Đờng phân giác trong của góc ãBAC cắt cạnh BC tại D.. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC.. Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC th
Trang 1Thái Bình Năm học 2007-2008
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho phơng trình bậc hai x2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = −1
Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1
− x2 = 3
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R), thoả mãn các điều kiện sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4 Hãy tính P(5)
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn
1 Đờng phân giác trong của góc ãBAC cắt cạnh BC tại D Gọi H là chân đờng
vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC Biết rằng AD = l , AH = h
và AD là trung tuyến của tam giác MAH Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC theo l và h.
2 Giả sử ãACB 2.BAC= ã Chứng minh rằng AB2 = BC.(BC+AC)
Bài 4 (1,0 điểm)
Giải phơng trình:
x 1 y − 2 + y 9 z − 2 + z 10 x − 2 = 10 (x, y, z là ẩn số )
Bài 5 (1,0 điểm)
Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a2 + b2 + ab + bc + ca < 0
Chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 < c2
Bài 6 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0
Chứng minh rằng số M = 2a4 + 2b4 + 2c4 là bình phơng của một số nguyên
Bài 7 (1,0 điểm)
Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a3 + 2008a − 2007 = 0
Hãy tính giá trị của biểu thức S = 3 3a 2 + 2005a 2006 − + 3 3a 2 − 2005a 2008 + .
Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình
Năm học 2007-2008
ĐáP án môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Bài 1 (1,5 điểm)
Đề chính thức
Trang 2Cho phơng trình bậc hai x2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = −1.
Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1
− x2 = 3
Cách 1
Từ b + c = −1 nên phơng trình đã cho có hai nghiệm là x 1
x c
=
=
* Nếu x1 = 1; x2 = c ⇒ 1 − c = 3
⇔ c = −2 Khi đó b = 1
0,5
* Nếu x1 = c; x2 = 1 ⇒ c − 1 = 3
⇔ c = 4 Khi đó b = −5
0,5
Cách 2
Các số b, c phải thoả mãn hệ điều kiện sau
b2 − 4c > 0 (1)
b − c = −1 (2)
x1+ x2 = −b (3) (x1, x2 là 2 nghiệm của pt)
x1− x2 = 3 (4)
x1.x2 = c (5)
Từ (3) (4) ta có x1 = b 3
2
− +
x2 = b 3
2
− −
0,5
Thay vào (5), ta đợc: b 3 b 3 c
− + − − =
⇔ b2 9
4
− = −1 − b (vì b + c = −1)
⇔ b2 + 4b − 5 = 0
⇔ = −b 1b= 5
0,5
Với b = 1 ⇒ c = −2
b = −5 ⇒ c = 4 (đều thoả mãn (1))
Kết luận: b = 1, c = −2 hoặc b = −5, c = 4
0,5
Trang 3Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R), thoả mãn các điều kiện sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4 Hãy tính P(5)
Cách 1
Đặt Q(x) = P(x) − x (Q(x) là đa thức bậc 4 có hệ số của x4 là 1)
⇒ Q(1) = P(1) − 1 = 0 Q(2) = P(2) − 2 = 0 Q(3) = P(3) − 3 = 0 Q(4) = P(4) − 4 = 0
0,5
Vậy Q(x) có 4 nghiệm là x = 1, x = 2, x = 3, x = 4
Từ đó suy ra P(x) = Q(x) + x
= (x−1) (x−2) (x−3) (x−4) + x
Do đó P(5) = 4 3 2 1 + 5
= 29
0,5
Cách 2
Chú ý: Có thể làm theo cách sau:
Từ giả thiết, ta có hệ pt sau:
1 1 a b c d
2 16 8a 4b 2c d
3 81 27a 9b 3c d
4 256 64a 16b 4c d
a b c d 0 8a 4b 2c d 14 27a 9b 3c d 78 64a 16b 4c d 252
= + + + +
= + + + +
= + + + +
+ + + =
+ + + = −
0,5
Giải hệ phơng trình này ta đợc:
a 10
b 35
c 49
d 24
= −
=
= −
=
(Phải trình bày cách giải hệ phơng trình này)
0,5
Vậy P(x) = x4− 10x3 + 35x2− 49x + 24
Trang 4Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn
1 Đờng phân giác trong của góc ãBAC cắt cạnh BC tại D Gọi H là chân đờng
vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC Biết rằng AD = l , AH = h
và AD là trung tuyến của tam giác MAH Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC theo l và h.
2 Giả sử ãACB 2.BAC= ã Chứng minh rằng AB2 = BC.(BC+AC)
1
Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC
AD cắt (O) tại N
⇒ O, M, N thẳng hàng
0,5
Vì M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ BC Vậy MN // AH
Lại có ∆ vuông AHD = ∆ vuông NMD (DH = DM và ADH NDMã = ã )
⇒ MN = AH Vậy NMAH là hình bình hành
0,5
Mà D là giao điểm 2 đờng chéo hình hình hành NMAH
⇒ D là trung điểm AN
⇒ OD ⊥ AN
0,5 Xét tam giác vuông ODN: DN2 = NM.NO
⇔ ON = DN2 2
MN =l
h Vậy bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = l2
h
0,5
2
Từ: ãACB 2.BAC= ã
Dựng tia phân giác CE ⇒ Cà1 = Cả2 = Aà
∆BCE ~ ∆BAC (àB chung, Cà1 = Aà )
⇒ BE BC
BC = BA hay BE a
a = c (1) (a = BC, b = CA, c = AB)
0,5
Theo tính chất phân giác ⇒ EABE = ab ⇒ BEc =a ba
+
⇒ BE c
a = a b
Từ (1) (2) ⇒ ac =a bc
+ ⇔ c2 = a(a+b) đpcm
0,5
B E
c
b
a 1 2
A
M D
H
O
N
h l
Trang 5Giải phơng trình:
x 1 y − 2 + y 9 z − 2 + z 10 x − 2 = 10 (x, y, z là ẩn số )
ĐK:
2 2 2
3 z 3
9 z 0
Với ∀ a, b ∈ R, ta có a.b ≤ a2 b2
2
+ Dấu = xảy ra ⇔ a = b
áp dụng kết quả trên, ta có :
x 1 y
2
+ −
y 9 z
2
+ −
z 10 x
2
+ −
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên với nhau, ta đợc :
x 1 y − + y 9 z − + z 10 x − ≤ 10
0,5
Vậy pt đã cho tơng đơng với:
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x, y, z 0
z 10 x
z x 10
x, y, z 0
x 1
x 1
y 0
z 3
z 9
x 1
z 3
≥
≥
=
=
=
=
=
=
=
0,5
Trang 6Bài 5 (1,0 điểm)
Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a2 + b2 + ab + bc + ca < 0
Chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 < c2
Giả sử a2 + b2≥ c2
Từ gt ⇒ a2 + b2 + a2 + b2 + 2(ab + bc + ca) < 0 0,5 Lại có:
a2 + b2 + a2 + b2 + 2(ab + bc + ca) ≥ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b +
c)2
⇒ (a + b + c)2 < 0 (vô lý) Vậy a2 + b2 < c2 đpcm
0,5
Trang 7Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0.
Chứng minh rằng số M = 2a4 + 2b4 + 2c4 là bình phơng của một số nguyên
Cách 1
Từ a + b + c = 0 ⇒ c = −a − b
⇒ c4 = (a + b)4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
⇒ 2c4 = 2a4 + 8a3b + 12a2b2 + 8ab3 + 2b4
0,5
Lúc đó: M = 2a4 + 2b4 + 2c4
= 4a4 + 4b4 + 8a3b + 12a2b2 + 8ab3
= 4a4 + 4b4 + 4a2b2 + 8a3b + 8a2b2 + 8ab3
= ( 2 2 )2
2a + 2b + 2ab
Do a, b, c ∈ Z ⇒ 2a2 + 2b2 + 2ab ∈ Z
Từ đó suy ra đpcm
0,5
Cách 2
Xét đa thức bậc ba mà 3 nghiệm là: x = a, x = b, x = c P(x) = (x − a) (x − b) (x − c)
⇔ P(x) = x3 + (ab + bc + ca)x − abc (vì a + b + c = 0)
0,25
Do P(a) = P(b) = P(c) = 0 nên ta có hệ:
3 3 3
a (ab bc ca)a abc 0 (1)
b (ab bc ca)b abc 0 (2)
c (ab bc ca)c abc 0 (3)
0,25
Nhân 2 vế của các đẳng thức (1), (2), (3) thứ tự với 2a, 2b, 2c rồi cộng lại, ta đợc:
2a4 + 2b4 + 2c4 + 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) = 0 0,25
Mà a2 + b2 + c2 = (a + b + c) 2− 2(ab + bc + ca) = − 2(ab + bc + ca)
⇒ 2a4 + 2b4 + 2c4 = ( ) 2
2 ab bc ca
0,25
Chú ý:
Từ a + b + c = 0
⇒ (a + b)2 = c2
⇔ (a + b)2 = −c(a + b)
⇔ a2 + b2 + 2ab = −ac − bc
⇔ a2 + b2 + ab = −ab − ac − bc
a + + b ab = ab bc ca + +
Bài 7 (1,0 điểm)
Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a3 + 2008a − 2007 = 0
Trang 8Hãy tính giá trị của biểu thức S= 33a2+2005a 2006− +33a2−2005a 2008+ .
Từ a3 + 2008a -2007 = 0 (1)
⇔ a3 = −2008a + 2007
⇔ a3 + 3a2 + 3a + 1 = −2008a + 2007 + 3a2 + 3a + 1
⇔ (a + 1)3 = 3a2 − 2005a + 2008
0,5
Lại có (1) ⇔ −a3 = 2008a - 2007
⇔ 1 − 3a + 3a2 − a3 = 1 − 3a + 3a2 + 2008a − 2007
⇔ (1 − a)3 = 3a2+ 2005a − 2006
Vậy S = 3( )3 3( )3
1 a − + a 1 +
= 1 − a + a + 1
= 2
0,5
Chú ý:
* Điều kiện bài toán số 7 bao giờ cũng tồn tại, vì pt: x3 + 2008x − 2007 = 0 có
đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1)
* Mọi cách giải khác mà hợp lý, vẫn cho điểm tối đa
* Khi chấm, yêu cầu bám sát biểu điểm
* Tổ chấm thảo luận để thống nhất biểu điểm chi tiết
* Nếu trong lời giải có nhiều bớc liên quan với nhau, học sinh làm sai ở bớc nào thì
từ đó trở đi sẽ không đợc điểm
* Điểm toàn bài không làm tròn (lấy đến 0,25đ)
Sở Giáo dục - Đào tạo
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức:
đề chính thức
Trang 9A
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x 3 2= − 2
Bài 2 (2,0 điểm) Cho hai đờng thẳng:
(d1): y = (m – 1)x – m2 – 2m
(d2): y = (m – 2)x – m2 – m + 1
cắt nhau tại G
a) Xác định toạ độ điểm G
b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi m thay đổi
Bài 3 (1,5 điểm) Giải các phơng trình sau:
+ + − + − b)
2
1
x
+
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho điểm M thuộc nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB Điểm C thuộc
đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M kẻ tiếp tuyến Ax, By với đ-ờng tròn Đđ-ờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P, Q Gọi E là giao điểm của AM với CP, F là giao điểm của BM với CQ
a) Chứng minh rằng:
+ Tứ giác APMC và tứ giác EMFC là tứ giác nội tiếp
+ EF // AB
b) Giả sử có EC.EP = FC.FQ Chứng minh rằng: EC = FQ và EP = FC
Bài 5 (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thoả mãn x2 + y2 + xy = 1
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x2 – xy + 2y2
Sở Giáo dục - Đào tạo
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,5 điểm)
1 Giải phơng trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) − 3 = 0
2 Tính giá trị của biểu thức A = (x3− 3x − 3)2011 với 3 + 1
3
2 - 3
2 - 3
x =
Bài 2 (2,0 điểm)
(với m là tham số)
đề chính thức
Trang 10Cho hệ phơng trình:
ax + by = c
bx + cy = a
cx + ay = b
(a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình trên có nghiệm là:
a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 3 (2,0 điểm)
1 Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn:
( )
x = 2x x - y + 2y - x + 2
2 Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Biết rằng P(m) = P(n) (m ≠ n)
Chứng minh: mn ≥ 4ac - b2 2
4a
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B) Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đờng thẳng BC, CA và AB
1 Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
2 Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất
3 Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB Kẻ EQ vuông góc với GF Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC
Bài 5 (0,5 điểm)
Giải bất phơng trình:
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BèNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN THÁI BèNH
Năm học : 2009-2010
Mụn thi: TOÁN
(Dành cho thớ sinh thi vào chuyờn Toỏn, Tin) Thời gian làm bài:150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm : 01 trang
Bài 1 (2,0 điểm) :
a Cho k là số nguyờn dương bất kỡ Chứng minh bất đẳng thức sau:
1 2( 1 1 )
b.
2 + 3 2 + 4 3 + + L 2010 2009 < 45
đề chính thức
Trang 11tham số)
a Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x 1 = + 2
b Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm x x sao cho biểu thức:1 , 2
A= x − x − đạt giỏ trị lớn nhất.
Bài 3 (2,0 điểm):
a Giải hệ phương trỡnh sau :
2 2
3 3
3 9
+ − =
b Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh: 3 2 3
Bài 4 (3,0 điểm): Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O, cạnh a M là điểm di động trờn đoạn OB
(M khụng trựng với O; B) Vẽ đường trũn tõm I đi qua M và tiếp xỳc với BC tại B, vẽ đường trũn tõm J đi qua M và tiếp xỳc với CD tại D Đường trũn (I) và đường trũn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
a Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cựng thuộc một đường trũn Từ đú suy ra 3 điểm
C, M, N thẳng hàng.
b Tớnh OM theo a để tớch NA.NB.NC.ND lớn nhất.
Bài 5 (0.5 điểm): Cho gúc xOy bằng 120 o , trờn tia phõn giỏc Oz của gúc xOy lấy điểm A sao
cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyờn lớn hơn 1 Chứng minh rằng luụn tồn tại
ớt nhất ba đường thẳng phõn biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài cỏc đoạn thẳng OB và OC đều là cỏc số nguyờn dương
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BèNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN THÁI BèNH
Năm học : 2009-2010
Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm : 01 trang
a. Rỳt gọn A.
b.
Tỡm cỏc giỏ trị của x để = x 1 +
A 8
Bài 2 (2,0 điểm) Cho parabol (P): y x = 2 và đường thẳng (d): y (2m 1)x m = − − 2 + m (m là
tham số).
a Chứng minh rằng (d) luụn cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt.
đề chính thức
Trang 12b Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x ,x sao cho: 1 2
x 13− x 32 = 1.
Bài 3 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau :
2
x xy 1 y 2x
− + = −
Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R (AB<AC).
Đường tròn tâm I đường kính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N (M,N không trùng với A).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
a Chứng minh rằng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
b Chứng minh rằng R AB.AC
2AH
c Kẻ dây cung AE của đường tròn tâm I đường kính OA song song với MN Gọi F là giao điểm của MN và HE Chứng minh rằng F là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a b c 3+ + =
Chứng minh rằng : 2a 2b 2c 3