Giải hệ bằng phép thế

Giải hệ bằng phép thế

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ Bài 173: Giải hệ phương trình: ( )()2cosx 1 0 13sin 2x 22−=⎧⎪⎨=⎪⎩ Ta có: ()11cosx2⇔ = ()xk2k3π⇔=±+ π∈Z Với xk32π=+ π thay vào (2), ta được 23sin 2x sin k432π⎛⎞=+π=⎜⎟⎝⎠ Với x3π=− + πk2 thay vào (2), ta được 23sin 2x sin k432π⎛⎞=−+π=−≠⎜⎟⎝⎠32 (loại) Do đó nghiệm của hệ là: 2,3π= +π∈xkk Bài 174: Giải hệ phương trình: sin x sin y 1xy3+ =⎧⎪π⎨+=⎪⎩ Cách 1: Hệ đã cho xy xy2sin .cos 122xy3+−⎧=⎪⎪⇔⎨π⎪+=⎪⎩ π−−⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨ππ⎪⎪+=+=⎪⎪⎩⎩xyxy2.sin .cos 1cos 1622xyxy33 42233−⎧−= π=π⎧⎪⎪⎪⇔⇔π⎨⎨π+=⎪⎪+=⎩⎪⎩xyx ykkxyxy()2626π⎧=+ π⎪⎪⇔∈⎨π⎪=−π⎪⎩xkkZyk Cách 2: Hệ đã cho 3331sin sin 1cos sin 132233sin 123322626ππ⎧⎧=−=−⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨π⎛⎞⎪⎪+−=+ =⎜⎟⎪⎪⎝⎠⎩⎩π⎧π⎧=−=−⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨πππ⎛⎞⎪⎪+=+ =+ π⎜⎟⎪⎪⎩⎝⎠⎩π⎧=+ π⎪⎪⇔∈⎨π⎪=− π⎪⎩yxyxxxx xyxyxxx kxkkyk Bài 175: Giải hệ phương trình: sin x sin y 2 (1)cos x cos y 2 (2)⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ Cách 1: Hệ đã cho xy xy2sin cos 2 (1)22xy xy2cos cos 2 (2)22+−⎧=⎪⎪⇔⎨+−⎪=⎪⎩ Lấy (1) chia cho (2) ta được: +⎛⎞=⎜⎟⎝⎠xy xytg 1 ( do cos 022−= không là nghiệm của (1) và (2) ) 242222+π⇔=+πππ⇔+=+ π⇔=−+ πxykx ykyxk thay vào (1) ta được: sin x sin x k2 22π⎛⎞+−+π=⎜⎟⎝⎠ sin x cos x 2⇔+= 2 cos 242,4π⎛⎞⇔−⎜⎟⎝⎠π⇔− = π∈=xxhh Do đó: hệ đã cho ()2,42,,4π⎧=+ π∈⎪⎪⇔⎨π⎪= +− π ∈⎪⎩xhhykhkh Cách 2: Ta có A BACBCD ACBD=+=⎧⎧⇔⎨⎨=−=⎩⎩D+− Hệ đã cho ( ) ( )()()⎧− + − =⎪⇔⎨++−=⎪⎩⎧π π⎛⎞ ⎛⎞−+ −=⎜⎟ ⎜⎟⎪⎪⎝⎠ ⎝⎠⇔⎨ππ⎛⎞ ⎛⎞⎪++ +=⎜⎟ ⎜⎟⎪⎝⎠ ⎝⎠⎩sin x cos x sin y cos y 0sin x cos x sin y cos y 2 22sin x 2sin y 0442sin x 2sin y 2 244sin sin 044sin sin 044sin 14sin sin 244sin 14242242sin sin 044xyxyxxyyxkyhxy⎧π π⎛⎞⎛⎞− +−=⎜⎟⎜⎟⎪⎧π π⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎪−+ −=⎜⎟⎜⎟⎪⎪π⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛⎞⇔⇔+=⎨⎨⎜⎟ππ⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎪⎪++ +=⎜⎟⎜⎟⎪⎪π⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎩+=⎪⎜⎟⎝⎠⎩⎧ππ+=+π⎪⎪ππ⎪⇔+=+π⎨⎪⎪ππ⎛⎞⎛⎞−+ −=⎜⎟⎜⎟⎪⎝⎠⎝⎠⎩ π⎧=+ π⎪⎪⇔⎨π⎪=+ π ∈⎪⎩xk24yh2,h,k4Z Bài 176: Giải hệ phương trình: −− =⎧⎪⎨+=−⎪⎩tgx tgy tgxtgy 1 (1)cos2y 3cos2x 1 (2) Ta có: tgx tgy 1 tgxtgy− =+ ()21tgxtgy 0tg x y 1tgx tgy 01tgxtgy 01tgx 0(VN)⎧+=−=⎧⎪⎪⇔∨−=⎨⎨+≠⎪⎩⎪+=⎩ (xy k kZ4π⇔−=+π ∈), với x, y k2π≠ +π xy k4π⇔=++π, với x, y k2π≠ +π Thay vào (2) ta được: cos2y 3 cos 2y k2 12π⎛⎞+ ++ π=−⎜⎟⎝⎠ cos 2 3 s 2 131 1s2 cos2 sin2222 6yinyin y y y⇔− =−π⎛⎞⇔−=⇔−⎜⎟⎝⎠12= ()5222 266 6 6y h hay y h h Zππ π π⇔−=+π −=+π ∈ ,,62(lọai)yhhhayyhhππ⇔=+π ∈ =+π ∈ Do đó: Hệ đã cho ()()56,6xkhhk Zyhπ⎧=++π⎪⎪⇔∈⎨π⎪=+π⎪⎩ Bài 177: Giải hệ phương trình 33cos x cos x sin y 0 (1)sin x sin y cos x 0 (2)⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩ Lấy (1) + (2) ta được: 33sin x cos x 0+ = 333sin x cos xtg x 1tgx 1xk(k4⇔=−⇔=−⇔=−π⇔=−+π∈Z) Thay vào (1) ta được: ( )32sin y cos x cos x cos x 1 cos x=− = − ==21cos x.sin x sin 2x sin x2 ππ⎛⎞⎛=− −+⎜⎟⎜⎝⎠⎝1sin sin k22 4⎞π⎟⎠ π⎛⎞=− − + π⎜⎟⎝⎠1sin k24 ⎧⎪⎪=⎨⎪−⎪⎩2(nếu k chẵn)42(nếu k lẻ)4 Đặt 2sin4α= (với 02< α< π) Vậy nghiệm hệ ()ππ⎧⎧=− + π ∈ =− + + π ∈⎪⎪⎪⎪∨⎨⎨=α+ π ∈ =−α+ π ∈⎡⎡⎪⎪⎢⎢⎪⎪=π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈⎣⎣⎩⎩ x2m,m x 2m1,m44yh2,h y 2h,hyh2,hyh2,h II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG Bài 178: Giải hệ phương trình: ()()1sin x.cos y 12tgx.cotgy 1 2⎧=−⎪⎨⎪=⎩ Điều kiện: cos x.sin y 0≠ Cách 1: Hệ đã cho () ()11sin x y sin x y22sin x.cos y10cos x.sin y⎧+ +−=⎡⎤⎣⎦⎪⎪⇔⎨⎪−=⎪⎩− () ( )() ()()+ +−=⎧⎪⇔⎨−=⎪⎩−+ +−=⎧⎪⇔⎨−=⎪⎩sin x y sin x y 1sin x cos y sin y cos x 0sin x y sin x y 1sin x y 0− ( )()+=−⎧⎪⇔⎨−=⎪⎩π⎧+=−+ π ∈⎪⇔⎨⎪−=π ∈⎩sin x y 1sin x y 0xy k2,k2xy h,h ()()ππ⎧=− + + ∈⎪⎪⇔⎨ππ⎪=− + − ∈⎪⎩≠x2kh,k,h42y2kh,k,h42(nhận do sin y cos x 0) Cách 2: ()sin x cos y21cos xsin y⇔ = ⇔ =sin x cos y cos x sin y () ( )()()() ()(() ()(1sin cos 321cos sin 42sin 1 3 4sin 0 3 4Thế 1 vào 2 ta được:xyxyxyxy⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩+=− +⎧⎪⇔⎨−= −⎪⎩)) 2,2,xy k kxyhhπ⎧+ =− + π ∈⎪⇔⎨⎪−=π∈⎩ ()()()242,242xkhhk Zykhππ⎧=− + +⎪⎪⇔∈⎨ππ⎪=− + −⎪⎩ III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ Bài 179: Giải hệ phương trình: ()()231323cotg cotg 23tgx tgyxy⎧+=⎪⎪⎨−⎪+=⎪⎩ Đặt ==X tgx, Y tgy Hệ đã cho thành: 23 23XY XY331 1 23 Y X 23X Y3 YX⎧⎧+= +=⎪⎪⎪⎪⇔⎨⎨+⎪⎪+=− =−⎪⎪⎩⎩3 223XY23XY3323XY 1X X103X3 3X33YY33⎧⎧+=⎪+=⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪=−− −=⎩⎪⎩⎧⎧==−⎪⎪⇔∨⎨⎨=−⎪⎪=⎩⎩ Do đó: Hệ đã cho : tgx 3 3tgx33tgytgy 33⎧⎧==−⎪⎪⇔∨⎨⎨=−⎪⎪=⎩⎩ ,,36,,63ππ⎧⎧=+π∈ =−+π∈⎪⎪⎪⎪⇔∨⎨⎨ππ⎪⎪=− +π ∈ = +π ∈⎪⎪⎩⎩xkk x kkyhhyhh Bài 180: Cho hệ phương trình: 1sin x sin y2cos 2x cos 2y m⎧+=⎪⎨⎪+ =⎩ a/ Giải hệ phương trình khi 1m2= − b/ Tìm m để hệ có nghiệm. Hệ đã cho ()()221sin x sin y212sinx 12siny m⎧+=⎪⇔⎨⎪−+−⎩= ()⎧+=⎪⎪⇔⎨−⎪+=⎪⎩⎧+=⎪⎪⇔⎨⎪+− =−⎪⎩2221sin x sin y22msin x sin y21sin x sin y2msin x sin y 2sin x sin y 12 ⎧+=⎪⎪⇔⎨⎪−=⎪⎩1sin x sin y21m2sinxsiny 142− ⎧+=⎪⎪⇔⎨⎪=− +⎪⎩1sin x sin y23msin x sin y84 Đặt X sin x, Y sin y với X , Y 1== ≤ thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình ()21m3tt 0248−+−=* a/ ()=−1Khi m thì * thành :2 −−=⇔−−=⇔=∨=−2211tt 0222t t 1 01t1t2 Vậy hệ đã cho sin x 1 1sin x21sin ysin y 12=⎧⎧= −⎪⎪⇔∨⎨⎨=−⎪⎪=⎩⎩ 2, (1) ,26(1) ,2,62ππ⎧⎧=+ π∈ =−− +π∈⎪⎪⎪⎪⇔∨⎨⎨ππ⎪⎪=−− + π ∈=+ π∈⎪⎪⎩⎩ hhxkk x hhyhhykk b/ Ta có : ()2m1*t42⇔=−++3t8 Xét ()[]213yt t CtrênD 1,128=− + + = − thì: 1y' 2t2=− + 1y' 0 t4=⇔= Hệ đã cho có nghiệm ( )[ ]* có 2 nghiệm trên -1,1⇔ ()mdy4⇔= cắt (C) tại 2 điểm hoặc tiếp xúc [ ]trên -1,1 ⇔− ≤ ≤⇔− ≤ ≤1m 7841617m24 Cách khác 2() 8 4 3 2 0⇔=−−+=ycbt f t t t mcó 2 nghiệm t1 , t2 thỏa 1211⇔− ≤ ≤ ≤tt /28 16 0(1) 1 2 0(1) 9 2 011124⎧Δ= − ≥⎪=+ ≥⎪⎪⇔⎨−=+ ≥⎪⎪−≤ = ≤⎪⎩maf maf mS1724⇔− ≤ ≤m Bài 181: Cho hệ phương trình: 22sin x mtgy mtg y m sin x m⎧+=⎪⎨+ =⎪⎩ a/ Giải hệ khi m = -4 b/ Với giá trò nào của m thì hệ có nghiệm. Đặt X sin x= với X 1≤ Ytgy=Hệ thành: ( )()22X mY m 1YmXm 2⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ Lấy (1) – (2) ta được: ( )22X YmYX0− +−= ()( )X YX Ym 0X YYmX⇔− +−=⇔=∨=− Hệ thành ()22=−=⎧⎧⎪⎨⎨+ −=+=⎪⎩⎩YmXXYhayX mm X mXmXm () ( )222X YYmXX mX m 0 * X mX m m 0 * *==−⎧⎧⎪⎪⇔∨⎨⎨+−= −+−=⎪⎪⎩⎩ a/Khi m = -4 ta được hệ ()()22Y4XXYX 4X 20 0 vô nghiệmX4X40X2loạidoX1Y2=− −=⎧⎧⎪∨⎨⎨++=−+=⎪⎩⎩⎧=≤⎪⇔⎨=⎪⎩ Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi m = 4. b/ Ta có (*) 2X mX m 0 với X 1⇔+ −= ≤ ()()22Xm1XXm do m không là nghiệm của *1X⇔= −⇔=− Xét [)()222X X2XZtrên1,1Z'1X1X−+=−⇒=−−; Z' 0 X 0 X 2=⇔ =∨ = Do đó hệ ()2XYX1X mX m 0⎧=≤⎪⎨+−=⎪⎩có nghiệm m0⇔ ≥ Xét (**): 22X mX m m 0−+−= Ta có ()22 2m4mm 3m4mΔ= − − =− + 400m3Δ≥ ⇔ ≤ ≤ Kết luận: Khi m thì (I) có nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm 0≥  Khi < thì (I) vô nghiệm mà (**) cùng vô nghiệm m0 Δ(do < 0) nên hệ đã cho vô nghiệm Do đó: Hệ có nghiệm m0⇔ ≥ Cách khác Hệ có nghiệm (*)hay ⇔=+−=2f(X) X mX m 0 (**) có nghiệm trên [-1,1] =− + −=22g(X) X mX m m 0 (1) (1) 0ff⇔− ≤2140(1) 0(1) 01122mmafhayafmS⎧Δ= + ≥⎪≥⎪⎪⎨−≥⎪−⎪−≤ = ≤⎪⎩ hay(1)(1) 0gg−≤222234(1) 1 0(1) ( 1) 01122mmag mhayag mSm⎧Δ=− + ≥⎪0− =+≥⎪⎪⎨= −≥⎪⎪−≤ = ≤⎪⎩ 12 0m⇔− ≤214012 022mmhay mm⎧Δ= + ≥⎪−≥⎨⎪−≤ ≤⎩hay m = 1 hay ≤ ≤40m3 m0⇔≥ [...]... 4 2 sin 1 3 4 sin 0 3 4 Thế 1 vào 2 ta được: xy xy xy xy ⎧ =− ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ +=− +⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −= − ⎪ ⎩ ) ) 2, 2 , xy k k xyhh π ⎧ + =− + π ∈ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −=π∈ ⎩   () () () 2 42 , 2 42 xkh hk Z ykh ππ ⎧ =− + + ⎪ ⎪ ⇔∈ ⎨ ππ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ Bài 179: Giải hệ phương trình: () () 23 1 3 23 cotg cotg 2 3 tgx tgy xy ⎧ += ⎪ ⎪ ⎨ − ⎪ += ⎪ ⎩ Đặt ==X tgx, Y tgy Hệ đã cho thành: 23... m af m S 17 24 ⇔− ≤ ≤ m Bài 181: Cho hệ phương trình: 2 2 sin x mtgy m tg y m sin x m ⎧ += ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ a/ Giaûi hệ khi m = -4 b/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm. Đặt X sin x = với X 1≤ Ytgy= Hệ thành: ( ) () 2 2 X mY m 1 YmXm 2 ⎧ += ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Lấy (1) – (2) ta được: ( ) 22 X YmYX0− +−= ()( ) X YX Ym 0 X YYmX ⇔− +−= ⇔=∨=− Hệ thành () 2 2 =− = ⎧ ⎧ ⎪ ⎨⎨ + −= += ⎪ ⎩ ⎩ YmX XY hay X... =− ⎧ ⎧ =+ ⎪⎪ ⎨⎨ = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ = = ⎧ ⎪ ⎨⎨ =− ⎩ ⎪ = ⎩ += ⎧ ⎧ = ⎪⎪ ⎨⎨ += = ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ 2.Cho hệ phương trình: 2 cos x cos y m 1 sin x sin y 4m 2m =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ a/ Giaûi heä khi 1 m 4 =− b/ Tìm m để hệ có nghiệm ⎛⎞ −≤≤− ⎜⎟ ⎝⎠ 31 ĐS m hay m=0 44 3. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất: () ⎧ += ⎪ ⎨ += ++ ⎪ ⎩ 22 2 ytgx1 y 1 ax a sin x ĐS a= 2 4. Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm. 3 2 3 cos x m cos y sin x cos y m a/... 22sink 0 =π= thay (II) vào (2) ta thấy π ⎛⎞ = −+π ⎜⎟ ⎝⎠ 22sin k 2 chỉ thỏa khi k lẻ Vậy: hệ đã cho () π ⎧ =− + + π ⎪ ⎪ ⇔∈ ⎨ π ⎪ =− + π ⎪ ⎩  x2m1 4 ,m,h 3 y2h 4 Baøi 183: Cho hệ phương trình: () 2 xym (1) 2 cos2x cos 2y 1 4 cos m 0 (2) −= ⎧ ⎪ ⎨ +−− = ⎪ ⎩ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. Hệ đã cho ()() 2 xym 4cos x y cos x y 1 4cos m −= ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ +−=+ ⎪ ⎩ ... cos x y 0 xym [2 cos m cos x y ] sin x y 0 = () () ⎧ −= ⎪ ⇔+= ⎨ ⎪ += ⎩ xym cos x y 2 cos m sin x y 0 −= ⎧ ⎪ ⇔+=π∈ ⎨ ⎪ π= ⎩  xym xyk,k cos(k ) 2 cos m Do đó hệ có nghiệm π π ⇔=±+π∨=± +π∈  2 mh2m h2,h 33 BÀI TẬP 1. Giải các hệ phương trình sau: a/ 22 sin x sin y 2 tgx tgy tgxtgy 1 f/ 3sin2y 2 cos4x sin x sin y 2 += + += ⎧ ⎧ ⎨⎨ −= += ⎩ ⎩ ⎧ ⎧ =− −= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨⎨ ⎪⎪ = += ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 1 3 sin... () 2 2 =− = ⎧ ⎧ ⎪ ⎨⎨ + −= += ⎪ ⎩ ⎩ YmX XY hay X mm X m XmXm () ( ) 222 X YYmX X mX m 0 * X mX m m 0 * * ==− ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ +−= −+−= ⎪⎪ ⎩⎩ a/Khi m = -4 ta được hệ () () 2 2 Y4X XY X 4X 20 0 vô nghiệm X4X40 X2loạidoX1 Y2 =− − = ⎧ ⎧ ⎪ ∨ ⎨⎨ ++= −+= ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ =≤ ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi m = 4. b/ Ta có (*) 2 X mX m 0 với X 1⇔+ −= ≤ () () 2 2 Xm1X X m do m không là nghiệm của * 1X ⇔= − ⇔= − Xét [ ) () 22 2 X... 1 23 Y X 23 X Y3 YX ⎧⎧ += += ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ + ⎪⎪ +=− =− ⎪⎪ ⎩⎩ 3 2 23 XY 23 XY 3 3 23 XY 1 X X10 3 X3 3 X 3 3 Y Y3 3 ⎧ ⎧ += ⎪ += ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ =− − −= ⎩ ⎪ ⎩ ⎧⎧ = =− ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ =− ⎪⎪ = ⎩⎩ Do đó: Do đó hệ có nghiệm () () π ⎧ =− + + π ⎪ ⎪ ∈ • ⎨ π ⎪ =− + π ⎪ ⎩ x2m1 4 m, h Z 3 yh2 4 Cách 2: Do bất đẳng thức Cauchy tgx cotgx 2+≥ dấu = xảy ra 1 tgx cotgx tgx= tgx ⇔= ⇔ tgx 1⇔=± Do đó: tgx+cotgx . CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ Bài 173: Giải hệ phương trình: ( )()2cosx 1 0 13sin 2x 22−=⎧⎪⎨=⎪⎩. +⎪⎪⇔∈⎨ππ⎪=− + −⎪⎩ III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ Bài 179: Giải hệ phương trình: ()()231323cotg cotg 23tgx tgyxy⎧+=⎪⎪⎨−⎪+=⎪⎩ Đặt ==X tgx, Y tgy Hệ đã cho thành: