Đang tải... (xem toàn văn)
Ở mỗi góc của hình vuông lớn, ngời ta cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để đợc một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp.. Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.[r]
(1)BÀI TẬP TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP THCS PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh số vô tỉ
2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2.
4. a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: a b
ab
b) Cho a, b, c > Chứng minh rằng:
bc ca ab
a b c a b c
c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab 5. Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức: N = a + b.
7. Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ số a b biết rằng: a b a b
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a
b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10. Chứng minh bất đẳng thức:
a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm giá trị x cho:
a) | 2x | = | x |b) x2 4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1. 12. Tìm số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 + 3a + 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 0. 15. Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 + 2a + 8y + 6z + 15 = 0 16. Tìm giá trị lớn biểu thức:
1 A
x 4x
17. So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính):
a) 7 15 b) 17 45 c)
23 19
và 27
d)
18. Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhng nhỏ 19. Giải phương trình: 3x26x 7 5x210x 21 2x x 2.
20. Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 4. 21. Cho
1 1
S
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998
.
Hãy so sánh S
1998
(2)22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ
23. Cho số x y dấu Chứng minh rằng: a)
x y y x
b)
2
2
x y x y
0
y x y x
c)
4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
.
24. Chứng minh số sau số vô tỉ: a) 1
b)
3 m
n
với m, n số hữu tỉ, n
25. Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? 26. Cho số x y khác Chứng minh rằng:
2
2
x y x y
4
y x y x
.
27. Cho số x, y, z dơng Chứng minh rằng:
2 2
2 2
x y z x y z
y z x y z x. 28. Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29. Chứng minh bất đẳng thức:
a) (a + b)2 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2). 30. Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b 2. 31. Chứng minh rằng: x y x y
32. Tìm giá trị lớn biểu thức: A
x 6x 17
.
33. Tìm giá trị nhỏ của:
x y z A
y z x
với x, y, z > 34. Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z = 36. Xét xem số a b số vô tỉ không nếu:
a) ab a
b số vô tỉ. b) a + b
a
b số hữu tỉ (a + b 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0)
37. Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 38. Cho a, b, c, d > Chứng minh:
a b c d
(3)39. Chứng minh 2x x x 1
40. Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96
41. Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa:
2
2
1 1
A= x B C D E x 2x
x
x 4x x 2x 1 x
2
G 3x 1 5x 3 x x
42. a) Chứng minh rằng: | A + B | | A | + | B | Dấu = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M x24x 4 x2 6x 9 . c) Giải phương trình: 4x220x 25 x2 8x 16 x218x 81 43. Giải phương trình: 2x2 8x x 2 4x 12 .
44. Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa:
2
2
1
A x x B C 9x D
1 3x x 5x 6
2
2
1 x
E G x H x 2x 3 x
x 2x x
45. Giải phương trình:
2
x 3x x
46. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x x . 47. Tìm giá trị lớn biểu thức: B x x 48. So sánh: a)
3 a b=
2
; b) 5 13 và 1 c) n 2 n và n+1 n (n số nguyên dương)
49. Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
2
A 1 6x 9x (3x 1) .
50. Tính: a) 3 b) 11 2 c) 27 10 2
2
d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n n 1 n n 1 (n > 1)
51. Rút gọn biểu thức:
8 41 M
45 41 45 41
.
(4)2 2 2
a) x x 2 x 0 b) x 1 x c) x x x x 0
4 2
d) x x 2x 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5
2 2
h) x 2x 1 x 6x 1 i) x 5 x x 25
k) x x 1 x x 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2 55. Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện: xy = x > y CMR:
2
x y
2 x y
.
56. Rút gọn biểu thức:
a) 13 30 b) m m m m
c) 2 2 2 d) 227 30 123 22
57. Chứng minh
6
2
2
58. Rút gọn biểu thức:
6 6 9 2 6
a) C b) D
2
.59. So sánh:
a) 6 20 1+ b) 17 12 1 c) 28 16 2 60. Cho biểu thức: A x x2 4x 4
a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A
61. Rút gọn biểu thức sau: a) 11 10 b) 14 11 6
c)
2 10
62. Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức:
2 2
1 1 1
a b c a b c
63. Giải bất phương trình: x2 16x 60 x 6 . 64. Tìm x cho: x2 3 x 2.
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết rằng: x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x
2x x 2x
.
67. Cho biểu thức:
2
2
x x 2x x x 2x A
x x 2x x x 2x
.
a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa
(5)68. Tìm 20 chữ số thập phân số: 0,9999 (20 chữ số 9) 69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của:
A = | x - 2| + | y 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số: n n n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72. Cho biểu thức A 3 3 Tính giá trị A theo hai cách 73. Tính: ( 2 3 5)( 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)
74. Chứng minh số sau số vô tỉ: 3 ; 3 ; 2 3 75. Hãy so sánh hai số: a 3 b=2 1 ;
5
2
76. So sánh 4 4 số 77. Rút gọn biểu thức:
2
Q
2
.
78. Cho P 14 40 56 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai
79. Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết rằng: x y y x 1. 80. Tìm giá trị nhỏ lớn của: A x x .
81. Tìm giá trị lớn của:
2
M a b
với a, b > a + b
82 CMR số 2b c ad ; 2c d ab ; 2d a bc ; 2a b cd có hai số dương (a, b, c, d > 0)
83. Rút gọn biểu thức: N 18
84. Cho x y z xy yz zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85. Cho a1, a2, …, an > a1a2aan = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n. 86. Chứng minh:
2
a b 2 2(a b) ab
(a, b 0)
87. Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác
88. Rút gọn: a)
2
ab b a
A
b b
b)
2
(x 2) 8x B
2 x
x
89 Chứng minh với số thực a, ta có:
2
a 2 a
Khi có đẳng thức ? 90. Tính: A 3 3 hai cách
91. So sánh: a)
3
và 6,9 b) 13 12
(6)92. Tính:
2 3
P
2 2
.
93. Giải phương trình: x 2x 5 x 2 2x 5 2 94. Chứng minh ta ln có: n
1.3.5 (2n 1) P
2.4.6 2n 2n
; n Z+ 95 Chứng minh a, b >
2
a b
a b
b a
96. Rút gọn biểu thức: A =
x 4(x 1) x 4(x 1)
x x 4(x 1)
.
97. Chứng minh đẳng thức sau:
a b b a
a) : a b
ab a b
(a, b > ; a b)
14 15 a a a a
b) : c) 1 a
1 a a
(a > 0) 98. Tính: a) 5 3 29 20 ; b) 3 5 13 48
c) 48 28 16 48
.
99. So sánh: a) 3 15 b) 2 15 12 16
c) 18 19 d) 25
100. Cho đẳng thức:
2
a a b a a b
a b
2
(a, b > a2 b > 0). Áp dụng kết để rút gọn:
2 3 2 2
a) ; b)
2 2 17 12 17 12
2 10 30 2
c) :
2 10 2
101. Xác định giá trị biểu thức sau:
2
2
xy x y a) A
xy x y
với
1 1
x a , y b
2 a b
(a > ; b > 1) a bx a bx
b) B
a bx a bx
với 2 2am
x , m
b m
102. Cho biểu thức
2
2x x P(x)
3x 4x
(7)a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) <
103. Cho biểu thức
x x x x A
4 x x
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên
104. Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau:
2
a) x b) x x (x 0) c) 1 x d) x 4
2
e) 3x g) 2x 2x h) x 2x i)
2x x
105. Rút gọn biểu thức: A x 2x 1 x 2x 1 , ba cách ?
106. Rút gọn biểu thức sau: a) 5 48 10 3
b) 4 10 5 4 10 5 c) 94 42 5 94 42 5 . 107. Chứng minh đẳng thức với b ; a b
a)
2
a b a b a a b
b)
2
a a b a a b
a b
2
108. Rút gọn biểu thức: A x 2x 4 x 2x 4 109. Tìm x y cho: x y 2 x y
110. Chứng minh bất đẳng thức:
2
2 2
a b c d a c b d . 111. Cho a, b, c > Chứng minh:
2 2
a b c a b c
b c c a a b
.
112. Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh:
a) a 1 b 1 c 3,5 b) a b b c c a . 113. CM:
2 2 2 2
a c b c a d b d (a b)(c d) với a, b, c, d >
114. Tìm giá trị nhỏ của: A x x . 115. Tìm giá trị nhỏ của:
(x a)(x b) A
x
116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 5.
117. Tìm giá trị lớn A = x + x .
upload.123doc.net. Giải phương trình: x 1 5x 1 3x 2 119. Giải phương trình: x x 1 x x 2
120. Giải phương trình: 3x221x 18 x 27x 7 2
(8)122. Chứng minh số sau số vô tỉ: 3 ; 2 123. Chứng minh x 2 x 2.
124. Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học:
2 2
a b b c b(a c) với a, b, c > 0.
125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d >
126. Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác
127. Chứng minh
2
(a b) a b
a b b a
2
với a, b
128 Chứng minh
a b c
2
b c a c a b với a, b, c > 0. 129. Cho x y y x 1 Chứng minh x2 + y2 = 1. 130. Tìm giá trị nhỏ A x x 1 x x 1 131. Tìm GTNN, GTLN A x x .
132. Tìm giá trị nhỏ A x2 1 x2 2x 5
133. Tìm giá trị nhỏ A x24x 12 x22x 3 .
134. Tìm GTNN, GTLN của:
2
a) A 2x x b) A x 99 101 x
135. Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b
1 x y (a b số dương)
136. Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = 137. Tìm GTNN
xy yz zx A
z x y
với x, y, z > , x + y + z =
138. Tìm GTNN
2 2
x y z
A
x y y z z x
biết x, y, z > , xy yz zx 1 . 139. Tìm giá trị lớn của: a)
2
A a b
với a, b > , a + b
b)
4 4 4
B a b a c a d b c b d c d với a, b, c, d > a + b + c + d =
140. Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 4. 141 Tìm GTNN
b c
A
c d a b
với b + c a + d ; b, c > ; a, d 0. 142. Giải phương trình sau:
2
(9)2 2
k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 2x 2
2
m) x 6 x x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5
o) x 1 x x x 3x 5 4 2x p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 x 2 .
2
q) 2x 9x 2x 1 2x 21x 11
143. Rút gọn biểu thức: A2 2 2 18 20 2 144. Chứng minh rằng, n Z+ , ta có:
1 1
1 n 1
2 n
145. Trục thức mẫu:
1
a) b)
1 2 x x 1 . 146. Tính:
a) 5 3 29 20 b) 5 13 48 c) 5 3 29 12 5 147. Cho
a 3 3 10
Chứng minh a số tự nhiên
148. Cho
3 2 2 b
17 12 17 12
b có phải số tự nhiên khơng ? 149. Giải phương trình sau:
a) x x b) x x 3 x x x x
c) d) x x 5
5 x x
150. Tính giá trị biểu thức: M 12 29 25 21 12 29 25 21 151. Rút gọn:
1 1
A
1 2 3 n n
.
152. Cho biểu thức:
1 1
P
2 3 4 2n 2n
a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ?
153. Tính:
1 1
A
2 1 2 3 100 99 99 100
.
154. Chứng minh:
1 1
1 n
2 n
155. Cho a 17 1 Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000. 156. Chứng minh: a a 1 a 2 a 3 (a 3)
157. Chứng minh:
2
x x
2
(x > 0)
(10)159. Tính giá trị biểu thức sau với
3 2a 2a
a : A
4 1 2a 1 2a
.
160. Chứng minh đẳng thức sau:
a) 4 15 10 4 15 2 b) 2 6 1
2
c) 5 10 d) 48 e) 17 5 2
161. Chứng minh bất đẳng thức sau:
5 5
a) 27 48 b) 10
5 5
5 1
c) 0,2 1,01
3
1 3
2 3 3
d)
2 6 6
e) 2 1 2 1,9 g) 17 12 2 1
2 2
h) 7 i) 0,8
4
162. Chứng minh rằng:
1
2 n n n n n
Từ suy ra:
1 1
2004 2005
2 1006009
163. Trục thức mẫu: 3
2
a) b)
2 2
.
164. Cho
3
x y=
3
Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
165. Chứng minh bất đẳng thức sau:
2002 2003
2002 2003 2003 2002 . 166. Tính giá trị biểu thức:
2
x 3xy y A
x y
với x 3 y 3 5. 167. Giải phương trình:
2
6x
3 x x x x
.
168. Giải bất pt: a)
1
3 5x 72 b) 10x 14 c) 2 2x 4
169. Rút gọn biểu thức sau:
a a) A 29 12 b) B a a(a 1) a
a
2 2
2 2
x x x 5x x x
c) C d) D
2x x 3x x (x 2) x
(11)1 1
E
1 2 3 24 25
170. Tìm GTNN GTLN biểu thức A
2 x
.
171. Tìm giá trị nhỏ
2
A
1 x x
với < x < 1.
172. Tìm GTLN của: a) A x 1 y 2 biết x + y = ; b)
y x
B
x y
173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 So sánh a với b, số lớn ? 174. Tìm GTNN, GTLN của:
2
1
a) A b) B x 2x
5 x
.
175. Tìm giá trị lớn A x x .
176. Tìm giá trị lớn A = | x y | biết x2 + 4y2 = 1.
177. Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ; x2 + y2 = 1. 178. Tìm GTNN, GTLN A x x y y biết x y 1 179. Giải phương trình:
2 x
1 x x 3x (x 2)
x
.
180. Giải phương trình: x22x 9 4x 2x . 181. CMR, n Z+ , ta có:
1 1
2 3 (n 1) n . 182. Cho
1 1
A
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
Hãy so sánh A 1,999 183. Cho số x, y x y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ
184. Cho
3
a ; b 2
3
CMR: a, b số hữu tỉ.
185. Rút gọn biểu thức:
2 a a a a a a
P
a
a a a
(a > ; a 1)
186. Chứng minh:
a a 1
4 a a 4a
a a a
(a > ; a 1)
187. Rút gọn:
x 22 8x
2 x
x
(0 < x < 2)
188. Rút gọn:
b ab a b a b
a :
a b ab b ab a ab
(12)189. Giải bất phương trình:
2
2
2
5a x x a
x a
(a 0)
190. Cho
2 a a a a
A a : a a
1 a a
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A
191. Cho biểu thức:
a b a b b b
B
a ab ab a ab a ab
.
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị B a 5 . c) So sánh B với -1
192. Cho
1 a b
A :
a a b a a b a b
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | = -A
c) Tính giá trị A a ; b 2 193. Cho biểu thức
a a 1
A a a
a a a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A
6 a
2
.
c) Tìm giá trị a để A A. 194. Cho biểu thức
a a a a a
A
2 a a a
.
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A để A = -
195. Thực phép tính:
1 a a a a
A :
1 a a a a
196 Thực phép tính:
2 3
B
2 2
197. Rút gọn biểu thức sau:
3
x y 1 1
a) A :
x y
xy xy x y xy x y x y
với x 2 ; y 2
b)
2 2
x x y x x y
B
2(x y)
(13)c)
2
2a x C
1 x x
với
1 a a
x
2 a a
; < a < 1
d)
2
a b D (a b)
c
với a, b, c > ab + bc + ca = 1
e)
x x x x
E 2x
x 2x x 2x
198. Chứng minh:
2
x x 2x
x x
x x x
với x
199. Cho
1 2
a , b
2
Tính a7 + b7. 200. Cho a 1
a) Viết a2 ; a3 dạng m m 1 , m số tự nhiên.
b) Chứng minh với số nguyên dương n, số an viết đợc dới dạng trên.
201. Cho biết x = nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = với hệ số hữu tỉ Tìm nghiệm cịn lại
202. Chứng minh
1 1
2 n n
2 n
với n N ; n 203. Tìm phần nguyên số 6 6 (có 100 dấu căn) 204. Cho
2
a 2 Tính a) a b) a
205. Cho số x, y, x y số hữu tỉ Chứng minh số x , y số hữu tỉ
206. CMR, n , n N:
1 1
2 3 (n 1) n
207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a25 thỏa đk: 25
1 1
a a a a Chứng minh 25 số tự nhiên tồn số
208. Giải phương trình
2 x x
2
2 x 2 x
.
209. Giải biện luận với tham số a
1 x x a x x
.
210. Giải hệ phương trình
x y 2y y z 2z z x 2x
211. Chứng minh rằng: a) Số
7
8 7
(14)b) Số
10
7 3
có mời chữ số liền sau dấu phẩy 212 Kí hiệu an số nguyên gần n (n N*), ví dụ:
1
1 1 a 1 ; 1,4 a 1 ; 1,7 a 2 ; 2 a 2Tính:
1 1980
1 1
a a a a .
213. Tìm phần nguyên số (có n dấu căn): a) an 2 2
b) an 4 4
c) an 1996 1996 1996 1996
214. Tìm phần nguyên A với n N: A 4n2 16n28n 3 215. Chứng minh viết số x =
200
3
dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy
216. Tìm chữ số tận phần nguyên
250
3 217. Tính tổng A 1 2 3 24
218. Tìm giá trị lớn A = x2(3 x) với x 0.
219. Giải phương trình: a) x 1 37 x 2 b) 3 x 2 x 3 . 220. Có tồn số hữu tỉ dương a, b không nếu: a) a b 2 b)
4
a b 2.
221. Chứng minh số sau số vô tỉ: a) 35 b) 234 222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với số không âm:
3
a b c
abc
223. Cho a, b, c, d > Biết
a b c d
1
1 a b c d Chứng minh rằng:
1 abcd
81
224. Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
2 2
x y z x y z
y z x y z x với x, y, z > 0 225. Cho a3333 33 33 ; b 3 Chứng minh rằng: a < b 226. a) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:
n
1
1
n
.
b) Chứng minh số có dạng n n (n số tự nhiên), số 3 có giá trị lớn
(15)230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 6) biết x 3.
231. Một miếng bìa hình vng có cạnh dm Ở góc hình vng lớn, ngời ta cắt hình vng nhỏ gấp bìa để đợc hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính cạnh hình vng nhỏ để thể tích hộp lớn
232. Giải phương trình sau:
3
3
a) 1 x 16 x 3 b) x x 1
3
3 3
c) x 1 x 1 5x d) 2x x 1
3 2 3 3
3
3
x 3x x x 7 x x 5
e) g) x
2 x x
3
2 2 3
3
h) (x 1) (x 1) x 1 1 i) x 1 x 2 x 0
2
4 4 4
k) x x x 3 l) a x b x a b 2x (a, b tham số)
233. Rút gọn
4 2
3 3
2
3 3
a a b b
A
a ab b
.
234. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x2 x 1 x2 x
235. Xác định số nguyên a, b cho nghiệm phương trình: 3x3 + ax2 + bx + 12 = 1 3.
236. Chứng minh 33 số vô tỉ
237. Làm phép tính: a) 13 26 b) 26 238. Tính: a3 20 14 2 3 20 14 2
239. Chứng minh: 2 37 5 2.
240. Tính:
4 4
A 7 48 28 16 7 48
241. Hãy lập phương trình f(x) = với hệ số ngun có nghiệm là: x3339. 242. Tính giá trị biểu thức: M = x3 + 3x 14 với
3
3
1 x
7
.
243. Giải phương trình: a) x 2 325 x 3.
2
3
b) x (x 3) 6 c) x 32 x 32 3 244. Tìm GTNN biểu thức:
3 3
A x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 245. Cho số dơng a, b, c, d Chứng minh: a + b + c + d abcd4
246. Rút gọn:
3 3
3
3 3
8 x x x x
P : x
2 x x x x x
; x > , x 8 247. CMR: x35 17 35 17 nghiệm phương trình x3 - 6x + 10 = 0. 248. Cho
3
1
x 15
4 15
(16)249. Chứng minh đẳng thức:
3
3
3
a
a
2 a a
.
250. Chứng minh bất đẳng thức:
3 9 5 32 5 3 5 2,1 0
.
251. Rút gọn biểu thức sau:
a)
3
4 2
3 3
3
2
3 3 3
3
1
a a b b b 4b b 24
A b)
1
b b
a ab b b 2 1 2.
b
c)
2 2
3 3
3
3
2
3 3
a a 2a b a b a b ab
C
a b
a ab a
.
252. Cho M x2 4a 9 x2 4x 8 Tính giá trị biểu thức M biết rằng:
2
x 4x 9 x 4x 2 .
253. Tìm giá trị nhỏ của: P x2 2ax a x2 2bx b (a < b) 254. Chứng minh rằng, a, b, c độ dài cạnh tam giác thì:
abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)
255. Tìm giá trị biểu thức | x y | biết x + y = xy = -1 256. Biết a b = + , b c = - 1, tìm giá trị biểu thức:
A = a2 + b2 + c2 ab bc ca.
257. Tìm x, y, z biết rằng: x y z x y z 5
258. Cho y x x 1 x x 1 CMR, x giá trị y số
259. Phân tích thành nhân tử: M x 1 x3 x2 x 1 (x 1).
260. Trong tất hình chữ nhật có đường chéo 2, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn
261. Cho tam giác vng ABC có cạnh góc vng a, b cạnh huyền c Chứng minh ta ln có:
a b c
2
262. Cho số dơng a, b, c, a, b, c Chứng minh rằng: Nếu
a b c aa' bb' cc' (a b c)(a ' b ' c')
a' b' c'
263. Giải phương trình: | x2 | + | x2 | = 3.
264. Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y:
x y4
1 x y
C
4xy x y
x y x y
x y x y
(17)2 a a a a a a D
a
a a a
với a > ; a
266. Cho biểu thức
c ac
B a
a c a c
a c
ac c ac a ac
.
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị a c để B > ; B <
267. Cho biểu thức: 2
2mn 2mn
A= m+ m
1+n n n
với m ; n 1
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A với m 56 24 5 c) Tìm giá trị nhỏ A
268. Rút gọn 2
1 x x 1 x x
D
x x
1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x
269. Cho
1 x x
P :
x x x x x x
với x ; x 1.
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x cho P < 270. Xét biểu thức
2
x x 2x x
y
x x x
.
a) Rút gọn y Tìm x để y = b) Giả sử x > Chứng minh rằng: y - | y | = c) Tìm giá trị nhỏ y ?
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI 1. Giả sử số hữu tỉ
m
n
(tối giản) Suy
2
2
2
m
7 hay 7n m n
(1) Đẳng thức chứng tỏ m 72 mà số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 7 số nguyên tố nên n m n chia hết phân số
m
n không tối giản, trái giả thiết Vậy số hữu tỉ; số vơ tỉ
2. Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta đợc vế phải Từ a) b) (ad bc)2 3.Cách 1: Từ x + y = ta có y = - x Do đó: S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2. Vậy S = x = y =
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, Ta có:(x + y)2 (x2 + y2)(1 + 1) 4.2(x2 + y2) = 2S S.2 mim S = x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dơng
bc ca bc ab ca ab ; ;
a b a c b c
, ta lần lợt có:
bc ca bc ca bc ab bc ab
2 2c; 2b
a b a b a c a c ;
ca ab ca ab
2 2a
(18)c) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
3a 5b
3a.5b
(3a + 5b)2 4.15P (vì P = a.b) 122 60P
P 12
5 max P = 12
5 .
Dấu xảy 3a = 5b = 12: a = ; b = 6/5
5. Ta có b = - a, M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) Dấu = xảy a = Vậy M = a = b =
6. Đặt a = + x b3 = - a3 = - (1 + x)3 = - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2 +x3 = -(1 + x)3.
Suy ra: b x Ta lại có a = + x, nên: a + b + x + x =
Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = 1. 7. Hiệu vế trái vế phải (a b)2(a + b).
8. Vì | a + b | , | a b | , nên: | a + b | > | a b | a2 + 2ab + b2 a2 2ab + b2 4ab > ab > Vậy a b hai số dấu
9. a) Xét hiệu: (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 4a = a2 2a + = (a 1)2 0.
b) Ta có: (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c bất đẳng thức có hai vế đều dơng, nên: [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8. 10 a) Ta có: (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) Do (a b)2 0, nên (a + b) 2 2(a2 + b2). b) Xét: (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2 Khai triển rút gọn, ta đợc:
3(a2 + b2 + c2) Vậy: (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2).
11 a)
4 2x x 3x x
2x x
2x x x
x
b) x2 4x
(x 2)2 33 | x | -3 x -1 x
c) 2x(2x 1) 2x (2x 1)2 Nhng (2x 1)2 0, nên có thể: 2x = Vậy: x =
12. Viết đẳng thức cho dạng: a2 + b2 + c2 + d2 ab ac ad = (1) Nhân hai vế (1) với đa dạng: a2 + (a 2b)2 + (a 2c)2 + (a 2d)2 = (2) Do ta có:
a = a 2b = a 2c = a 2d = Suy ra: a = b = c = d = 13. 2M = (a + b 2)2 + (a 1)2 + (b 1)2 + 2.1998 2.1998
M 1998
Dấu = xảy có đồng thời:
a b a b
Vậy M =1998a = b= 1. 14. Giải tương tự 13
15. Đa đẳng thức cho dạng: (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + = 0.
16.
2
1 1
A max A= x
x 4x x 5
.
17 a) 7 15 9 16 7 Vậy 7 15 < 7 b) 17 1 16 4 7 49 45. c)
23 19 23 16 23 2.4
5 25 27
3 3
(19)d) Giả sử
2
3 2 3 18 12 18 12 Bất đẳng thức cuối đúng, nên: .
18. Các số 1,42
2 19.Viết lại phương trình dạng:
2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 16 (x 1) .
Vế trái phương trình khơng nhỏ 6, cịn vế phải khơng lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1
20. Bất đẳng thức Cauchy
a b ab
2
viết lại dạng
2
a b ab
2
(*) (a, b 0). Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy
Ta được:
2
2x xy
2x.xy
2
Dấu = xảy khi: 2x = xy = 4: tức x = 1, y = max A = x = 2, y =
21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng:
1
a b ab . Áp dụng ta có S >
1998
1999. 22. Chứng minh 23. a)
2 2
x y x y 2xy (x y)
2
y x xy xy
Vậy x y
2 yx
b) Ta có:
2 2
2 2
x y x y x y x y x y
A
y x y x y x y x y x
Theo câu a:
2
2
2
x y x y x y
A 2 1
y x y x y x
c) Từ câu b suy ra:
4 2
4 2
x y x y
0
y x y x
Vì x y
2
yx (câu a)
d) Do đó:
4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
.
24 a) Giả sử 1 = m (m: số hữu tỉ) = m2 số hữu tỉ (vô lí) b) Giả sử m +
3
n = a (a: số hữu tỉ)
n = a m 3 = n(a m) 3 số hữu tỉ, vơ lí
25. Có, chẳng hạn (5 2) 5 26. Đặt
2
2
2
x y x y
a a
yx y x Dễ dàng chứng minh
2
2
x y
(20) a2 3a + (a 1)(a 2) (2)
Từ (1) suy a a -2 Nếu a (2) Nếu a -2 (2) Bài tốn đợc chứng minh
27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với:
4 4 2 2
2 2
x z y x z x x z y x z y xyz x y z
Cần chứng minh tử không âm, tức là: x3z2(x y) + y3x2(y z) + z3y2(z x) (1)
Biểu thức không đổi hốn vị vịng x y z x nên giả sử x số lớn Xét hai trường hợp:
a) x y z > Tách z x (1) thành (x y + y z), (1) tương đương với: x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) 0
z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3)
Dễ thấy x y , x3 y2z , y z , yx2 z3 nên bất đẳng thức đúng. b) x z y > Tách x y (1) thành x z + z y , (1) tơng đơng với:
x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) 0 z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) Dễ thấy bất đẳng thức dúng
Cách khác: Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với:
2 2
x y z x y z
1 1
y z x y z x
.
28. Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có: b = c a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ
29 a) Ta có: (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 2(a2 + b2).
b) Xét: (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2 Khai triển rút gọn ta đợc: 3(a2 + b2 + c2) Vậy: (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
c) Tương tự nh câu b
30 Giả sử a + b > (a + b)3 > a3 + b3 + 3ab(a + b) > + 3ab(a + b) > ab(a + b) > ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b: ab > a2 ab + b2 (a b)2 < 0, vơ lí Vậy a + b
31 Cách 1: Ta có: x x ; y y nên x + y x + y Suy x + y số nguyên không vợt x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, x y số nguyên lớn không vợt x + y (2) Từ (1) (2) suy ra: x + y x y
Cách 2: Theo định nghĩa phần nguyên: x - x < ; y - y < Suy ra: (x + y) ( x + y ) < Xét hai trường hợp:
- Nếu (x + y) ( x + y ) < x y = x + y (1)
- Nếu (x + y) ( x + y ) < (x + y) ( x + y + 1) < nên
x y = x + y + (2) Trong hai trường hợp ta có: x + y + x y
32. Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 nên tử mẫu A số dương , suy A > đó: A lớn
1
(21)Vậy max A =
8 x = 3.
33. Khơng dùng phép hốn vị vịng quanh x y z x giả sử x y z
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z:
3
x y z x y z
A
y z x y z x
Do
x y z x y z
min x y z
y z x y z x
Cách 2: Ta có:
x y z x y y z y
y z x y x z x x
Ta có
x y
yx (do x, y > 0) nên để chứng minh
x y z
y z x ta cần chứng minh:
y z y z x x (1) (1) xy + z2 yz xz (nhân hai vế với số dơng xz)
xy + z2 yz xz y(x z) z(x z) (x z)(y z) (2)
(2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm
đợc giá trị nhỏ
x y z yz x.
34. Ta có x + y = x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x y)2 x2 2xy + y2 Từ suy 2(x2 + y2) 16
x2 + y2 A = khi x = y = 35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm:
1 = x + y + z 3.3 xyz (1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) 3.3(x y)(y z)(z x) (2) Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm): 9.3 A
A =
3
2
⇔ max A =
3
2
x = y = z = 3. 36. a) Có thể b, c) Không thể
37. Hiệu vế trái vế phải (a b)2(a + b). 38. Áp dụng bất đẳng thức
1
xy (x y) với x, y > 0:
2 2
2
a c a ad bc c 4(a ad bc c ) b c d a (b c)(a d) (a b c d)
(1)
Tơng tự
2
2
b d 4(b ab cd d ) c d a b (a b c d)
(2) Cộng (1) với (2)
2 2
2
a b c d 4(a b c d ad bc ab cd)
b c c d d a a b (a b c d)
= 4B
Cần chứng minh B
2, bất đẳng thức tương đương với:
(22)- Nếu x - x < 2x - 2 x < 2x (2 x + 1) < 2x = 2 x + 40 Ta chứng minh tồn số tự nhiên m, p cho:
m chữ số 96000 00
a + 15p < m chữ số 97000 00
Tức 96 m m
a 15p
10 10 < 97 (1) Gọi a + 15 số có k chữ số: 10k 1 a + 15 < 10k
k k
1 a 15 1
10 10 10 (2) Đặt n k k
a 15p
x
10 10 Theo (2)
Ta có x1 < k
15 10 < 1.
Cho n nhận lần lợt giá trị 2, 3, 4, …, giá trị xn tăng dần, lần tăng khơng q đơn vị, xn trải qua giá trị 1, 2, 3, Đến lúc ta có xp =
96 Khi 96 xp < 97 tức 96 k k
a 15p
10 10 < 97 Bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
42 a) Do hai vế bất đẳng thức khơng âm nên ta có: | A + B | = | A | + | B | | A + B |2 = ( | A | + | B | )2
A2 + B2 + 2AB = A2 + B2 + 2| AB | AB = | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu = xảy AB =
b) Ta có: M = | x + | + | x | = | x + | + | x | | x + + x | = Dấu = xảy (x + 2)(3 x) -2 x (lập bảng xét dấu) Vậy M = -2 x
c) Phơng trình cho | 2x + | + | x | = | x + | = | 2x + + x | (2x + 5)(4 x) -5/2 x
43. Điều kiện tồn phơng trình: x2 4x
x x
Đặt ẩn phụ x2 4x 5 y 0, ta đợc: 2y2 3y = (y 2)(2y + 1) = 0. 45. Vô nghiệm
46. Điều kiện tồn x x Do đó: A = x + x A = x = 47. Điều kiện: x Đặt x = y 0, ta có: y2 = x x = y2.
B = y2 + y = - (y )2 + 13
4 13
4 max B = 13
4 y = x = 11
4 48 a) Xét a2 b2 Từ suy a = b.
b) 5 13 3 (2 1) 3 1 Vậy hai số c) Ta có: n 2 n 1 n 2 n 1 1 n+1 n n 1 n 1 Mà n 2 n 1 n 1 n nên n+2 n 1 n 1 n
49. A = - | 3x | + | 3x |2 = ( | 3x 1| - )2 + Từ suy ra: A = x = x = 1/6 51. M =
52. x = ; y = ; z = -3
53. P = | 5x | + | 5x | | 5x + 5x | = P =
2
(23)54 Cần nhớ cách giải số phương trình dạng sau:
2
B
A (B 0) A
a) A B b) A B c) A B
A B A B B
B
A
d) A B A B e) A B
B
A B
a) Đa phương trình dạng: A B. b) Đa phương trình dạng: A B. c) Phương trình có dạng: A B 0 . d) Đa phương trình dạng: A B. e) Đa phương trình dạng: | A | + | B | = g, h, i) Phương trình vơ nghiệm
k) Đặt x 1 = y 0, đa phương trình dạng: | y | + | y | = Xét dấu vế trái. l) Đặt: 8x u ; 3x v ; 7x z ; 2x t 0
Ta đợc hệ: 2 2 u v z t u v z t
Từ suy ra: u = z tức là: 8x 1 7x 4 x 3 . 55. Cách 1: Xét x2y2 2(x y) x 2y2 2(x y) 2xy (x y 2)2 0
Cách 2: Biến đổi tương đương
2
2
2
2
x y x y
2
x y x y
(x2 + y2)2 -8(x- y)2 0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 ) (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16
(x2 + y2+ 4)2
Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy:
2 2 2
x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1
(x y) (x y)
x y x y x y x y x y
(x > y).
Dấu đẳng thức xảy
6
x ; y
2
6
x ; y
2
62.
2
2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 2(c b a
a b c a b c ab bc ca a b c abc
=
= 2
1 1
a b c Suy điều phải chứng minh.
63. Điều kiện:
2 (x 6)(x 10) 0 x
x 16x 60 x 10
x 10 x
x
x
.
Bình phương hai vế: x2 16x + 60 < x2 12x + 36 x > 6. Nghiệm bất phương trình cho: x 10
(24)Đặt thừa chung: x 32 .(1 - x2 3)
2
2
x
x
x
1 x x 2
Vậy nghiệm bất phương trình: x = 3 ; x ; x -2.
65. Ta có x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + = - x2 0. Do đó: A2 4A +
(A 1)(A 3) A
min A = x = 0, y = max A = x = 0, y = 66 a) x
b) B có nghĩa
2
2
2
4 x 4 x
16 x
x 2
2x (x 4) x 2
2 x 2
1
x 8x x
1
2 x
2
.
67 a) A có nghĩa
2
2
2
x 2x x(x 2) x
x
x x 2x
x x 2x
b) A = x2 2x với điều kiện trên.
c) A < x2 2x < x2 2x < (x 1)2 < - < x < 2 kq 68. Đặt 20 chữ số
0,999 99
= a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân a chữ số Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có: < a < a(a 1) < a2 a < a2 < a Từ a2 < a < suy a < a <
Vậy 20 chữ số 20 chữ số 0,999 99 0,999 99
69 a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | | a | + | b |
A | x | + + | y | + = + max A = + (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a b | | a | - | b
A | x | - | y | - = - A = - (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70. Ta có: x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 Suy ra:
x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)
Mặt khác, dễ dàng chứng minh đợc: Nếu a + b + c = a2 + b2 + c2
1 3.
Do từ giả thiết suy ra: x2y2 + y2z2 + z2x2
1
3 (2).
Từ (1) , (2): A =
1
3 x = y = z = 3
(25)72. Cách 1: Viết biểu thức dới dấu thành bình phương tổng hiệu
Cách 2: Tính A2 suy A. 73. Áp dụng: (a + b)(a b) = a2 b2. 74. Ta chứng minh phản chứng
a) Giả sử tồn số hữu tỉ r mà 3 5 = r + 2 15 + = r2
2
r 15
2
Vế trái số vô tỉ, vế phải số hữu tỉ, vơ lí Vậy 3 5 số vô tỉ.
b), c) Giải tương tự
75. a) Giả sử a > b biến đổi tương đương: 3 2 1 3 2 2
2
3 2 2 27 8 2 15 2 225 128
Vậy a > b b) Bình phương hai vế lên so sánh
76. Cách 1: Đặt A = 4 4 7, rõ ràng A > A2 = A =
Cách 2: Đặt B = 4 4 2.B 7 0 B =0
77
4 2 4
2 2.3 2.4
Q
2 4
.
78. Viết 40 2.5 ; 56 2.7 ; 140 5.7 Vậy P = 2 5 7.
79. Từ giả thiết ta có: x y 1 y x Bình phương hai vế đẳng thức ta đợc: y x Từ đó: x2 + y2 = 1.
80. Xét A2 để suy ra: A2 Vậy: A = 2
x = ; max A = x = 81. Ta có:
2 2
M a b a b a b 2a 2b 2
a b
max M a b
2 a b
.
82. Xét tổng hai số:
2a b cd 2c d ab a b ab c d cd a c =
=
2
a c a b c d a c
83. N 18 12 4 2 =
=
2
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2
84. Từ x y z xy yz zx
2 2
x y y z z x 0 Vậy x = y = z
85. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ( i = 1, 2, 3, n )
86. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ab 0, ta có:
2
(26)87. Giả sử a b c > Ta có b + c > a nên b + c + bc > a hay
2
b c a Do đó: b c a Vậy ba đoạn thẳng a , b , c lập thành tam giác. 88 a) Điều kiện: ab ; b Xét hai trường hợp:
* Trờng hợp 1: a ; b > 0:
b.( a b) a a b a
A
b b
b b b
* Trờng hợp 2: a ; b < 0:
2
ab b a a a a
A 1
b b b b
b
.
b) Điều kiện:
2
(x 2) 8x
x x
x 2
x
x
Với điều kiện thì:
2 x x
(x 2) 8x (x 2) x B
2 x 2 x 2
x x
Nếu < x < | x | = -(x 2) B = - x Nếu x > | x | = x B = x
89. Ta có:
2
2
2
2 2
a 1
a
a
a a a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
2
2
1
a a
a a
Vậy
2
a 2 a
Đẳng thức xảy khi:
2
2
1
a a
a
.
93. Nhân vế pt với 2, ta được: 2x 3 2x 4 x 5/2 94. Ta chứng minh qui nạp tốn học:
a) Với n = ta có:
1 P
2
(*)
b) Giả sử: k
1 1.3.5 (2k 1) P
2.4.6 2k
2k 2k
(1)
c) Ta chứng minh (*) n = k + , tức là:
k
1 1.3.5 (2k 1) P
2.4.6 (2k 2)
2k 2k
(2)
Với số nguyên dương k ta có:
2k 2k 2k 2k
(3)
Nhân theo vế bất đẳng thức (1) (3) ta đợc bất đẳng thức (2) Vậy n Z+
Ta có n
1.3.5 (2n 1) P
2.4.6 2n 2n
(27)95. Biến đổi tơng đơng:
2 3
a b a b
a b a b
b a ab
2
( a b)(a ab b)
a b ab a ab b a b
ab
(đúng)
96 Điều kiện:
2
x 4(x 1)
1 x x 4(x 1)
x x 4(x 1)
x
Xét hai khoảng < x < x > Kết quả:
2
A A=
1 x x-1
105. Cách 1: Tính A Cách 2: Tính A2
Cách 3: Đặt 2x 1 = y 0, ta có: 2x = y2.
2 y 1
y 2y y 2y
2x 2x 2x 2x y
A
2 2 2
Với y (tức x 1),
1
A (y y 1)
2
Với y < (tức
1
2 x < 1),
1 2y
A (y y 1) y 4x
2
108. Nếu x A = 2 Nếu x A = x 2 .
109. Biến đổi: x y 2 x y Bình phương hai vế rút gọn, ta đợc:
2(x y 2) xy Lại bình phương hai vế rút gọn: (2 y)(x 2) = 0.
Đáp: x = , y , x , y = 110. Biến đổi tương đương:
(1) a2 + b2 + c2 + d2 +
2 2
a b c d
a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd
2 2
a b c d
ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) chứng minh * Nếu ac + bd 0, (2) tơng đơng với:
(a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 + 2abcd (ad bc)2 (3) Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) đợc chứng minh 111. Cách 1: Theo bất đẳng thức Cauchy:
2 2
a b c 2 a .b c 2.a a a a b c
b c b c b c
.
Tơng tự:
2
b b a c ; c c a b
a c a b
.
Cộng vế bất đẳng thức:
2 2
a b c a b c a b c a b c
b c c a a b 2
(28)
2 2
2 2
a b c X b c c a a b
b c c a a b
≥
2
a b c b c a c a b
b c c a a b
⇒
2 2 2
2
a b c 2(a b c) (a b c) a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
.
112 a) Ta nhìn tổng a + dạng tích 1.(a + 1) áp dụng bđt Cauchy:
x y xy
2
(a 1) a
a 1.(a 1)
2
Tơng tự:
b c
b 1 ; c 1
2
Cộng vế bất đẳng thức:
a b c
a b c 3,5
2
Dấu = xảy a + = b + = c + a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = Vậy: a 1 b 1 c 3,5 .
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với hai ba số:
1 a b b c c a 2 (1 1)X a b 2 b c 2 c a 2
a b b c c a 2
3(a + b + b + c + c + a) = 6 a b b c c a 113. Xét tứ giác ABCD có AC BD, O giao điểm hai đờng chéo
OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > Ta có:
2 2 2 2
AB a c ; BC b c ; AD a d ; CD b d
AC = a + b ; BD = c + d Cần chứng minh: AB.BC + AD.CD AC.BD Thật ta có: AB.BC 2SABC ; AD.CD 2SADC Suy ra:
Suy ra: AB.BC + AD.CD 2SABCD = AC.BD
Vậy:
2 2 2 2
a c b c a d b d (a b)(c d)
Chú ý: Giải cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
(m2 + n2)(x2 + y2) (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có: (a2 + c2)(c2 + b2) (ac + cb)2
2 2
a c c b
ac + cb (1) Tơng tự:
2 2
a d d b
ad + bd (2) Cộng (1) (2) suy đpcm
114. Lời giải sai:
2
1 1
A x x x Vaäy minA
2 4
.
Phân tích sai lầm: Sau chứng minh f(x) -
1
4 , chia trường hợp xảy f(x) = -1
4
a d
b c
O D
C B
(29)Xảy dấu đẳng thức
1 x
2
Vơ lí
Lời giải đúng: Để tồn x phải có x Do A = x + x A = x =
115. Ta có
2
(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab
A x (a b)
x x x
.
Theo bất đẳng thức Cauchy:
ab
x ab
x
nên A ab + a + b =
2
a b
.min A
=
2
a b
chi
ab x
x ab
x x
.
116. Ta xét biểu thức phụ: A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki: (am + bn)2 (a2 + b2)(m2 + n2) (1)
Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có:
A2 = (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2).
Vói cách ta khơng đợc số mà A2 Bây giờ, ta viết A2 dới dạng:
A2 =
2
2 2x 3y
áp dụng (1) ta có:
2 2 2
2 2
A x y (2 3)(2x 3y ) 5.5 25
Do A2 25 nên -5 A A = -5
x y
x y
2x 3y
max A =
x y
x y 2x 3y
117. Điều kiện x Đặt x = y 0, ta có: y2 = x.
2
2 9
a y y y maxA= y x
2 4 4
upload.123doc.net. Điều kiện x ; x 1/5 ; x 2/3 x
Chuyển vế, bình phương hai vế: x = 5x + 3x + 15x 13x 22 (3) Rút gọn: 7x = 15x 13x 22 Cần có thêm điều kiện x 2/7.
Bình phơng hai vế: 28x + 49x2 = 4(15x2 13x + 2) 11x2 24x + = 0 (11x 2)(x 2) = x1 = 2/11 ; x2 =
Cả hai nghiệm khơng thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho vơ nghiệm 119. Điều kiện x Phương trình biến đổi thành:
x 1 x 1 2 x 1 x 1 1
* Nếu x > thì: x 1 x 1 1 x 1 x 2 , không thuộc khoảng xét * Nếu x thì: x 1 x 1 2 Vô số nghiệm x 2
Kết luận: x 120. Điều kiện: x2 + 7x + Đặt x27x 7 = y
x2 + 7x + = y2 Phơng trình cho trở thành: 3y2 + 2y =
(30) (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + nghiệm (1)
121. Vế trái: 3(x 1) 24 5(x 1) 9 2 4 5
Vế phải: 2x x2 = (x + 1)2 Vậy hai vế 5, x = - Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận: x = -
122 a) Giả sử 3 2 = a (a: hữu tỉ) - 2 6 = a2
2 a
2
Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ Vơ lí Vậy 3 2 số vô tỉ.
b) Giải tơng tự câu a
123. Đặt x 2 = a, x = b, ta có a2 + b = Sẽ chứng minh a + b Cộng vế bất đẳng thức:
2
a b
a ; b
2
124. Đặt đoạn thẳng BH = a, HC = c đờng thẳng Kẻ HA BC với AH = b Dễ thấy AB.AC 2SABC = BC.AH 125. Bình phương hai vế rút gọn, ta đợc bất đẳng thức tương
đương: (ad bc)2 Chú ý: Cũng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki. 126. Giả sử a b c > Theo đề bài: b + c > a Suy ra: b + c + bc > a
2
b c a b c a
Vậy ba đoạn thẳng có độ dài b , c , a lập thành tam giác 127. Ta có a, b Theo bất đẳng thức Cauchy:
2
(a b) a b a b a b ab a b
2 2
Cần chứng minh:
1 ab a b
2
a b b a Xét hiệu hai vế:
1 ab a b
2
- ab a b =
1
ab a b a b
2
= =
2
1
ab a b
2
0
Xảy dấu đẳng thức: a = b =
1
4 a = b = 0.
128. Theo bất đẳng thức Cauchy:
b c.1 b c 1 : 2 b c a
a a 2a
.
Do đó:
a 2a
b c a b c Tương tự:
b 2b ; c 2c
a c a b c a b a b c Cộng vế:
a b c 2(a b c) 2
b c c a a b a b c
.
c a
b
C B
(31)Xảy dấu đẳng thức:
a b c
b c a a b c
c a b
, trái với giả thiết a, b, c > 0. Vậy dấu đẳng thức không xảy
129. Cách 1: Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki Ta có:
x y2 y x22 x2 y y x2 2
Đặt x2 + y2 = m, ta đợc: 12 m(2 - m) (m 1)2 m = (đpcm).
Cách 2: Từ giả thiết: x y 1 y x Bình phương hai vế:
x2(1 y2) = 2y x + y2(1 x2) x2 = 2y x + y2 = (y - x )2 y = x x2 + y2 = 130. Áp dụng | A | + | B | | A + B | A = x
131. Xét A2 = + 2 x Do x 2 + 2 x 4
A2 A = với x = , max A = với x = 132. Áp dụng bất đẳng thức: a2b2 c2d2 (a c) (b d) (bài 23)
2 2 2
A x 1 (1 x) 2 (x x) (1 2) 10
1 x
min A 10 x
x
133. Tập xác định:
2
2
x 4x 12 (x 2)(6 x)
1 x (x 1)(3 x)
x 2x
(1)
Xét hiệu: (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > 0.
Xét:
2
A (x 2)(6 x) (x 1)(3 x)
Hiển nhiên A2 dấu = không xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dới dạng khác:
A2 = (x + 2)(6 x) + (x + 1)(3 x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = = (x + 1)(6 x) + (6 x) + (x + 2)(3 x) (3 x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)
= (x + 1)(6 x) + (x + 2)(3 x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) +
=
2 (x 1)(6 x) (x 2)(3 x) 3
A2 Do A > nên A = 3 với x = 0. 134 a) Điều kiện: x2 5.
* Tìm giá trị lớn nhất: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: A2 = (2x + 1. x )2 (22 + 11)(x2 + x2) = 25
A2 25
2
2 2
2 2
x
x 5 x
A 25 x 4(5 x ) x
x x 5
.
Với x = A = Vậy max A = với x =
(32)A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 - 5 x 5 Do đó: 2x - 2 5 và
2
5 x Suy ra:
A = 2x + x - 2 5 Min A = - 2 5 với x = -
b) Xét biểu thức phụ | A | áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy:
2 2
2
A x 99 99 101 x x (99 1)(99 101 x ) x 10 200 x
x 200 x
10 1000
2
2
2
2
x 101
99 99
A 1000 x 10
1 101 x
x 200 x
Do đó: - 1000 < A < 1000. A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10
135. Cách 1: A = x + y = 1.(x + y) =
a b ay bx
x y a b
x y x y
.
Theo bất đẳng thức Cauchy với số dơng:
ay bx ay bx
2 ab
x y x y .
Do
2
A a b ab a b
2
min A a b
với
ay bx
x y
x a ab a b
1
x y y b ab
x, y
Cách 2: Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
2
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x y a b
x y x y
.
Từ tìm đợc giá trị nhỏ A
136. A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z) 2 A = chẳng hạn y = z = , x = -
137 Theo bất đẳng thức Cauchy:
xy yz xy yz
2 2y
z x z x . Tơng tự:
yz zx zx xy
2z ; 2x
x y y z Suy 2A 2(x + y + z) = 2. A = với x = y = z =
1 3.
138. Theo tập 24:
2 2
x y z x y z
x y y z z x
(33)xy yz zx
x y y z z x x+y+z
xy ; yz ; zx nên
2 2 2
A =
1 2
1 x y z
3
139 a)
2 2
A a b a b a b 2a 2b 2
a b
max A a b
2 a b
b) Ta có:
4 4
2
a b a b a b 2(a b 6ab)
Tơng tự:
4
2 2
4
2 2
4
2
a c 2(a c 6ac) ; a d 2(a d 6ad) b c 2(b c 6bc) ; b d 2(b d 6bd) c d 2(c d 6cd)
Suy ra: B 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 6
1
a b c d
max B a b c d
4 a b c d
140. A 3 x3y 2 3x y 2 3x y 2 34 18 A = 18 với x = y = 2. 141. Khơng tính tổng qt, giả sử a + b c + d Từ giả thiết suy ra:
a b c d b c
2
b c b c c c a b c d c d c d
A
c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b
Đặt a + b = x ; c + d = y với x y > 0, ta có:
x y y y x y x y x y 1
A
2y y x 2y x 2y x 2y x 2
1
min A d , x y , b c a d
; chẳng hạn a 1, b 1,c 2,d 0
142 a) (x 3) 2( x 3)20 Đáp số: x =
b) Bình phơng hai vế, đa về: (x2 + 8)(x2 8x + 8) = Đáp số: x = + 2 2. c) Đáp số: x = 20
d) x 2 x 1 Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm.
e) Chuyển vế: x x 1 x 1 Bình phương hai vế Đáp số: x = g) Bình phương hai vế Đáp số:
1
2 x 1
(34)y 2 y y y 1 Tìm đợc y Đáp số: x 11.
i) Chuyển vế: x x 1 x, bình phương hai vế Đáp: x = (chú ý loại x = 16
25 )
k) Đáp số: 16 25
l) Điều kiện: x x = - Bình phương hai vế rút gọn:
2
2 2(x 1) (x 3)(x 1) x 1. Bình phương hai vế: 8(x + 1)2(x + 3)(x 1) = (x + 1)2(x 1)2
(x + 1)2(x 1)(7x + 25) = 0; 25
x
loại Nghiệm là: x =
m) Vế trái lớn x, vế phải khơng lớn x Phương trình vơ nghiệm
n) Điều kiện: x - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x - Nghiệm là: x = - o) Do x nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình
p) Đặt 2x 3 x 2 y ; 2x 2 x 2 z (1) Ta có:
2
y z 1 x ; y z x 2 Suy y z = 1.
Từ z x 2 (2) Từ (1) (2) tính đợc x Đáp số: x = (chú ý loại x = - 1). q) Đặt 2x2 9x + = a ; 2x b Phương trình là: a b a 15b Bình ph-ương hai vế rút gọn ta đợc: b = b = a Đáp số:
1 ;
144. Ta có:
2 k k
1 2
2 k k
k k k k k k k k
Vậy:
1 1
1 2( 1) 2( 2) 2( 3) 2( n n )
2 n
= = 2( n 1) (đpcm)
150. Đa biểu thức dới dấu dạng bình phương M = -2 151. Trục thức mẫu hạng tử Kết quả: A = n -
152 Ta có:
1
( a a 1) P ( 2n 1) a a 1 .
P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng)
153. Ta chứng minh:
1 1
A 10 (n 1) n n n 1 n n 1 154.
1 1 1
1 n n
2 n n
(35)
A = [(a + 1)5 3(a + 1)4 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 14(a + 1)]2000 = (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 1.
156. Biến đổi:
1
a a ; a a
a a a a
.
157.
2
2 1 1
x x x x x x x x
2 4 2
.
Dấu = khơng xảy khơng thể có đồng thời:
1
x x
2
168. Trớc hết ta chứng minh: a b 2(a2b )2 (*) (a + b 0) Áp dụng (*) ta có: S x 1 y 2 2(x y 2)
3 x
x y 2
maxS
x y
y
* Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
180. Ta phải có A Dễ thấy A > Ta xét biểu thức:
2
1
B x
A
Ta có:
2 2
0 x 3 x 0 2 2 x 2.
2
min B 2 3 x x 0 Khi
1
max A
2
2
max B 2 x 0 x 3 Khi A =
181. Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức:
2x x B
1 x x
Khi đó: 2x x
(1) 2x x
B 2 B 2 x x
1 x x 0 x (2)
Giải (1): 2x2 = (1 x)2
x = x Do < x < nên x = x
x =
2 1 .
Nh B = 2 x = -
Bây ta xét hiệu:
2 2x x 2x 1 x
A B
1 x x x x x x
Do A = 2 + x = -
(36)a b
ab
Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức:
2
a b 2(a b )
A x 1 y 2 2(x y 3) x y x 1,5 max A
x y y 2,5
Cách khác: Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy.
b) Điều kiện: x , y Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích:
a b ab
2
Ta xem biểu thức x , y 2 tích:
2(y 2) x 1.(x 1) , y
2
Theo bất đẳng thức Cauchy:
x 1.(x 1) x 1
x x 2x
y 2.(y 2) y 2
y y 2y 2
x 1 x
1 2
max B
y 2 y
2 4
183.
1
a , b
1997 1996 1998 1997
Ta thấy 1997 1996 1998 1997 Nên a < b
184 a) A = - với x = max A =
5 với x = 6. b) B = với x = max B = với x =
185. Xét x A Xét x
2
2 x (1 x )
A x (1 x )
2
2
x x
1
max A x
2 x
186. A = x y 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki:
2
2 1 2
A (x y) 1.x 2y (x 4y )
2 4
2
2
2y x
5
max A = x
2 5
x 4y y
10
hoặc
2 x
5 y
10
187 a) Tìm giá trị lớn nhất: Từ giả thiết:
3
3 2
3
0 x x x
x y x y
0 y y y
(37)3
3
x x
max A x 0, y V x 1, y y y
b) Tìm giá trị nhỏ nhất: (x + y)2 2(x2 + y2) = x + y
x y
2
2
Do đó:
3
3 x y x y
x y
2
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
2 2 2 2
3 3 3
(x y )(x y) x y x y x x y y
= (x2 + y2) = 1
1
min A x y
2
188. Đặt x a ; y b , ta có a, b 0, a + b =
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) = a2 ab + b2 = (a + b)2 3ab = 3ab. Do ab nên A max A = a = b = x = x = 1, y =
Ta có
2
(a b) 1 1
ab ab 3ab A x y
4 4 4
189. Điều kiện: x , x nên x Ta có:
x 1 x (x 1)(x 2) x
x
x (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) 3 x 3 x 8
190. Ta có: + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phơng trình xác định với giá trị x Đặt x22x 3 = y 0, phơng trình có dạng:
y2 - y 2 - 12 =
(y - 2)(y + 2) =
y
y 2 (loai y
Do x22x 3 = 3 2 x2 + 2x + = 18
(x 3)(x + 5) = x = ; x = -5 191. Ta có:
1 1 1 1
k k k
(k 1)k k k
(k 1) k k k k k
=
k 1
1
k k k
Do đó:
1 1
2
(k 1) k k k
.
Vậy:
1 1 1 1 1
2
2 (n 1) n 2 n n
=
1
2
n
(đpcm). 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy
1
a b
ab (a, b > ; a 0). 193. Đặt x y = a , x + y = b (1) a, b Q
(38)b) Nếu b
x y a a
x y
b b
x y
Q (2).
Từ (1) (2):
1 a a
x b Q ; y b Q
2 b b
.
199. Nhận xét:
2 2 2
x a x x a x a
Do đó:
2 2
2
2 2
2 2
5 x a x x a x
5a
2 x x a (1) x x a
x a x a
Do a nên: x2a2 x x2 xx x 0 Suy ra: x2a2 x 0 , x.
Vì vậy: (1)
2 2 2
2 2
x x
2 x a x a x 5x x a
25x 9x 9a
x
3
x a
3 4
0 x a
4
.
207 c) Trước hết tính x theo a đợc
1 2a x
2 a(1 a)
Sau tính 1 x2
a(1 a)
Đáp số: B =
d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tơng tự:
b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số: M = 0.
208. Gọi vế trái A > Ta có
2 2x
A
x
Suy điều phải chứng minh 209. Ta có: a + b = - , ab = -
1
4 nên: a2 + b2 = (a + b)2 2ab = + 22. a4 + b4 = (a2 + b2)2 2a2b2 =
9 17
4 9 8 ; a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = - -
3
4 Do đó: a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) a3b3(a + b) =
7 17 239
4 64 64
.
210 a) a2 ( 1) 3 2 9 8.
3
a ( 1) 2 7 50 49.
b) Theo khai triển Newton: (1 - 2)n = A - B 2 ; (1 + 2)n = A + B 2 với A, B N
Suy ra: A2 2B2 = (A + B 2)(A - B 2) = [(1 + 2)(1 - 2)]n = (- 1)n. Nếu n chẵn A2 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 2B2 = - (2).
Bây ta xét an Có hai trường hợp:
(39)A2 2B2 = đợc thỏa mãn (1).
*Nếu n lẻ thì: an = ( 2 - 1)n = - (1 - 2)n = B 2 - A = 2B2 A2 Điều kiện 2B2 A2 = đợc thỏa mãn (2).
211. Thay a = vào phương trình cho: 2 + 2a + b + c = 2(b + 2) = -(2a + c)
Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào ph-ương trình cho:
x3 + ax2 2x 2a = x(x2 2) + a(x2 2) = (x2 2)(x + a) = 0. Các nghiệm phương trình cho là: - a
212. Đặt
1 1
A
2 n
a) Chứng minh A n 3 : Làm giảm số hạng A:
1 2
2 k k k k k k 1 k
Do A 2 2 3 3 4 n n 1
2 n 2 n 2 n n
b) Chứng minh A n 2 : Làm trội số hạng A:
1 2
2 k k k k k k k 1
Do đó: A 2 n n 1 3 2 2 1 2 n 2 . 213. Kí hiệu an 6 6 có n dấu Ta có:
1 100 99
a ; a a 3 ; a a 3 a a 3 Hiển nhiên a100 > > Nh < a100 < 3, [ a100 ] =
214 a) Cách 1 (tính trực tiếp): a2 = (2 + 3)2 = + 4 3.
Ta có 3 48 nên < 4 3 < 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13.
Cách 2 (tính gián tiếp): Đặt x = (2 + 3)2 x = + 4 3 Xét biểu thức y = (2 - 3)2 y = - 4 3 Suy x + y = 14.
Dễ thấy < - < nên < (2- 3)2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13.
b) Đáp số: [ a3 ] = 51.
215. Đặt x y = a ; x y b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp:
a) Nếu b
x y a a
x y
b b
x y
số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) Ta có:
1 a
x b
2 b
số hữu tỉ ;
1 a
y b
2 b
(40)b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ 216. Ta có
1 n 1 1 1
n n
n(n 1) n n
(n 1) n n n n n
n 1 1
1
n n n n n
Từ ta giải đợc toán.
217. Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < < a25 Suy ra: a1 , a2 , …
a25 25 Thế thì: 25
1 1 1
a a a 1 2 25 (1) Ta lại có:
1 1 2
25 24 25 25 24 24 2
2 2
25 24 24 23 1
24 24 23 23 2
2 25 1
(2)
Từ (1) (2) suy ra: 25
1 1
a a a , trái với giả thiết Vậy tồn hai số 25 số a1 , a2 , , a25
218. Điều kiện: x Đặt 2 x a ; 2 x b Ta có: ab = x , a2 + b2 = Phương trình là:
2
a b
2 a b a2 - a2b + b2 + ab2 = 2(2 - b + a - ab)
2(a2 + b2 + ab) ab(a b) = 2(a b)
2(2 + ab) = (a b)(2 + ab) (chú ý: a2 + b2 = 4) a b = (do ab + 0)
Bình phơng: a2 + b2 2ab =
2ab = ab = x = Tìm đợc x = 219. Điều kiện: < x , a Bình phương hai vế thu gọn:
2 a
1 x
a
. Với a 1, bình phương hai vế, cuối đợc: x =
2 a a 1 . Điều kiện x thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy)
Kết luận: Nghiệm x = a
a 1 Với a 1.
220. Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz 0, hiển nhiên x, y, z >
Từ hệ phương trình cho ta có:
2y 2y
x y
1 y y
(41)Tơng tự y z ; z x Suy x = y = z Xảy dấu = bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận: Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1)
221 a) Đặt A = (8 + 7)7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B <
1
10 A + B số tự nhiên.
Chọn B = (8 - 7)7 Dễ thấy B > > 3 7 Ta có + 3 7 > 10 suy ra:
7
7 7
1 1
8
10 10
8
Theo khai triển Newton ta lại có: A = (8 + 7)7 = a + b 7 với a, b N B = (8 - 7)7 = a - b 7 Suy A + B = 2a số tự nhiên.
Do
1 B
10
A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy
Chú ý: 10- 7 = 0,0000001. b) Giải tơng tự nh câu a
222. Ta thấy với n số phương n số tự nhiên, n khác số phơng n số vơ tỉ, nên n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n N* có số nguyên an gần n
Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta chứng minh an lần lợt nhận giá trị: hai số 1, bốn số 2, sáu số Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình:
1
1 x
2
có hai nghiệm tự nhiên
1
2 x
2
có bốn nghiệm tự nhiên
1
3 x
2
có sáu nghiệm tự nhiên Tổng quát:
1
k x k
2
có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tơng đ-ơng với: k2 k +
1
4 < x < k2 + k +
4 Rõ ràng bất phơng trình có 2k nghiệm tự nhiên là: k2 k + ; k2 k + ; ; k2 + k Do đó:
1 1980
2 soá soá 88 soá
1 1 1 1 1 2.44 88
a a a 1 2 2 44 44 44
223. Giải tơng tự 24
a) < an < Vậy [ an ] = b) an Vậy [ an ] = c) Ta thấy: 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116.
a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n 45 < an < 46
(42)224. Cần tìm số tự nhiên B cho B A < B + Làm giảm làm trội A để đợc hai số tự nhiên liên tiếp
Ta có: (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 4n + < 16n28n 3 < 4n + 2 4n2 + 4n + < 4n2 + 16n28n 3 < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n +
(2n + 1)2 < 4n2 + 16n2 8n 3 < (2n + 2)2
Lấy bậc hai: 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n +
225. Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện: < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận (2)
Ta chọn y =
200
3
Ta có < 3 2 < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) đợc chứng minh
Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có:
200 200 100 100
x y 3 3 6 6
Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + 2 6 , b = - 2 6.
Sn = (5 + 6)n = (5 - 2 6)n
A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức là: a2 = 10a (3) ; b2 = 10b (4).
Nhân (3) với an , nhân (4) với bn: an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn. Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2 - Sn+1 (mod 10)
Do Sn+4 - Sn+2 Sn (mod 10) (5)
Ta có S0 = (5 + 6)0 + (5 - 2 6)0 = + = ; S1 = (5 + 2 6) + (5 - 2 6) = 10. Từ cơng thức (5) ta có S2 , S3 , , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh
226. Biến đổi
250 125
3 6
Phần nguyên có chữ số tận
(Giải tương tự 36) 227 Ta có:
A 1 3 4 8 9 15 16 24
Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm
Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 228 a) Xét x Viết A dới dạng: A =
x 2
x
2.(3 x) Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho số không âm
x 2,
x
2 , (3 x) ta đợc: x 2.
x
2.(3 x)
3 x x x
2 1
3
.
(43)b) Xét x > 3, A (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận:
x x
max A x
x
.
229 a) Lập phơng hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đ-ợc:
3
x x (x 1)(7 x).2 8 (x 1)(7 x) 0 x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện: x - (1) Đặt x y ; x z Khi x = y2 ; x + = z2 nên z2 y3 = Phương trình cho đa hệ:
2
y z (2)
z y (3)
z (4)
Rút z từ (2): z = y Thay vào (3): y3 y2 + 6y = (y 1)(y2 + 6) = y = 1 Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận: x =
230 a) Có, chẳng hạn:
1 2
2 .
b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dơng a, b mà a b 4 2 Bình phơng hai vế:
a b ab ab (a b) .
Bình phơng vế: 4ab = + (a + b)2 2(a + b) 2 2(a + b) 2 = + (a + b)2 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b 0), mâu thuẩn
231 a) Giả sử 35 số hữu tỉ
m
n (phân số tối giản) Suy = 3 m
n Hãy chứng
minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết
m
n phân số tối giản.
b) Giả sử 323 4 số hữu tỉ
m
n (phân số tối giản) Suy ra:
3 3
3 3
3 3
3
m 2 4 6 8.m 6 6m m 6n 6mn (1) m 2 m 2
n n n Thay
m = 2k (k Z) vào (1): 8k3 = 6n3 + 12kn2 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho n3 chia hết cho n chia hết cho Nh m n chia hết cho 2, trái với
giả thiết
m
n phân số tối giản.
232. Cách 1: Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh
3
a b c abc
3
tơng đơng với
3 3
x y z xyz hay
3
x3 + y3 + z3 3xyz Ta có đẳng thức: x3 + y3 + z3 3xyz =
1
(44)Do a, b, c nên x, y, z 0, x3 + y3 + z3 3xyz Nh vậy:
3
a b c abc
3
Xảy dấu đẳng thức a = b = c
Cách 2: Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có:
a b c d a b c d 1 ab cd ab cd abcd
4 2 2
Trong bất đẳng thức
4
a b c d abcd
4
, đặt
a b c d
3
ta đợc:
4
4 a b c
a b c a b c a b c a b c
3 abc. abc.
4 3
.
Chia hai vế cho số dương
a b c
(trường hợp số a, b, c 0, toán
được chứng minh):
3
3
a b c abc a b c abc
3
Xảy đẳng thức: a = b = c =
a b c
a = b = c = 233 Từ giả thiết suy ra:
b c d 1 a
b c d 1 a a 1 Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho số dương:
3
1 b c d 3. bcd
a b c d 1 (b 1)(c 1)(d 1) Tơng tự:
3
3
3
1 3. acd
b (a 1)(c 1)(d 1)
1 3. abd
c (a 1)(b 1)(d 1)
1 3. abc
d (a 1)(b 1)(c 1)
Nhân từ bốn bất đẳng thức:
1
1 81abcd abcd
81
234 Gọi
2 2
2 2
x y z
A
y z x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
2
2 2
2 2
x y z x y z
3A (1 1)
y z x y z x
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm:
3
x y z 3. x y z . 3
(45)Nhân vế (1) với (2):
2
x y z x y z x y z
3A A
y z x y z x y z x
235. Đặt x3333 ; y33 33 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 a3 , ta đợc: b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y)
Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có:
b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > (vì x > y > 0).
Vậy b3 > a3 , b > a.
236 a) Bất đẳng thức với n = Với n 2, theo khai triển Newton, ta có:
n
2 n
1 n(n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1) 2.1
1 n
n n 2! n 3! n n! n
<
1 1
1
2! 3! n!
Dễ dàng chứng minh:
1 1
2! 3! n! 1.2 2.3 (n 1)n
=
1 1 1
1 1
2 n n n
Do
n
(1 )
n
b) Với n = 2, ta chứng minh 33 (1) Thật vậy, (1)
6
33 2
32 > 22.
Với n 3, ta chứng minh n n n 1 n 1
(2) Thật vậy:
n n(n 1) n n(n 1) n n n n
n
(n 1)
(2) n n (n 1) n n n
n n
(3) Theo câu a ta có
n
1
n
, mà n nên (3) đợc chứng minh. Do (2) đợc chứng minh
237. Cách 1:
2
A 2 x 1 x x 1 4
A = với x = Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
2 4
4
A 2 (x x 1)(x x 1) 2 x x 2 A = với x =
238. Với x < A (1) Với x 4, xét - A = x2(x 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm:
3
3 x x x
A x x .(x 2) 2 2 2x 8
4 2 3
(46)3
2
2
2
2 2
x x 9 x
x x 2 2
A x (9 x ) (9 x ) 4.27
2
max A = với x = 240 a) Tìm giá trị lớn nhất:
Cách 1: Với x < A = x(x2 6) 0.
Với x Ta có x x2 x2 Suy x(x2 6) max A = với x = 3.
Cách 2: A = x(x2 9) + 3x Ta có x 0, x2 0, 3x 9, nên A 9. max A = với x =
b) Tìm giá trị nhỏ nhất:
Cách 1: A = x3 6x = x3 + (2 2)3 6x (2 2)3 =
= (x + 2)(x2 - 2 2x + 8) 6x - 16
= (x + 2)(x2 - 2 2x + 2) + (x + 2 2).6 6x - 16 = (x + 2)(x - 2)2 - 4 2 - 4 2.
min A = - với x =
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm: x3 + 2 2 + 2 2 3.3 x 2.2 23 = 6x.
Suy x3 6x - 4 2 A = - 4 2 với x = 2. 241. Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 2x)2.
Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dơng:
4V = 4x(3 2x)(3 2x)
3 4x 2x 2x
3
= 8
max V = 4x = 2x x =
1
Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ
1 2 dm.
242 a) Đáp số: 24 ; - 11 b) Đặt 32 x a ; x b Đáp số: ; ; 10 c) Lập phơng hai vế Đáp số: ;
5
d) Đặt 32x 1 = y Giải hệ: x3 + = 2y , y3 + = 2x, đợc (x y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0 x = y Đáp số: ;
1
2
e) Rút gọn vế trái đợc:
2 x x
2 Đáp số: x = 4.
3-2x 3-2x x
x x
x x x x
(47)g) Đặt x a ; x b Ta có: a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, vế phải ph-ương trình cho
3
a b
2
Phương trình cho trở thành:
a b a b
=
3
a b
2
Do a3 + b3 = nên
3
3
a b a b
a b a b
(a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3) Do a + b nên: (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2).
Từ a = b ta đợc x = Từ ab = ta đợc x = ; x =
h) Đặt 3x a ; x b Ta có: a2 + b2 + ab = (1) ; a3 b3 = (2). Từ (1) (2): a b = Thay b = a vào (1) ta đợc a = Đáp số: x =
i) Cách 1: x = - nghiệm phương trình Với x + 0, chia hai vế cho 3x 2 . Đặt
3 x a ; x b
x x
Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm.
Cách 2: Đặt x 2 = y Chuyển vế: 3y 13 3 y 13 y Lập phương hai vế ta được: y3 + y3 + + 3.3 y 16 .(- y) = - y3 y3 = y 3 y 16 .
Với y = 0, có nghiệm x = - Với y 0, có y2 = 3y 16 Lập phơng: y6 = y6 Vô nghiệm
Cách 3: Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phơng trình vơ nghiệm, xem bảng đây:
x x 1 x 2 3x 3 Vế trái x < -
x > - x
< - > -
< >
< >
< >
k) Đặt + x = a , x = b Ta có: a + b = (1), 4ab 4a4 b = (2) Theo bất đẳng thức Cauchy
m n mn
2
, ta có:
a b a b
3 a b a b
2 2
1 a b a b
a b 1
2 2
Phải xảy dấu đẳng thức, tức là: a = b = Do x =
l) Đặt 4a x m ; b x n 0 m4 + n4 = a + b 2x
Phương trình cho trở thành: m + n = 4m4n4 Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn: 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = 0.
Suy m = n = 0, cịn m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > 0. Do x = a , x = b Ta phải có x a , x b để thức có nghĩa Giả sử a b nghiệm phương trình cho x = a
243. Điều kiện để biểu thức có nghĩa: a2 + b2 (a b không đồng thời 0). Đặt a x ; b3 y, ta có:
4 2 4 2 2
2 2
x x y y x 2x y y 2x y A
x xy y x xy y
(48) 22 2 2
2
2 2
x y (xy) x y xy x y xy
x y xy
x xy y x y xy
.
Vậy: A 3 a2 3b2 3ab (với a2 + b2 0).
244. Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
2 2 4 2
A x x 1 x x x x x x (x x 1)(x x 1)=
4
4
2 x x 2 2 Đẳng thức xảy khi:
2
4
x x x x
x x x 1
.
Ta có A 2, đẳng thức xảy x = Vậy: A = x = 245. Vì + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên 246. Ta có:3(1 + 3)3 + a(1 + 3)2 + b(1 + 3) + 12 = 0.
Sau thực phép biến đổi, ta đợc biểu thức thu gọn: (4a + b + 42) + (2a + b + 18) =
Vì a, b Z nên p = 4a + b + 42 Z q = 2a + b + 18 Z Ta phải tìm số nguyên a, b
cho p + q =
Nếu q = - p
q, vơ lí Do q = từ p + q 3 = ta suy p = 0.
Vậy + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = khi: 4a b 42
2a b 18
Suy a = - 12 ; b = 6. 246. Giả sử 33 số hữu tỉ
p q (
p
q phân số tối giản ) Suy ra: =
3
p
q Hãy chứng
minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết p
q phân số tối giản.
247 a) Ta có:
2
31 2 6 1 2 61 2 2 63 2
Do đó:
2
31 2 26 63 2 26 63 2 2 1
b) 69 2 1
248. Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có:
3 3 2
a 20 14 20 14 (20 14 2)(20 14 2).a a 40 20 (14 2) a a3 6a 40 = (a 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > a =
249. Giải tơng tự 21 250. A = + 3 2.
251. Áp dụng: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Từ x = 3339 Suy x3 = 12 + 3.3x x3 9x 12 = 0.
(49)b) Đặt u=3 x , v- = -x , ta được:
3
u v v u
u = v = - x = 1. c) Đặt: x232 y 0 Kết x = 7.
254. Đa biểu thức dạng:
3
A x 1 x 1
Áp dụng | A | + | B | = | A + B | A = -1 x
255. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256. Đặt x y x3 y2 P x 2 258. Ta có:
2
P x a x b = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a (a < b). Dấu đẳng thức xảy (x a)(x b) a x b Vậy P = b a a x b
259. Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương
(a b c) (b c a)
(a b c)(b c a) b
2
(b c a) (c a b)
(b c a)(c a b) c
2
(c a b) (a b c)
(c a b)(a b c) a
2
Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta đ-ợc bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy
a + b c = b + c a = c + a b a = b = c (tam giác đều) 260. x y (x y) (x y) 2 4xy 4 2
261. 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2.
Ta có: c a = - (a c) = - [(a b) + (b c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do đó: 2A = ( 2+ 1)2 + ( 2 - 1)2 + (-2 2)2 = 14 Suy A = 7. 262. Đa pt dạng:
2 2
x 1 y 2 z 3 0 263. Nếu x y =
264. Đặt: x y M x 1 x 3 x 1
265. Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có: x2 + y2 2xy Nh-ng x2 + y2 = (8 2)2 = 128, nên xy 64 Do đó: max xy = 64
x = y =
266. Với a, b ta ln có: a2 + b2 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên: c2 2ab 2c2 a2 +b2 + 2ab 2c2 (a + b)2 c a + b c
a b
Dấu đẳng thức xảy a = b
267. Biến đổi ta được:
2 2
a 'b ab' a 'c ac' b'c bc' 0 268. x - ; x