Bài soạn CHUYÊN DỀ DIỂM CỐ ĐỊNH HSG 9

Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- CHUYÊN ĐỀ 8:CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH Những kiến thức cơ bản: Một điểm được coi là cố đinh nếu điểm đó: - Là giao của hai đường cố định. - Nằm trên một đường cố định cách một điểm cho trước một khoảng không đổi Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O. Gợi ý: Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta có . . . AP= AM AN AP AO AM AN AO = ⇒ không đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định. Ví dụ 2 : (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định. Gợi ý: Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của (O; OE). Ta chứng minh được 2 2 AB AP.AQ=AE = 4 không đổi. Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB. Khi đó ta có: . . . AI= AP AQ AP AQ AI AB AB = ⇒ không đổi. Suy ra I là điểm cố định. Ví dụ 3: (HSG Q. Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tuyến ABC (B, C thuộc (O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định. Gợi ý: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE. Ví dụ 4: Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d không cắt đường tròn. I là điểm di động trên d. Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M và N. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P. Ta dễ dàng chứng minh được AO. AP = AM. AN. Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường tròn tại D và E. Ta chứng minh được 2 2 . . ( ).( )AM AN AD AE OD OA OE OA R OA= = + − = − . Khi đó AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định. Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định. b) Đường tròn đường kính OI cắt (d) tại H. Khi đó ta có . Suy ra H cố định. Ta có (O) và đường tròn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung trực của MN và . Gọi K là giao điểm của MN và OI. Khi đó tam giác IOM vuông tại M có MK là đường cao nên: MN cắt OH tại Q. Ta có không đổi. Q thuộc tia OH và OQ không đổi nên Q là điểm cố định. Vậy MN luôn qua điểm Q cố định. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 5: Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. M là điểm tuỳ ý trên cung AB. K là trung điểm của MB Chứng minh rằng đường thẳng qua K vuông góc với đường thẳng MA luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải Bài tập Bài 1: Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một điểm P thay đổi trên (O) ( P khác A, P khác B). Các đường tăhng PA, PB cắt (O’) theo thứ tự tại C, . Gọi M là trung điểm của CE Chứng minh PM luôn đi qua một điểm cố định. x M C E B A O O' P Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn. AB là đường kính thay đổi. SA, SB cắt (O) tại C và D. a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A và B. CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm). Chứng minh rằng: a) P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định. b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định. CHUYÊN ĐỀ 2 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK ĐẾN CÁC BÀI TOÁN THI HSG Trong SGK hình học lớp 9 có bài toán sau đây: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán 1: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD Gợi ý: Chứng minh bài toán này không khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm ngoài và nằm trong đường tròn (O). Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác MAC và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy ra kết quả cần chứng minh. Qua bài toán này ta có thể chứng minh bài toán sau: Bài toán 2: Nếu M không nằm trên đường tròn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại A và B. Khi đó tích MA. MB không đổi và bằng Gợi ý: Chứng minh bài toán 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D. Sau đó chứng minh tương tự bài toán 1 ta được kết quả. Bài toán 2 cho ta một ý tưởng để giải các bài toán về họ đường tròn đi qua một điểm cố định. Ta cùng xét các bài toán sau: Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 - 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O. Gợi ý: Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta có không đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định. Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định. Gợi ý: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của (O; OE). Ta chứng minh được không đổi. Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB. Khi đó ta có: không đổi. Suy ra I là điểm cố định. Bài toán 5: (HSG Q. Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tuyến ABC (B, C thuộc (O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định. Gợi ý: Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE. Bài tập Bài 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O). M là một điểm thay đổi trên d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định. Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn. AB là đường kính thay đổi. SA, SB cắt (O) tại C và D. a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A và B. CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm). Chứng minh rằng: a) P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định. b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập làm thêm Bài 1: Chứng minh lại các hệ quả đã nêu ở phần 1. Tìm các cách chứng minh khác. Bài 2: Cho tam giác ABC có . Đường cao BH và CK. Chứng minh rằng . Bài 3: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho: AB = 3AM, AC = 3CN. BN và CM cắt nhau tại O, AO cắt BC tại P.Tính Bài 4: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh rằng: (Định lí Ceva). Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BC = a. AD, BE và CF là các đường phân giác trong. a) Tính BD, CD theo a, b, c. b) Tính diện tích tam giác DEF theo a, b, c và diện tích tam giác ABC. c) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC lớn hơn 4 lần diện tích tam giác DEF. d) Phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát. Bài 6: Cho tam giác ABC, G là một điểm nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của G trên BC, AC và AB. Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm M, N, P sao cho . Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác MNP. Bài 7: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. M là một điểm nằm trong tam giác. GM cắt các đường thẳng AB, AC và BC tại D, E, F. Chứng minh rằng: Bài 8: Cho hình vuông ABCD có AB = 6cm. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 2CM. Đường thẳng qua B vuông góc với DM tại H cắt CD tại K. Tính diện tích tam giác CKH. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh . đường tròn cố định. b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định. CHUYÊN ĐỀ 2 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK ĐẾN CÁC BÀI TOÁN THI HSG Trong SGK. tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định. Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung cố định và E là trung