá trình giải BTT, việc kiểm tra nhằm chính xác hoá lời giải (các bớc suy luận, các khâu tính toán ). - Qua khảo sát lời giải còn rút ra đợc kinh nghiệm cho HS, giải bài BTT là phơng tiện học tập. Từ khảo sát lời giải HS có thể hợp thức hoá BTT thành tri thức và kinh nghiệm của bản thân. * Giải bài tập toán theo định hớng angôrit và ơristic Các angôrit tồn tại dới nhiều hình thức biểu diễn khác nhau, ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phơng trình, lập trình , angôrit (thuật toán, thuật giải) là một bản quy định những thao tác cần thực hiện để giải một BTT . Thuật toán đợc hiểu nh một quy tắc mà từ những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để ngời (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đợc mục đích đặt ra hay giải một lớp BTT nhất định. R. Đề Các đã nghĩ đến một phơng pháp toàn năng để giải mọi bài tập, Leibnis thì đa ra ý niệm rõ ràng về một phơng pháp toàn mỹ để giải toán. Polya G. đã rất đề cao việc hình thành và phát triển năng lực sáng tạo qua giải bài tập toán nhng ông đã khẳng định Tìm 5 Chuyên đề BDHSG Toán THCS kiếm một phơng pháp toàn năng và toàn mỹ chẳng mang lại kết quả gì hơn đi tìm một viên đá thần kỳ, để có thể biến mọi kim loại thành vàng . Nh vậy không thể có phơng pháp để giải tất cả các BTT, ngoài những dạng toán có thể dùng phơng pháp theo định h- ớng angôrit còn phải sử dụng phơng pháp ơristic. Thuật ngữ ơristic có nguồn gốc Hy Lạp là ơrêca đợc hiểu là sự tìm tòi, tìm đoán, sáng tạo Ơristic đợc hiểu là tổng thể nói chung các quy tắc phơng pháp khái quát từ kinh nghiệm quá khứ đợc dùng trong quá trình nghiên cứu phát hiện, sáng tạo ra cái mới. Giải toán theo định hớng Ơristíc mang tính chất tìm đoán thờng dùng để giải những BTT mang tính chất là một vấn đề, tìm hiểu và phát hiện ra vấn đề, tìm cách giải quyết vấn đề đó là hoạt động toán học cần thiết. Cỏch thc hc phng phỏp tỡm li gii bi toỏn Hc phng phỏp tỡm li gii khụng phi l hc mt thut gii m hc nhng kinh nghim gii toỏn mang tớnh cht tỡm tũi, phỏt hin. Do ú cỏch thc hc phng phỏp tỡm li gii bi toỏn yờu cu: - Thụng qua vic gii nhng bi toỏn c th, hc sinh cn nm c cỏc bc tỡm li gii bi toỏn v cú ý thc vn dng cỏc bc ú trong quỏ trỡnh gii toỏn. - Cng thụng qua vic gii nhng bi toỏn c th, giỏo viờn cn t ra cho hc sinh nhng cõu hi gi ý, to tỡnh hung cỏc em tỡm tũi, d oỏn, phỏt hin v cui cựng tỡm ra li gii bi toỏn. Nh vy, quỏ trỡnh hc sinh hc phng phỏp tỡm li gii bi toỏn l mt quỏ trỡnh bin nhng tri thc, phng phỏp tng quỏt thnh kinh nghim gii toỏn ca bn thõn mỡnh thụng qua vic gii hng lot bi toỏn c th. do ú ũi hi ngi gii toỏn phi cú mt chng ng lao ng tớch cc, cú nhiu yu t sỏng to. Có ý kiến cho rằng dạy luyện tập toán giống nh luyện tập quân sự; đối với đối tợng học sinh khá, giỏi thầy chỉ hớng dẫn các thao tác và HS tự mình làm đợc; đối với học sinh trung bình thầy làm mẫu các động tác và học sinh làm theo đợc; đối với HS yếu thầy giáo phải cho HS làm từng động tác theo mình cho đến lúc HS tự làm đợc mà không có thầy làm mẫu ở phía trớc. Qua thực tế dạy học và công tác quản lý dạy và học, chúng tôi đa ra một số định h- ớng cho tiết dạy luyện tập hình học nh sau: + Phân loại các bài tập ở SGK, SBT (BTT cũng cố kiến thức của bài học, BTT ôn kiến thức của bài học trớc, BT bổ sung lý thuyết, BT khắc sâu kiến thức). + Căn cứ vào đối tợng HS của lớp giáo viên giảng dạy để lựa chọn một trong các ý t- ởng : - Với đối tợng học sinh của lớp là học sinh học trung bình và yếu môn toán: 6 Chuyên đề BDHSG Toán THCS . Thờng dùng các BTT ôn tập kiến thức để kiểm tra nhanh đầu tiết luyện tập (những bài cha đợc sử dụng sau phần học lý thuyết). . Hớng dẫn học sinh giải các BTT bổ sung lý thuyết và BTT khắc sâu kiến thức (các BT ở SGK và SBT đợc lựa chọn), qua việc sử dụng các BTT đó, giúp học sinh tìm đợc quy trình hoặc định hớng giải các BTT cùng dạng. - Với đối tợng là học sinh trung bình và trung bình khá: .Cơ bản học sinh đã giải đợc các BTT thầy giáo ra về nhà chuẩn bị nên nếu đến lớp trong tiết dạy luyện tập thầy giáo hớng dẫn giải các BTT đó sẽ không tạo ra đợc sự mới mẽ, dẫn đến HS không hứng thú trong học tập. Trong trờng hợp này giáo viên chọn một BTT tơng tự và thêm các câu hỏi nhằm xâu chuỗi các BTT, HS đã đợc chuẩn bị. Thực tế cho thấy HS hứng thú trong học tập và tiết dạy thành công hơn nhiều. - Đối tợng là học sinh khá, giỏi: .Thầy giáo chỉ kiểm tra nhanh các BTT có tính chất cũng cố kiến thức. Dùng BT điển hình luyện tập với các định hớng khác nhau nhằm tạo ra nhiều cách giải (nếu có thể), từ BTT đã có tạo ra BTT mới bằng các hoạt động tơng tự, tơng tự hoá, khái quát hoá, lật ngợc vấn đề tạo thành một số BTT nhằm phát triển t duy sáng tạo cho HS. Ly mt s vớ d v dy luyn tp hỡnh hc cho hc sinh gii. Rèn luyện hoạt động toán học cho học sinh khá, giỏi Theo Nguyễn Bá Kim dạy học phân hoá xuất phát từ sự biện chứng của thống nhất và phân hoá, từ yêu cầu thực hiện tốt các mục tiêu dạy học đối với tất cả mọi học sinh, đồng thời phát triển tối đa và tối u những khả năng cá nhân. Việc kết hợp giữa giáo dục đại trà và giáo dục mũi nhọn giữa phổ cập với nâng cao trong dạy học toán phổ thông cần tiến hành theo các t tng chủ đạo sau: - Lấy trình độ phát triển chung của HS trong lớp làm nền tảng - Sử dụng biện pháp phân hoá đa diện học sinh yếu kém lên trình độ chung - Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hoá giúp học sinh khá giỏi đạt đợc những yêu cầu nâng cao trên cơ sở đạt đợc những yêu cầu cơ bản. Chúng ta quan tâm đến ý tởng thứ ba: Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hoá giúp học sinh khá, giỏi đạt đc những yêu cầu nâng cao trên cơ sở đạt đc những yêu cầu cơ bản Với cách dạy học phân hoá nh đã nêu là phân hoá nội tại (phân hoá trong) trong một lớp học. Thực tế dạy học ở các trờng THCS đang còn phổ biến phân hoá ngoài, nghĩa là có những lớp trình độ HS khá hơn, trong những năm gần đây các trờng chuyên, lớp chọn ở THCS không tồn tại nữa, nhng với tính chất giáo dục có tính đại chúng và phổ cập nh hiện nay thì việc phân hoá ngoài vẫn là phổ biến (vì thuận lợi hơn trong quá trình dạy học, ở bậc THPT phân ban cũng là hình thức phân hoá ngoài). 7 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Căn cứ vào các hoạt động toán học liên quan mật thiết đến nội dung môn toán ở tr- ờng phổ thông là: Nhận dạng và thể hiện; những hoạt động toán học phức hợp; những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học; những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ, từ đó trong quá trình dạy học giáo viên trong mọi tình huống dù tờng minh hay ẩn tàng cũng đều có ý tởng góp phần rèn luyện hoạt động toán học cho học sinh. b.Các chuyên đề bồi d ỡng hsg toán thcs Chuyên đề 1: Phần I: Số chính phơng I- Định nghĩa: Số chính phơng là số bằng bình phơng đúng của một số nguyên. II- tính chất: 1- Số chính phơng chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 8 Chuyên đề BDHSG Toán THCS 3- Số chính phơng chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính ph- ơng nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N). 4- Số chính phơng chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính ph- ơng nào có dạng 3n + 2 ( n N ). 5- Số chính phơng tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phơng tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2. Số chính phơng tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6- Số chính phơng chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phơng chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số chính phơng chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Số chính phơng chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. III- Một số dạng bài tập về số chính ph ơng. A- Dạng 1: chứng minh một số là số chính phơng. Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4 y là số chính phơng. Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4 y = ( 2 2 2 2 4 5 4 )( 5 6 )x xy y x xy y y + + + + + Đặt 2 2 5 5 ( )x xy y t t Z + + = thì A = ( 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2 )( ) ( 5 5 )t y t y y t y y t x xy y + + = + = = + + Vì x, y, z Z nên 2 2 2 2 , 5 , 5 5 5x Z xy Z y Z x xy y Z + + Vậy A là số chính phơng. Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phơng. Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n Z). Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 = ( 2 2 3 )( 3 2) 1 (*)n n n n + + + + Đặt 2 3 ( )n n t t N+ = thì (*) = t(t + 2) + 1 = t 2 + 2t + 1 = (t + 1) 2 = (n 2 + 3n + 1) 2 Vì n N nên n 2 + 3n + 1 N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phơng. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phơng. Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1 4 k (k + 1)(k + 2). 4= 1 4 k(k + 1)(k + 2). [ ] ( 3) ( 1)k k+ = 1 4 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1 4 k(k + 1)(k + 2)(k - 1) => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phơng. Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; . . . - Dãy số trên đợc xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trớc và đứng sau nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phơng. Ta có 44 488 89 = 44 488 8 + 1 = 44 4 . 10 n + 8 . 11 1 + 1 n chữ số 4 n - 1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1 9 Chuyên đề BDHSG Toán THCS = 4. 10 1 10 1 .10 8. 1 9 9 n n n + + = 2 2 4.10 4.10 8.10 8 9 4.10 4.10 1 9 9 n n n n n + + + + = = 2 2.10 1 3 n + ữ Ta thấy 2.10 n + 1 = 200 01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n - 1 chữ số 0 => 2 2.10 1 3 n + ữ Z hay các số có dạng 44 488 89 là số chính phơng. Các bài t ơng tự: Chứng minh rằng số sau đây là số chính phơng. A = 11 1 + 44 4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 D = 22499 . . .9100 . . . 09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 E = 11 . . .155 . . . 56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 Kết quả: A= 2 2 2 10 2 10 8 2.10 7 ; ; 3 3 3 n n n B C + + + = = ữ ữ ữ D = (15.10 n - 3) 2 E = 2 3 210 + n Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phơng của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phơng. Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n N, n >2). Ta có (n - 2) 2 + ( n - 1) 2 + n 2 + (n + 1) 2 + (n + 2) 2 = 5 . (n 2 + 2) Vì n 2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n 2 + 2 không thể chia hết cho 5 => 5. (n 2 + 2) không là số chính phơng hay A không là số chính phơng. Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n 6 - n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phơng. n 6 - n 4 + 2n 3 + 2n 2 = n 2 . (n 4 - n 2 + 2n +2) = n 2 . [n 2 (n-1)(n+1) +2(n+1)] = n 2 [(n+1)(n 3 - n 2 + 2)] = n 2 (n + 1) . [(n 3 + 1) - (n 2 - 1)] = n 2 (n + 1) 2 . (n 2 - 2n + 2) Với n N, n > 1 thì n 2 - 2n + 2 = ( n -1) 2 + 1 > ( n - 1) 2 Và n 2 - 2n + 2 = n 2 - 2(n - 1) < n 2 Vậy (n - 1) 2 < n 2 - 2n + 2 < n 2 => n 2 - 2n + 2 không phải là một số chính phơng. Bài 7: Cho 5 số chính phơng bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phơng đó là một số chính phơng. Ta biết một số chính phơng có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phơng đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 2 là số chính phơng. 10 [...]...Chuyên đề BDHSG Toán THCS Bài 8: Chứng minh rằng tổng bình phơng của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phơng a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1... - n - 1) = 11.1 k + n + 1 = 11 k=6 k-n1=1 n=4 2 (n N) n2 + 3n = a2 2 + 12n = 4a2 4n b) đặt n(n + 3) = a (4n2 + 12n + 9) 9 = 4a2 (2n + 3)2 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a) = 9 11 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 2a và chúng là những số nguyên dơng, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n=1 2n + 3 2a = 1 a=2 2 (y N) 2 16 13(n -... 1 đều là các số chính phơng Ta có 10 n 99 nên 21 2n + 1 199 Tìm số chính phơng lẻ trong khoảng trên ta đợc 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tơng ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84 12 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phơng Vậy n = 40 Bài 6: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phơng thì n là bội số... 100 Suy ra : 101 cd = k2 100 = (k 10)(k + 10) k + 10 101 hoặc k 10 101 Mà (k 10; 101) = 1 k + 10 101 Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 13 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Bài 3: Tìm số chính phơng có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau Gọi số chính phơng phải tìm là: aabb = n2 với a, b N, 1 a 9; 0 b 9 Ta có: n2 = aabb... Tìm số chính phơng ban đầu (Kết quả: 1156) Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phơng của số ấy bằng lập phơng của tổng các chữ số của nó Gọi số phải tìm là ab với a, b N, 1 a 9; 0 b 9 14 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3 (10a +b)2 = (a + b)3 ab là một lập phơng và a + b là một số chính phơng Đặt ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 N) Vì 10 ab 99 ab = 27 hoặc ab = 64 Nếu... Phơng pháp tổng quát: Ta có: 2x + 3y = 11 x= 11 3 y y 1 =5 y 2 2 Để phơng trình có nghiệm nguyên Đặt y 1 = tZ 2 y 1 nguyên 2 y = 2t + 1 x = -3t + 4 Cách 2 : Dùng tính chất chia hết 15 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Vì 11 lẻ 2x + 3y luôn là số lẻ mà 2x luôn là số chẵn 3y lẻ y lẻ Do đó : y = 2t + 1 với t Z x = -3t + 4 Cách 3 : Ta nhân thấy phơng trình có một cặp nghiệm nguyên đặc biệt là x0 = 4 ;... 1 : Ta có : 6 (x - 4) = 5 (10 - y ) (2) Từ (2) 6(x2 - 4) 5 và (6 ; 5) = 1 x2 - 4 5 x2 = 5t + 4 với t N Thay x2 - 4 = 5t vào (2) ta có : y2 = 10 6t Vì x2 > 0 và y2 > 0 5t + 4 > 0 16 Chuyên đề BDHSG Toán THCS 10 - 6t > 0 4 5 < t < với 5 3 tN t = 0 hoặc t = 1 Với t = 0 y2 = 10 (loại) 2 Với t = 1 x =9 x = 3 y =4 y = 2 Vậy các cặp nghiệm nguyên là : Cách 2 : Từ (1) ta có x2 + 1 5 x2 =... 8t3 = 2(2k3 - z3) 4t3 = 2k3 - z3 z3 = 2k3 - 4t3 z chẵn z = 2m 8m3 = 2(k3 - 2t3) k chẵn Phơng pháp 4 : Phơng pháp sử dụng tính chất của số chính phơng VD1 : Tìm nghiệm nguyên của 17 Chuyên đề BDHSG Toán THCS a) x2 - 4xy + 5y2 = 169 b) x2 - 6xy + 13y2 = 100 Giải : a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = 0 + 169 = 25 + 144 b) (x 3y)2 + (2y)2 = 100 = 0 + 100 = 36 + 64 = Phơng pháp 5 : Phơng pháp công thức... a+b+c a+b+c ; y= ; z= a b c 1 b 1 a 1 c = ; ; = = y a+b+c x a+b+c z a+b+c 1 1 1 + + = 1 mà x y z > 2 x y z Suy ra: x = 1 1 1 1 1 3 1 1 và nên + + z y x y z z z x 3 1 z3 z=3 z 18 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Tơng tự ta có: x = 3; y = 3 tam giác đó là tam giác đều b) Tìm tất cả các hình chữ nhật với độ dài các cạnh là các số nguyên dơng có thể cắt thành 13 hình vuông bằng nhau sao cho mỗi cạnh... thức 4 Xét khoảng II áp dụng các phơng pháp A Phng phỏp lu tha kh cn 1 Giải các phơng trình a) x 1 + 2 x 3 = 2(1) Điều kiện: Với x 3 x 2 3 PT (1) 2 x 1 + 2x 3 + 2 2 x 2 5x + 3 = 4 19 Chuyên đề BDHSG Toán THCS 2 2 x 2 5 x + 3 = 8 3x 4( 2 x 2 5 x + 3) = 64 + 9 x 2 48 x(2) 8 x 3 PT (2) x 2 28 x + 52 = 0 x = 2(tm) x = 26( Kotm) Vậy PT đã cho có nghiệm x=2 b) 3( x 2 x + 1) = ( x + x . ông tiến trình giải một BTT gồm 4 bc: 4 Chuyên đề BDHSG Toán THCS - Hiểu rõ BTT (understanding the problem) - Xây dựng chơng trình giải (devising a plan) - Thực hiện chơng trình giải (carrying. HS. GS.TSKH Nguyễn Bá Kim chỉ rõ 4 yêu cầu để tích cực hoá hoạt động học tập của HS: 1 Chuyên đề BDHSG Toán THCS - Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, đảm bảo tính tự giác, tích cực sáng tạo của. qua khoa học giáo dục Phơng pháp dạy học là phơng tiện để đạt mục đích dạy học . 2 Chuyên đề BDHSG Toán THCS Trong những năm gần đây t tởng dạy học chủ đạo đợc phát biểu dới nhiều hình thức khác