TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 11 (HAY)

Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác a cot xb cot x  , tc 0 cot x , đk x k Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài toán, su

Trang 1

TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

17 QUANG TRUNG

Cần Thơ 2013

Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929

Trang 2

Chương 1 Hàm số lượng giác Chương 2 Tổ hợp – xác suất Chương 3 Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân Chương 4 Giới hạn

Chương 5 Đạo hàm

Trang 3

Chương 1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

+ Tìm điều kiện (nếu có) để bài toán có nghĩa

+ Biến đổi để đưa phương trình về một trong các dạng đã biết cách giải

+ Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp

cos x cos x sin x sin x

tan xtan x cot xcot x

cos/ 2 x  sin x sin/ 2xcos x

tan/ 2x tan x cot/ 2 x  cot x

Trang 4

2 Công thức lượng giác

 Công thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có

sin(a b) sin a cos b sin b cos acos(a b) cos a cos b sin a sin b

tan a tan btan(a b)

cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a

s in2a 2 sin a cos a

sin a sin b



Trang 5

 Công thức biến đổi tích thành tổng

1sin a sin b [cos(a b) cos(a b)]

2

1cos a cos b [cos(a b) cos(a b)]

21sin a cos b [sin(a b) sin(a b)]

2

B CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUEN THUỘC

1 Các phương trình lượng giác cơ bản

 tan utan v   u v k , (u, v / 2  k )

 cot ucot v   u v k , (u, v  k )

(u,v là các biểu thức chứa ẩn, k  )

2 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

a cot xb cot x  , tc 0 cot x , đk x k

Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài toán, suy

ra nghiệm x của phương trình

Trang 6

Ví dụ: Giải phương trình cos 2x 5 6 cos x

Giải: cos 2x 5 6 cos x2 cos x2 6 cos x 4 0 (*)

+ Nếu a2b2 thì phương trình vô nghiệm c2

+ Nếu a2b2 thì phương trình có nghiệm Khi đó : c2

Chia 2 vế của (*) cho 2 2

 , đây là phương trình cơ bản

Ví dụ: Giải phương trình s in3x 3 cos 3x 2

Giải: a2b2  2 2 (c2) nên phương trình đã cho có nghiệm, chia hai vế của phương trình cho 2 ta được

Trang 7

Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x )

Ví dụ: Giải phương trình sin xcos x2 6 sin x cos x

Giải: Đặt t sin x cos x 2 sin(x )

thỏa điều kiện t  2

Trang 8

Ví dụ: Giải phương trình 4sin x2 3 3 s in2x2 cos x2 4

Trang 9

Ví dụ : Giải phương trình 1cos xsin x0

C MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 Phương pháp 1 Dùng các công thức biến đổi lượng giác đưa một phương trình lượng giác

về một trong các dạng phương trình quen thuộc

Ví dụ : giải phương trình 6sin x 2 cos x3 5s in4x.cos x

Trang 10

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

 Phương pháp 2 Đưa phương trình đã cho về phương trình tích

A (x).A (x) A (x)0

để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc

Ví dụ : giải phương trình cos xcos 2xcos 3x0

 Phương pháp 3 Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức, để đánh giá hai

vế của phương trình rồi rút ra nghiệm

Ví dụ : giải phương trình sin x3 cos x3  2 sin x4

cos x cos xsin x cos x 1

Trang 11

D PHẦN BÀI TẬP

Dạng 1 Phương trình cơ bản

Bài 1 Giải phương trình

1) cos x4 sin x4 1(3 cos 6x)

4

16

3) 6(cos x6 sin x)6 5(cos x4 sin x)4 4) cos (x2 / 4)sin x2 1 / 2

1) cos x.cos 3xcos 5x.cos 7x 2) sin x.cos 2x s in2x.cos 3x 1s in5x

2

3) 2 cos 2x2 cos 2x4 sin 2x cos x2 2 4) 4 cos 2x3 6 sin x2  3

5) cos x cos 2x s in3x(1/ 4) s in2x 6) s in2x sin x cos 5x cos 2x 1 cos x

2



7) cos10x2 cos 4x2 6 cos 3x cos xcos x8 cos x cos 3x3

1) cos x sin x3 sin x cos x3  2 / 8 2) cos x cos 3x3 sin x s in3x3  2 / 4

cos x cos3xsin x s in3xcos 4x1/ 4

Bài 5 Giải các phương trình

3) tan 2x tan x 1 4) sin x2 sin x.tan x2 2  3

11) cos7x - sin5x = 3 ( cos5x - sin7x) 12) sin 5x2 cos 3x2  1

13) cos x cos 2x cos 4x 2

16



Trang 12

cos xsin 2x sin 4x

Bài 6 Cho phương trình tancos xcotsin x

1 Tìm điều kiện xác định của phương trình

2 Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn   3 ;  của phương trình

Bài 7 Cho phương trình sin6x + cos6x = m

1 Xác định m để phương trình có nghiệm

2 Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng 0; 

Bài 8 Giải và biện luận phương trình   2

2m 1 cos 2x 2m sin x 3m  2 0

Dạng 2 Phương trình với một hàm số của một cung

1) cos 2x3sin x 2 0 2) 4sin x4 12 cos x2  7

3) 6 sin x2 2 sin 2x2  3 4) 6 tan xt an2x

5) 3(tan xcot x)2(2s in2x) 6) cot x4 cos 2x3  1

1) s in3x2 cos 2x 2 0 2) s in3x sin x 1 0

3) cos x3 cos 2x4 cos x  1 0 4) cos 3x2 cos 2x 2 0

5) cos x4 cos 2x2 sin x6  0 6) 3cos 2x6 sin 2x4 cos 4x 0

1) 3cos xcos 2xcos 3x2 sin x s in2x 2) s in3xcos 2x 1 2 sin x cos 2x

3) 2sin x s in3x(3 21) cos 2x 3 0 4) 8sin x sin( / 32  x) sin( / 3 x)15) 8 cos x cos(x2  2 / 3) cos(x/ 3)1 6) 4 cos (x2 / 4)sin 6x2 sin 6x17) sin x cos 2x1 / 4 8) 4 cos x2 cos 2xcos 4x 1 0

9) cos 2xcos x(2 tan x2  1) 2



7) 3cos 4x2 cos 3x2  1 8) s in2xtan x2

Trang 13

9) s in2x2 cos x2 tan x 3 10) t an2xcot x8 cos x2

Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau

Bài 6: Cho phương trình sin 3xm cos 2x (m 1) sin x  m 0

1) Giải phương trình khi m = 2

2) Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng 0; 2

Dạng 3 Phương trình đối xứng

1) s in2x12(sin xcos x)12 0 2) 1 s in2x cos xsin x

3) cos 2x 5 2(2cos x)(sin xcos x) 4) sin x3 sin x cos xcos x3  1

5) sin x3 cos x3  1 6) s in3xcos 3x 1 s in2x

1) 2(tan x2 cot x)2 5(tan xcot x) 6 0 2) 12 tan x2 5(tan x cot x) 7 0

Trang 14

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau

1) 2 sin x cos xsin 2x 1 0 2) sin x cos x6 sin x cos x 1   

5) sin x3 cos x3  1 6) 1 sin x 1 cos x   2

9) sin xcos x4 3sin 2x 1 0 10) cos x sin x3  3 cos 2x

sin x cos x 2 sin x cos x   3sin 2x 12) 0 sin x cos x 3  1 sin x cos x

13) sin x cos x 2 tan x cot x 1 1 0

sin x cos x

       14) 1 sin 2x sin xcos xcos 2x

Bài 4: Cho phương trình cos x sin x3  3 m Xác định m để phương trình có nghiệm

Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau:

3 tan xcot x 2 tan xcot x   2 0 2) tan x7 cot x7 tan xcot x

tan x tan x tan x cot x cot x cot x     6 4)  4  2 2 

9 tan x cot x 48 tan x cot x 96

3 tan xcot x 8 tan xcot x 21

tan xcot x2 m2 tan xcot x m m Xác định m để phương trình có nghiệm

Dạng 4 Phương trình đẳng cấp với sin, cos

1) 6sin x2 cos x3 5s in2x cos x 2) 4 cos x3 sin xcos x 0

3) 4 cos x sin x2 cos xsin x 4) 3sin xs in3x2 cos x

5) 4 cos x cos 2xcos x 3 sin x 6) sin x3 cos x3 sin xcos x

7) cos x3 4 sin x3 cos x sin x2 sin x 0 8) 4sin x3 3cos x3 3s in xcos x sin x2  0

cos x sin x

Bài 3 Giải các phương trình lượng giác sau

1) 3 sin x cos x  2 0 2) 3sin x 1 4 sin x3  3 cos 3x

Trang 15

2 cos x sin x  3 sin 4x 2

7) 3cos x 2 3 sin x 9

2

9) sin x cos x sin x 2 cos 2x 10) tan x 3cot x 4 sin x  3 cos x

11) 2sin 3x 3 cos 7xsin 7x  0 12) cos 5x sin 3x  3 cos 3x sin 5x  

2sin xcos x 1 cos x sin x 14) 1 cos x sin 3x cos 3x sin 2x sin x 

15) 3sin x 1 4 sin x3  3 cos 3x 16) 3 sin x cos x 2 cos x 2

Bài 4 Cho phương trình 3m sin x2m 1 cos x  3m 1

1) Giải phương trình khi m = 1

sin x cos x 1







Dạng 5 Phương trình chứa căn thức

1) 1s in2x 2 cos 2x0 2) 3 sin xcos x 22 cos 2x

3) 3 s in2x2 cos x2 2 2cos 2x 4) sin x2 2sin x 2 2 sin x1

7) 1sin x 1 sin x 2 cos x 8) 1sin x 1 sin x  1 cos x

cos x tan x 1 cos 2x

8 cos x 1 3 6 cos x15) sin x 2sin x2 sin x 2sin x2 3

Trang 16

Dạng 6 Phương trình chứa trị tuyệt đối

3) 3cos x2 sin x 2 4) cos 3x  1 3 s in3x

5) s in3x  1 3 cos 3x 6) 12 sin x cos x0

7) 1 s in2x  cos xsin x 8) 2 2 sin x cos x sin xcos x 0

1) 3cos x2 2 sin x  2 0 2) sin xcos x 4 s in2x1

3) sin x cos x sin xcos x1 4) sin xcos x  sin xcos x 2

5) cos x4 sin x4  cos x sin x

Dạng 7 Phương trình đưa về dạng tích

1) cos x3 sin x3 sin xcos x 2) cos x3 sin x3 cos 2x

3) cos x 3 sin xcos 3x0 4) 3 s in2xcos 5xcos 9x

5) cos xcos 2xs in3x0 6) 3 cos xsin xs in3x

7) sin xsin2xsin3xcos xcos2xcos3x 8) 1sin xcos xsin2xcos 2x0

9) 5sin x6 s in2x5sin3xs in4x0

1) sin x2 sin 2x2 sin 3x2 1 / 2 2) sin 3x2 sin 2x2 sin x2  0

sin xcos x2(sin xcos x)

sin xcos x2(sin xcos x) 6) t an2xcot x8 cos x2

7) cos x cos 4xcos 2x cos 3x0 8) 4s in2x3cos 2x3(4 sin x 1)

1) 1sin x cos 2xsin xcos 2x 2) 3sin x2 cos 2x 2 3 tan x

3) 2(tan xsin x)3(cot xcos x)  5 0 4) 3(cot xcos x)5(tan xsin x) 25) 9 sin x6 cos x3s in2xcos 2x8 6) cos x2 cos xsin x3  0

7) sin x3 cos x3 sin xcos x 8) 2s in2xcos 2x7 sin x2 cos x4

108 cos x 8sin x 1 1

Trang 17

1) cos2x cos8x cos4x1 2) sinx2cosxcos2x2sinxcosx0

3) sin2x cos2x 3sinxcosx2 4) sin x3 2cosx 2 sin x2 0

5) 3sinx2cosx 2 3tanx 6) 3s in2x 2 cos x2 6 cos x 0

15)cos x3 cos x2 2sinx 2 0 16) cos2x2cos x sinx3  0

17) tanx – sin2x cos2x 2(2cosx 1 ) 0

cos x

1) sinx sin2x sin3x  cosx cos 2x cos3x  2) sin x sin 2x2  2 sin 3x sin 4x2  2

3) sin x sin 2x sin 3x sin 4x2  2  2  2  2 4) 2 2 2 3

cos x cos 2x cos 3x

9) sin6x.sin2xsin5x.sin3x 10) 2 sinx.sin3x 2 cos 2x

1)sin x sin 3x2  2 cos 2x2 cos 4x2 2) cos x2 cos 2x2 cos 3x2 cos 4x2 3 / 2

3)sin x sin 3x 3 cos 2x2  2  2 0 4) cos3x sin7x 2sin (2 5x) 2cos2 9x



5)sin 4x sin 3x2  2 cos 2x2 cos x 2 6) 2 2

sin 4x cos 6x sin(10, 5 10x) 7)cos x 5sin x4  4  1 8) 4sin x 1 33    3cos3x

Trang 18

Dạng 8 : Đặt ẩn phụ

1) tan 2x2 tan x sin 2x 0 2) cos x 2 cos x 2 cos x 2 cos x 2 3

Dạng 9 : Phương pháp đối lập

1) sin x3 cos x4  1 2) sin2010xcos2010x 1

3) 3cos x 1 sin 7x2   2 4) sin 3x.cos 4x1

5) sin x3 cos x3  2 sin 2x2 6) cos 2x.cos 5x 1

Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương

cos 2x cos 6x 4 3sin x4 sin x 1  2) 0 3 sin 2x2sin x2 4 cos x  6 0

cos2x 3sin2x 4sin x 2sinx 4 2 3cosx   

Dạng 11 Phương trình có chứa tham số

Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau :

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau :

1) 1sin x 1 sin x k cos x 2)

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) (cos 2xcos 4x)2 6 2 s in3x 2) 1sin xcos x0

3) ( 1 cos x cos x ) cos 2x 1s in4x

Trang 19

Bài 2 giải các phương trình sau

1) (1tan x)(1s in2x) 1 tan x 2) 2

4 cos xcos 3x6 cos x2(1cos 2x)

6) 2(sin xcos x)tan xcot x

7) sin x sin 2x sin 3x (sinx sin2x sin3x)3  3  3    3 8) s in 2x cos 6x3 sin 6x cos 2x3 3

8

(cos 4xcos 2x)  5 s in3x 10) 5 cos xcos 2x2 sin x0

1) 3cos 4x2 cos 3x2  1 2) 1 3cos x cos2x  cos3x2sin xsin2x3) tanxcotx2 sin2x cos2x 4) cos x3 sin x3sin x cos x2  0

Trang 20

1) 1sin xcos xtan x0 2) cos x cos 4xcos 2x cos 3x0

3)

s in 2x cos 2x 1

0sin x cos x

7) s in2x 2 sin(x/ 4)1 8) sin x2 cos 2x2 cos 3x2

13) s in 3x2 s in 2x2 sin x2  0 14) s in4xcos 4x 1 4(sin xcos x)

1) cos2x 3sin2x 3sin x cos x  4 0 2) sin x6 cos x6 cos 4x

3) 2 cos x 2 tanx

2

5) 4sin x3  1 3sin x 3 cos 3x 6) 2sin xcot x2 s in2x1

7) cos x6 sin x6 13cos 2x2

13) tan x3cot x(4 sin x 3 cos x) 14) 4 3 sin x cos x cos 2xsin 8x

3) 3 s in2x2 c os x2 2 22 cos 2x 4) 4 cos x3 3 2 s in2x8cos x

5) 3(sin x tan x) 2 cos x

11) s in2x(cot xt an2x)4 cos x2 12) 2 2(sin xcos x) cos x 3 cos 2x

13) sin x3 cos x3 s in2xsin xcos x 14) cos x4 cos 2x2 sin x6  0

Trang 21

LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH

Khối A - 2002: Tìm nghiệm thuộc (0;2 ) của phương trình:

Khối B - 2002: Giải phương trình sau sin 3x cos 4x2  2 sin 5x cos 6x2  2

Khối D -2002: Tìm nghiệm thuộc [0;14] của phương trình cos 3x4 cos 2x 3cos x  4 0

Khối A-2003: Giải phương trình cot x 1 cos 2x sin x2 1s in2x

5sin x 2 3(1 sin x) tan x

Khối D - 2004: Giải phương trình (2 cos x 1)(2sin x cos x)s in2x sin x

Khối A -2005: Giải phương trình cos 3x.cos2x2 cos x2  0

Khối A -2006: Giải phương trình

Khối D -2006: Giải phương trình cos3xcos2x cosx 1  0

Khối A -2007: Giải phương trình (1 sin x) cos x 2 (1 cos x) sin x 2  1 s in2x

Khối B -2007: Giải phương trình 2sin 2x2 sin 7x 1 sin x 

Khối D - 2007: Giải phương trình

Khối B - 2008: Giải phương trình sin x3  3 cos x3  sin x cos x2  3 sin x cos x.2

Khối D - 2008: Giải phương trình 2 sin x(1 cos 2x) sin 2x     1 2 cos x.

Trang 22

Khối A - 2009: Giải phương trình (1 2 sin x) cos x 3

(1 2 sin x)(1 s inx)





s inxcos x sin 2x 3cos3x2(cos4xsin x)

Khối D - 2009: Giải phương trình 3cos5x2 sin 3x cos 2x s inx 0

Khối A - 2010: Giải phương trình

(1 s inx cos2x)sin x

14

Khối B - 2010: Giải phương trình (sin 2xcos2x) cos x2 cos 2x s inx 0

Khối D - 2010: Giải phương trình sin 2x cos2x 3sin x cos x 1 0.    

Trang 23

Một cơng việc nào đĩ cĩ thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B Nếu

phương án A cĩ m cách thực hiện, phương án B cĩ n cách thực hiện và khơng trùng với bất

kì cách nào trong phương án A thì cơng việc đĩ cĩ m + n cách thực hiện

2 Qui tắc nhân:

Một cơng việc nào đĩ cĩ thể bao gồm hai cơng đoạn A và B Nếu cơng đoạn A cĩ m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đĩ cĩ m.n

cách thực hiện

Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B cĩ 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C cĩ 2

con đường, từ thành phố B đến thành phố D cĩ 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố

D cĩ 3 con đường Khơng cĩ con đường nào nối thành phố B với thành phố C Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?

Bài 4: Cĩ 25 đội bĩng đá tham gia tranh cúp Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về) Hỏi

cĩ bao nhiêu trận đấu?

ĐS: cĩ 25.24 = 600 trận

Bài 5: Cĩ bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số

theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nĩ khơng thay đổi)

ĐS: số cần tìm cĩ dạng: abcba  cĩ 9.10.10 = 900 (số)

Bài 6: a/ Một bĩ hoa gồm cĩ: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng Hỏi cĩ

mấy cách chọn lấy 1 bơng hoa?

Trang 24

b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau cĩ những chữ số khác nhau? ĐS: a/ 18 b/ 15

Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số?

b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số? c/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?

d/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số, trong đĩ các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

e/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số và chia hết cho 5?

ĐS: a/ 3125 b/ 168 c/ 20 d/ 900 e/ 180000

Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát Tại hội diễn, mỗi đội

chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát Hỏi đội văn nghệ trên cĩ bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?

ĐS: 36

Bài 9: Một người cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đĩ cĩ hai cà vạt màu

vàng Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:

a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?

b/ Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng?

b/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lớn hơn 300?

c/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5?

Trang 25

d/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chẵn?

e/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lẻ?

Bài 15: Một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên tốn Thành lập

một đồn gồm hai người sao cho cĩ một học sinh chuyên tốn và một học sinh chuyên tin Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một đồn như trên?

Bài 16: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ơng và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế

dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau

Bài 17: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai

viên bi cùng màu khơng được ở gần nhau

Cho k phần tử khác nhau: a , a , 1 2 , ak Một cách sắp xếp n phần tử trong đĩ gồm n1 phần

tử a1, n2 phần tử a ,2 , nk phần tử akn1n2  nk  ntheo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị lặp cấp n và kiểu n , n , 1 2 , nkcủa k phần tử

Số các hốn vị lặp cấp n, kiểu n , n ,1 2 , nkcủa k phần tử là:

Trang 26

4 Hốn vị vịng quanh

Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi

là một hốn vị vịng quanh của n phần tử

Số các hốn vị vịng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)!

Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 4 Giải bất phương trình: 1 5 (n 1)! n.(n 1)! 5

a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Khơng bắt đầu bằng chữ số 1?

Trang 27

Bài 7 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9 Hỏi trong các

số đĩ cĩ bao nhiêu số:

a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Khơng bắt đầu bởi chữ số 1?

ĐS: a/ 24 b/ 96 c/ 6 d/ 118

Bài 8 Với mỗi hốn vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên Tìm tổng tất cả các

số tự nhiên cĩ được từ các hốn vị của 7 phần tử trên?

Bài 10 Trên một kệ sách cĩ 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn Các quyển

sách đều khác nhau Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tuỳ ý?

b) Theo từng mơn?

c) Theo từng mơn và sách Tốn nằm ở giữa?

ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!)

Bài 11 Cĩ 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi

xung quanh một bàn trịn Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

Bài 14 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số cĩ 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các

số đã thiết lập được, cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau?

ĐS: 480

Trang 28

Bài 15 Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao

cho:

a/ Bạn C ngồi chính giữa?

b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?

ĐS: a/ 24 b/ 12

Bài 16 Một hội nghị bàn trịn cĩ phái đồn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4

người, Pháp 6 người, Đức 4 người Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?

ĐS: 143327232000

Bài 17 Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a/ Cĩ 5 người trong nhĩm muốn ngồi kề nhau?

b/ Cĩ 2 người trong nhĩm khơng muốn ngồi kề nhau?

Bài 19 Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết

rằng trong đĩ phải cĩ 5 em định trước đứng kề nhau?

ĐS: 4838400

Bài 20 Cĩ 2 đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10

học sinh khối 12 Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phịng thi cĩ 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau cĩ đề khác nhau, cịn các em ngồi nối đuơi nhau cĩ cùng một đề?

ĐS: 26336378880000

Bài 21 Cĩ 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6

viên bi xanh (khác nhau) Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

Trang 29

ĐS: 3360

Bài 24 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ

số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần

ĐS: 5880

Bài 25 Xét những số gồm 9 chữ số, trong đĩ cĩ 5 chữ số 1 và 4 chữ số cịn lại là 2, 3, 4, 5 Hỏi

cĩ bao nhiêu số như thế nếu:

Trang 30

Bài 3: Giải các phương trình sau:

Bài 8: Một cuộc khiêu vũ cĩ 10 nam và 6 nữ Người ta chọn cĩ thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép

thành 3 cặp Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?

ĐS: Cĩ A A103 36 cách

Bài 9: Trong khơng gian cho 4 điểm A, B, C, D Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ –

khơng Hỏi cĩ thể cĩ được bao nhiêu vectơ?

ĐS: A24 = 12 vectơ

Bài 10: Một lớp học chỉ cĩ các bàn đơi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp này cĩ bao nhiêu học sinh, biết

rằng chỉ cĩ thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh)

Trang 31

Bài 14: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số với:

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?

b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?

c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?

Bài 16: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau Các chữ cái được lấy từ

26 chữ cái A, B, C, …, Z Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9 Hỏi:

a) Cĩ bao nhiêu biển số xe trong đĩ cĩ ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đơi một khác nhau?

b) Cĩ bao nhiêu biển số xe cĩ hai chữ cái khác nhau và cĩ đúng 2 chữ số lẻ giống nhau? ĐS: a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26  26 – 1 = 675 cách

Số cách chọn 4 chữ số: A104 = 5040 cách

 Số biển số xe: 675  5040 = 3.402.000 số

Trang 32

Bài 17: a) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đĩ bằng 18?

b) Hỏi cĩ bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đĩ?

a/ Cả 11 cầu thủ cĩ khả năng như nhau? (kể cả thủ mơn)

b/ Cĩ 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B

đá quả số 4

ĐS: a/ 55440 b/ 120

Bài 20: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang

trí Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a/ Người đĩ cĩ 6 pho tượng khác nhau?

b/ Người đĩ cĩ 4 pho tượng khác nhau?

c/ Người đĩ cĩ 8 pho tượng khác nhau?

ĐS: a/ 6! b/ 360 c/ 20160

Bài 21: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 5 chữ số khác nhau và thoả:

a/ Số chẵn b/ Bắt đầu bằng số 24 c/ Bắt đầu bằng số 345

Trang 33

d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đĩ suy ra các số khơng bắt đầu bằng số 1?

ĐS: a/ 312 b/ 24 c/ 6 d/ 120 ; 480

Bài 22: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Cĩ thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số

khác nhau đơi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:

a/ n là số chẵn?

b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?

(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a/ 3000 b/ 2280

Bài 23: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia

Trang 34

+ Không thứ tự, không hoàn lại: Ckn

+ Có thứ tự, không hoàn lại: Akn

Trang 36

Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp

Bài 1: Chứng minh rằng: n

2n 2n

Ta chứng minh: uk > uk+1 (*)

Thật vậy, (*)  Cn2n k Cn2n k Cn2n k 1  Cn2n k 1   n + 2nk > 0

Điều này luơn luơn đúng  đpcm

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp

k 1 n

p 1 n

Trang 37

p 1 m

* Áp dụng bài tốn này ta cĩ thể giải nhiều bài tốn khác Ví dụ:

Cĩ 25 học sinh Muốn lập thành những nhĩm gồm p học sinh Tìm giá trị của p để được số cách chia nhĩm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhĩm đĩ

* Vì cĩ 25 học sinh, chọn p em nên số nhĩm cĩ thể lập là p

25

C Theo trên, ta cĩ m = 25 (lẻ) với k = 12 do đĩ Cp25 lớn nhất khi p = k + 1 = 13

Vậy p = 13, khi đĩ: số nhĩm tối đa cĩ thể lập: 13

25

C = 5200300

Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình cĩ chứa tổ hợp

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Trang 39

Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài tốn số học

Bài 1: Cho 10 câu hỏi, trong đĩ cĩ 4 câu lý thuyết và 6 bài tập Người ta cấu tạo thành các đề thi

Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đĩ nhất thiết phải cĩ ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập Hỏi cĩ thể tạo ra bao nhiêu đề thi?

ĐS:  Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: 2 1

4 6

C C 36

 Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: C C14 26 60

Vậy cĩ: 36 + 60 = 96 đề thi

Bài 2: Một lớp học cĩ 40 học sinh, trong đĩ gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn

chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn, nếu:

a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý b) Cĩ 1 nam và 3 nữ c) Cĩ 2 nam và 2 nữ

d) Cĩ ít nhất 1 nam e) Cĩ ít nhất 1 nam và 1 nữ

ĐS: a) C440 b) C C125 153 c) C C225 152 d) C C125 153 C C225 152 C C325 115C425

e) C440C425C154

Bài 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi cĩ bao nhiêu vectơ

tạo thành từ 5 điểm ấy? Cĩ bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?

ĐS: 20 ; 10

Bài 4: Cĩ 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ đĩ ra 3 tem

thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn Một bì thư chỉ dán 1 tem thư Hỏi cĩ bao nhiêu cách làm như vậy?

Bài 6: Từ 20 người, chọn ra một đồn đại biểu gồm 1 trưởng đồn, 1 phĩ đồn, 1 thư ký và 3 ủy

viên Hỏi cĩ mấy cách chọn?

ĐS: 4651200

Bài 7: Từ 5 bơng hồng vàng, 3 bơng hồng trắng và 4 bơng hồng đỏ (các bơng hoa xem như đơi

một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bĩ hĩa gồm 7 bơng, hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn

Trang 40

ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)

Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} cĩ thể lập được bao nhiêu số:

a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?

b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi một sao cho 5 chữ số đĩ cĩ đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?

Bài 10: a/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác

0), trong đĩ cĩ mặt chữ số 0 nhưng khơng cĩ chữ số 1)

b/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần, chữ số 3 cĩ mặt đúng 3 lần và các chữ số cịn lại cĩ mặt khơng quá một lần

Bài 11: Người ta viết các số cĩ 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số

được viết cĩ một chữ số xuất hiện hai lần cịn các chữ số cịn lại xuất hiện một lần Hỏi cĩ bao nhiêu số như vậy?

Bài 12: Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đĩ cĩ An và Bình, người ta muốn

chọn một tổ cơng tác gồm cĩ 6 người Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:

a/ Trong tổ phải cĩ cả nam lẫn nữ?

b/ Trong tổ cĩ 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình khơng đồng thời cĩ mặt trong tổ?

Bài 13: Một đồn tàu cĩ 3 toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga cĩ 4 khách chuẩn bị đi tàu

Biết mỗi toa cĩ ít nhất 4 chỗ trống Hỏi:

a/ Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa

b/ Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu cĩ 1 toa cĩ 3 trong 4 vị khách nĩi trên

Bài 14: Trong số 16 học sinh cĩ 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Cĩ bao nhiêu cách chia số

học sinh đĩ thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều cĩ học sinh giỏi và mỗi tổ cĩ ít nhất hai học sinh khá

Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài tốn hình học

Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đơi một, nhưng khơng cĩ 3 đường

nào đồng quy Hỏi cĩ bao nhiêu giao điểm? Cĩ bao nhiêu tam giác được tạo thành?

Bài 2: Cho 10 điểm trong khơng gian, trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng

a) Cĩ bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?

Định dạng
Số trang	87
Dung lượng	4,29 MB