TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 11 (HAY)

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 1 TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Cần Thơ 2013 Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xn Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 2  Chương 1. Hàm số lượng giác Chương 2. Tổ hợp – xác suất Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân Chương 4. Giới hạn Chương 5. Đạo hàm TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 3 Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + Tìm điều kiện (nếu có) để bài tốn có nghĩa + Biến đổi để đưa phương trình về một trong các dạng đã biết cách giải + Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp + Kết luận A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cung liên kết a) Cung đối: x và x    cos x cos x     sin x sin x      tan x tan x      cot x cot x    b) Cung bù: ( x) và x     cos x cosx       sin x sin x      tan x tan x       cot x cot x     c) Cung phụ: x và x 2         cos x sin x 2          sin x cosx 2          tan( x) cot x 2    cot x tan x 2          d) Cung hơn kém  : ( x) và x     cos x cos x       sin x sin x       tan x tan x      cot x cot x    e) Cung hơn kém 2  : x và x 2           cos / 2 x sin x       sin / 2 x cos x      tan / 2 x tan x       cot / 2 x cot x     TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 4 2. Cơng thức lượng giác  Cơng thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có sin(a b) sin acosb sin bcosa cos(a b) cosacosb sin asin b tana tan b tan(a b) 1 tana tan b            Cơng thức nhân đơi 2 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a sin2a 2sinacosa 2tana tan2a ; (a k ) 1 tan a 4 2               Cơng thức nhân ba 3 3 sin3a 3sin a 4sin a cos3a 4cos a 3cosa      Cơng thức hạ bậc 2 2 2 1 cos2a 1 cos2a 1 cos2a sin a ; cos a ; tan a 2 2 1 cos2a         Cơng thức chia đơi Đặt a t tan 2  , khi đó 2 2 2 2 2t 1 t 2t sina ; cosa ; tana 1 t 1 t 1 t         Cơng thức biến đổi tổng thành tích a b a b sina sin b 2sin cos 2 2 a b a b sina sin b 2cos sin 2 2 a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2 a b a b cosa cosb 2sin sin 2 2 sin(a b) tana tan b c                                                                                                     osa cosb sin(b a) cota cot b sinasin b    TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 5  Cơng thức biến đổi tích thành tổng 1 sinasin b [cos(a b) cos(a b)] 2     1 cosacosb [cos(a b) cos(a b)] 2 1 sinacosb [sin(a b) sin(a b)] 2         B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUEN THUỘC 1. Các phương trình lượng giác cơ bản  u v k2 sin u sin v u v k2               u v k2 cosu cosv u v k2               tan u tanv u v k , (u,v / 2 k )           cotu cot v u v k , (u,v k )        (u,v là các biểu thức chứa ẩn, k   ) 2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác Dạng  2 asin x bsin x c 0     2 acos x bcos x c 0     2 a tan x btanx c 0     2 acot x bcot x c 0    (với a 0  , a,b,c   ) Phương pháp giải 2 asin x bsin x c 0    , đặt t sin x , t 1   2 acos x bcos x c 0    , đặt t cos x , t 1   2 a tan x btanx c 0    , đặt t tan x  , đk x / 2 k     2 acot x bcot x c 0    , t cot x  , đk x k   Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài tốn, suy ra nghiệm x của phương trình TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 6 Ví dụ: Giải phương trình cos2x 5 6cos x   Giải: 2 cos2x 5 6cosx 2cos x 6cosx 4 0 (*)       Đặt t cos x, t 1   . Khi đó (*) trở thành 2 t 1 2t 6t 4 0 t 2 (loai)           Với t 1 cosx 1 x 2k       3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Dạng asin x bcos x c   (với 2 2 a b 0   ) (*) Phương pháp giải + Nếu 2 2 2 a b c   thì phương trình vơ nghiệm + Nếu 2 2 2 a b c   thì phương trình có nghiệm. Khi đó : Chia 2 vế của (*) cho 2 2 a b  . Đặt 2 2 2 2 a b cos ;sin a b a b       Khi đó (*) trở thành 2 2 c sin(x ) a b    , đây là phương trình cơ bản. Ví dụ: Giải phương trình sin3x 3cos3x 2   Giải: 2 2 a b 2 2 (c 2)     nên phương trình đã cho có nghiệm, chia hai vế của phương trình cho 2 ta được 1 3 2 sin3x cos3x cos sin3x sin cos3x sin 2 2 2 3 3 4 2 3x 2k x k 3 4 36 3 sin 3x sin 5 2 3 4 3x 2k x k 3 4 36 3                                                                4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos Dạng a(sin x cosx) bsin xcosx c 0     (1) hoặc a(sin x cosx) bsin x cosx c 0     (2) Phương pháp giải - Đối với (1), đặt t sin x cosx 2 sin(x ) 4      , đk t 2  . Khi đó 2 t 1 sin x cosx 2   và (1) trở thành 2 2 t 1 at b c 0 bt 2at (2c b) 0 2          , TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 7 Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2sin(x ) 4    - Đối với (2), đặt t sin x cosx 2 sin(x ) 4      , đk t 2  . Khi đó 2 1 t sin x cosx 2   và (2) trở thành 2 2 1 t at b c 0 bt 2at (2c b) 0 2           , Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2sin(x ) 4    . Ví dụ: Giải phương trình sin x cosx 2 6sin xcosx   Giải: Đặt t sin x cosx 2 sin(x ) 4      , đk t 2  , 2 1 t sin x cosx 2   . Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2 1 2 6 6 t 6(1 t ) 6t t 6 0 t ,t 3 2           thỏa điều kiện t 2  .  Với 1 6 6 3 t 2sin(x ) sin(x ) 3 4 3 4 3          3 3 x arcsin k2 x arcsin k2 4 3 3 4 3 3 5 x arcsin k2 x arcsin k2 4 3 3 4                                          Với 1 6 6 3 t 2sin(x ) sin(x ) 2 4 2 4 2             x k2 x k2 4 3 12 5 x k2 x k2 4 3 12                                           5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos Dạng 2 2 asin x bsin xcosx ccos x d    (*) Phương pháp giải + Nếu cosx 0  là nghiệm của (*) thì ta có nghiệm x k 2     . TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 8 + Nếu cosx 0 x k 2       , khi đó chia 2 vế cho 2 cos x ta được 2 (a d)tan x btan x (c d) 0      Giải phương trình bậc hai theo tham số tanx Ví dụ: Giải phương trình 2 2 4sin x 3 3sin2x 2cos x 4    Giải: + Khi 2 cos x 0 x k sin x 1 2               , ta có VP 4 VT   , suy ra x k 2     là nghiệm. + Khi x k 2     chia 2 vế cho 2 cos x ta được 2 2 4tan x 6 3tan x 2 4(1 tan x) 6 3tan x 6 3 tan x tan x tan x k 3 6 6                 Kết luận x k 6     hoặc x k 2     . 6. Phương trình chứa căn thức (dạng cơ bản) Phương pháp giải Để giải được phương trình lượng giác chứa căn thức (dạng cơ bản) ta cần phải nắm được một số tính chất sau : 2 2 A, A 0 1) A A A, A 0 2) A B A B 0 B 0 3) A B A B A 0 4) A B C B 0 A B 2 AB C                                               Chú ý : Đối với những dạng 3 3 4 4 A B C, A B C     ta thường dùng phương pháp chuyển về hệ đại số (xem bài tập 4 cuối bài giảng). TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 9 Ví dụ : Giải phương trình 1 cosx sin x 0    2 sin x 0 1 cosx sin x 0 1 cosx sin x 1 cosx 1 cos x sin x 0 sin x 0 sin x 1 x k2 cosx 0 sin x 1 2 cosx 1 x k2 cosx 1 cos x 1                                                                                     7. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Để giải được phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối ta cần phải nắm được một số tính chất sau : 2 2 2 2 1) A B A B A B B 0 B 0 2) A B A B A B A 0 3) A B A B B 0 A 0 4) A B A B B 0                                                       Ví dụ : Giải phương trình x x cos 1 3sin 2 2   Giải : 2 2 2 x x 3 1 3sin 0 sin x x 2 2 3 cos 1 3sin x x x 2 2 x x cos 1 2 3sin 3sin 4sin 2 3sin 0 2 2 2 2 2 x sin 0 x k2 , k . 2                                             C. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Phương pháp 1. Dùng các cơng thức biến đổi lượng giác đưa một phương trình lượng giác về một trong các dạng phương trình quen thuộc. Ví dụ : giải phương trình 3 5sin4x.cos x 6sin x 2cos x 2cos2x   + Điều kiện cos2x 0 x k 4 2       + Phương trình đã cho tương đương với TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 10 3 3 2 2 2 3 3 3 6sin x 2cos x 5sin2x.cosx 6sin x 2cos x 10sinx.co s x sin x sinx.cos x 6 2 10 6tan x(1 tan x) 2 10tan x cos x cos x 6tan x 4tan x 2 0                 Giải ra ta được tan x 1 x k 4       (loại). Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.  Phương pháp 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình tích 1 2 n A (x).A (x) A (x) 0  để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc. Ví dụ : giải phương trình cosx cos2x cos3x 0    Ta có cosx cos2x cos3x 0 2cos2xcosx cos2x 0 cos2x(2co sx 1) 0 k 2x k x cos2x 0 2 4 2 ;k 2 2 2cosx 1 x k2 x k2 3 3                                                        Vậy nghiệm của phương trình k x 4 2     ; 2 x k2 3      , k   .  Phương pháp 3. Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức, để đánh giá hai vế của phương trình rồi rút ra nghiệm. Ví dụ : giải phương trình 3 3 4 sin x cos x 2 sin x    Ta có 3 2 3 3 3 2 1 sin x 1 sin x sin x sin x cos x 1 1 cos x 1 cos x cos x                           Mặt khác 4 4 0 sin x 1 2 sin x 1      Vậy phương trình đã cho tương đương với 4 3 2 3 2 3 3 sin x 1 sin x 1 sin x sin x x k2 cos x 0 2 cos x cos x sin x cos x 1                                    [...]...  9) sin 3 x cos x  1  cos 3 x sin x 4 11) cos7x - sin5x = 3 ( cos5x - sin7x) 13) cos x cos 2x cos 4x   2 16 TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG 3 sin x  cos x  1 cos x 10) sin 4 x  cos 4 x  cos 4x 12) sin 2 5x  cos 2 3x  1 14) sin   sin x   1 ĐT: (0710)3751.929 Trang 11 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC 15) cos 2 x sin 2 x  1  sin x 1  cos x ThS Lê Hồng Lónh 16) 1 1 2   cos x sin 2x...  3 cos 3x ĐT: (0710)3751.929 Trang 14 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh   3) sin 4 x  cos 4  x    1 4  4) 2  cos4 x  sin 4 x   3 sin 4x  2 5) 2sin 2x  2 sin 4x  0 6) 3sin 2x  2 cos 2x  3 7) 3cos x  2 3 sin x  9 2 8) 4 cos 3x  3sin 3x  5  0   9) sin x cos x  sin 2 x  cos 2x 10) tan x  3cot x  4 sin x  3 cos x 11) 2sin 3x  3 cos 7x  sin 7x  0 12)... 1  s in2x  4 cos x sin x 11) sin x(1  cot x)  cos x(1  tan x)  2 sin x cos x Bài 2 Giải phương trình 1) sin x  cos x  2s in2x  1 2) cos 2 x tan x  1  cos 2x 3) cos3 x  1  2 3 2 cos x 1 4) 8 cos3 x  1  3 3 6 cos x 1 5) sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  3 TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 15 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh Dạng 6 Phương...  5(tan x  sin x)  2 3 6) 1  s in 3 2x  cos 3 2x  s in4x 2 TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 18 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC 7) ThS Lê Hồng Lónh s in2x  2 cos x  0 1  sin x 8) 2cos3 x  s in3x s in5x 1 5sin x 9) cos 7x  3 sin 7x   2 10) 11) cot x  tan x  sin x  cos x 12) 9 sin x  6 cos x  3s in2x  cos 2x  8 13) sin x  sin x  sin 2 x  cos x  1  ... 1  sin x cos 2x ĐT: (0710)3751.929 Trang 19 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh Bài 4 Giải các phương trình sau 1) 1  sin x  cos x  tan x  0 3) 2) cos x cos 4x  cos 2x cos 3x  0 s in 2 2x  cos 4 2x 1 0 sin x cos x 5) 2 tan x  cot 2x  2 s in2x  4) 1 s in2x 7) s in2x  2 sin(x  / 4)  1 9) 1  cot 2x  1 cos 2x s in 2 2x 11) sin 3 x cos x  cos x  2sin x cos x  3 2... 2 2x) 9) tan x  t an2x   s in3x cos 2x 10) 3sin x  | cos x | 2  0 11) s in2x(cot x  t an2x)  4 cos 2 x 12) 2 2(sin x  cos x) cos x  3  cos 2x 13) sin 3 x  cos 3 x  s in2x  sin x  cos x 14) cos4 x  cos 2x  2sin 6 x  0 TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 20 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH Khối A - 2002: Tìm nghiệm... TRUNG c) 3! d) 5! – 2! ĐT: (0710)3751.929 Trang 26 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh Bài 7 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Khơng bắt đầu bởi chữ số 1? c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Khơng bắt đầu bởi 135? ĐS: a/ 24 b/ 96 c/ 6 d/ 118 Bài 8 Với mỗi hốn vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6,... P1P2 P3 P4 2 4 C= 10 9 A12  A11 A17  A17 49 49  8 A10 A17 49 P P P  2 P D =  54  43  32  21  A 5  A5 A5 A5 A5  ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42 Bài 2: Chứng minh rằng: a/ 1 1 1 n 1  2   2  , ( n  N, n  2) 2 A 2 A3 An n k 1 b/ A k  A k 1  k.A n 1 n n TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 29 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh Bài 3: Giải... khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) ĐS: A 2 = 132  n = 12 n Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 30 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC 4 ĐS: a) 9.A 9 ThS Lê Hồng Lónh b) Có 95 số Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có... 25 15 4 2 1  C4  C3  C8 A 3 7 7 b) B =  5 6 6 1  C10  C10  C11 P2 ĐS: A = – 165, B = 4 Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: n a) S = C n C n C3n n 2n b) P = 9 10 C8  2C15  C15 Pn  2  15 A k Pn  k C10 n 17 TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 34 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC c) Q = C1  2 n ĐS: S = ThS Lê Hồng Lónh C2 Ck Cn n   k kn 1   n nn 1 C1 Cn  Cn  n (3n)! .                TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 11 D. PHẦN BÀI TẬP Dạng 1. Phương trình. 4 sin x cos x cos4x   11) cos7x - sin5x = 3 ( cos5x - sin7x) 12) 2 2 sin 5x cos 3x 1   13) 2 cosxcos2xcos4x 16   14)   sin sin x 1   TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân Chương 4. Giới hạn Chương 5. Đạo hàm TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929