CHUYÊN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN Tóm tắt lý thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng k. Điều kiện để hàm số luôn nghịch biến trên D là f’(x) ≤ 0 , ∀ x D∈ Điều kiện để hàm số luôn đồng biến trên D là f’(x) ≥ 0 , ∀ x D∈ Nếu f’(x) là tam thức bậc 2 hay cùng dấu với tam thức bậc 2 thì điều kiện để hàm số luôn nghịch biến là : y’ ≤ 0 , ∀ x ⇔ ≤∆ < 0 0a ( Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a = 0 ) Nếu f’(x) là tam thức bậc 2 hay cùng dấu với tam thức bậc 2 thì điều kiện để hàm số luôn nghịch biến là : y’ ≥ 0 , ∀ x ⇔ ≤∆ > 0 0a ( Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a = 0 ) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số: (Trang 8 SGK Giải tích 12 của BGD in năm 2008) Bài tập áp dụng Bài tập 1: xét tính đơn điệu của các hàm số a. y = f(x) = x 3 - 3x 2 +1. b. y = f(x) = 2x 2 - x 4 . c. y = f(x) = 2 3 + − x x . d. y = f(x) = x xx − +− 1 44 2 . e. y = f(x) = x + 2sinx trên (-π ; π). e. y = f(x) = xlnx. g. y = f(x) = )5x(x 3 2 − . h. y= f(x) = x 3 −3x 2 . i. 1 33 f(x) 2 − +− == x xx y . j. y= f(x) = x 4 −2x 2 . k. y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]. l. ( ) 3 2 1 xy −= m. xxy ln 2 = n. 32 2 −−= xxy o. ( ) 2 1 1 + = x y Bài tập 2 a. Chứng minh hàm số 2 2 xxy −= nghịch biến trên đoạn [1; 2] b. Chứng minh hàm số 9 2 −= xy đồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). c. Hàm số x xy 4 += nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] d. Hàm số 12 3 + − = x x y nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. e. Hàm số 12 32 2 + + = x xx y đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. f. Hàm số 8 2 ++−= xxy nghịch biến trên R. Bài tập 3 1 a. Tìm giá trị của tham số m để hàm số 34 3 1 )( 23 +++== xmxxxfy đồng biến trên R. b. Với giá trị nào của m, hàm số: 1 2 − ++= x m xy đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. c.Xác định m để hàm số xmxm x xfy )3()1( 3 )( 2 3 ++−+−== đồng biến trên khoảng (0; 3) d. Cho hàm số mx mx y + + = 4 Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định. e. Tuỳ theo giá trị m, hãy xét sự biến thiên của hàm số 3)3(4)( 23 ++++== mxxmxxfy VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tóm tắt lý thuyết Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I. B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II. B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là x i là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(x i ) B4: Dựa vào dấu của f ” (x i ) suy ra cực trị ( f ”(x i ) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x i ; ( f ”(x i ) < 0 thì hàm số có cực đại tại x i ) * Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. * Hàm số đạt cực trị tại x 0 thì f’(x) = 0 * Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 > = ⇔ 0)('' 0)(' 0 0 xf xf * Hàm số đạt cực đại tại x 0 < = ⇔ 0)('' 0)(' 0 0 xf xf Bài tập áp dụng Bài tập 1 Tìm cực trị của các hàm số sau theo quy tắc 1 a. 1156 23 −++−= xxxy b. 2243 23 +−−= xxxy c. 48 34 +−= xxy d. 45 24 +−= xxy e. 5435 23 +−+−= xxxy f. xxy 5 3 −−= Bài tập 2 Tìm cực trị của các hàm số sau a. 8 1 2 + + = x x y b. 1 5 2 + −+ = x xx y c. 52 )4( 2 2 +− − = xx x y d. 6 3 2 − + = x x y e. 32 242 2 + +− = x xx y f. x x y 2 ln = g. x exy 2 = h. 2 4 xxy −= i. xxy −= 3 j. 1 2 3 + = x x y k. 2 10 x x y − = l. 1 53 2 + − = x x y 2 Bài tập 3 Tìm cực trị các hàm sốsau theo quy tắc 2 a. 12sin +−= xxy b. xxy cos22cos3 −−= c. xxy cossin += d. xy 2sin= e. xxy 2cos 2 1 cos += f. xxy 2cossin2 += trên [ ] π ;0 Bài tập 4 Tìm m để hàm số: a. mxxmxy +++= 53 23 đạt cực tiểu tại x = 2 b. ( ) ( ) 1133 2223 −−−+−= mxmmxxy ñaït cöïc ñaïi taïi x=1 c. y = x 3 – 3mx 2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 d. 253 23 +++= xxmxy đạt cực tiểu tại x = 2 e. 5) 3 2 ( 23 +−+−= xmmxxy có cực trị tại x = 1 khi đó là cực đại hay cực tiểu Bài tập 5 a. Tìm m để hàm số 23 23 +−= mxxy có cực đại , cực tiểu b. Tìm m để hàm số 14)1(2 3 23 −++−= mxxmx m y có cực đại và cực tiểu c. Tìm m để hàm sô 2 3 ( 1) 1x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực đại và cực tiểu. d. Tìm m để hàm số 13122 23 −−+= xmxxy có cực đại , cực tiểu e. Tìm m để hàm số 1 2 1 3 1 23 +++= mxxxy có cực đại , cực tiểu Bài tập 6 Tìm m để hàm số a. 3 1 )2(3)1( 3 1 23 +−+−−= xmxmmxy có hai cực trị x 21 ; x thỏa mãn 12 21 =+ xx b. )1(2)14()1(2 2223 +−+−+−−= mxmmxmxy có hai cực trị x 1 và x 2 thỏa mãn điều kiện ( ) 21 21 2 111 xx xx +=+ c. 1 3 1 23 −+−= mxmxxy có hai cực trị x 1 và x 2 thoả mãn điều kiện 8 21 ≥− xx VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x M x D f x M ∀ ∈ ≤ ∃ ∈ = (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y = f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥ ∃ ∈ = (ký hiệu m=minf(x) ) * Cách tìm GTLN - GTNN trên (a, b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a, b) Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực 3 tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a, b) * Cách tìm GTLN - GTNN trên [a, b]. + Tính f’(x) + Tìm các điểm x 1 ,x 2 , , x n trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định. + Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Bài tập vận dụng Bài tập 1 Hãy tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau a. x xx y 1 2 ++ = b. 2 41 xxy −+= c. 1 542 2 2 + ++ = x xx y d. ( ) +∞+= ;0 1 trên x xy e. 2 1 4 )( x xfy + == f. 43 34 xxy −= Bài tập 2 Hãy tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau a. 52 24 +−= xxy với x ∈ [-2; 3] b. xxy −+−= 42 c. xxxxy 923 234 +−−= ; với x ∈ [-2; 2] d. 2 103 xxy −+= e. xxy += 2sin , với x ∈ [ 3 2 ; 6 ππ ] f. xxy 2cos2sin3 += ; với x ∈ [0; 2 3 π ] g. xxy 32 cos2sin3 += ; với x ∈ [0; π ] h. xxy 43 sin 4 3 sin1 −+= i. x x y sin3 1sin2 − + = j. 2 4)2( xxy −+= k. y = 2x – e x trên đoạn [0; ln3]. l. y = x 3 – 3x 2 – 9x + 35 trên đoạn [- 4; 4]. m. y = e x + e x − trên đoạn [ -1; ln2]. n. y = x – 1 – 2lnx trên đoạn [ 1; e]. VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN Tóm tắt lý thuyết I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) • y = y 0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 0 0 lim ( ) ,hoÆc lim ( ) x x f x y f x y →+∞ →−∞ = = • x = x 0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 0 0 0 0 lim , lim , lim , lim x x x x x x x x + − + − → → → → = +∞ = +∞ = −∞ = −∞ II. Các dạng toán Tiệm cận hàm số hữu tỉ ( ) ( ) P x y Q x = 4 Phương pháp Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang. +Bậc (P(x)) < Bậc (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0 + Bậc(P(x)) = Bậc(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. Bài tập vận dụng Bài tập 1 Tìm tiệm cận của các hàm số sau a. 2 12 + − = x x y b. 13 23 + − = x x y c. 32 + = x x y d. 3 1 + = x y e. 52 1 + + = x x y f. 2 1 4 − += x y g. x x y 1−− = h. 43 12 − − = x x y i. 2 12 5 + − −= x x y Bài tập 2 Tìm tiệm cận các hàm số sau a. 54 2712 2 2 −− +− = xx xx y b. 2 2 )1( 1 − −− = x xx y c. 9 3 2 2 − + = x xx y d. 34 2 2 +− − = xx x y e. 2 1 2 + − = x x y f. )273)(2( 1 2 −+ − = xx x y VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC ÀI TOÁN LIÊN QUAN Tóm tắt lý thuyết *SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y=f(x 1. Tập xác định: của hàm số. 2. Sự biến thiên: Chiều biến thiên ◦ Tính y’ ◦ Tìm các nghiệm của phương trình y’=0 và tại các điểm tại đó y’ không xác định. ◦ Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. Tìm cực trị: Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại , −∞ +∞ và tại các điểm mà hàm số không xác định. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang( nếu có.) Lập bảng biến thiên. 3. Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị * Ghi chú: Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phải tuân thủ nghiêm ngặt theo đúng sơ đồ này +Ở mục 1. Tập xác định của hàm số: Nếu làm hàm đa thức thì ta ghi: Tập xác định: D = R Nếu làm hàm phân thức thì ta ghi: Tập xác định: { } i xRD \= ( x i là các giá trị mà tại đó hàm số không xác định) 5 Ở mục 2. Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang ta phải tính đầy đủ các giới hạn của nó chứ không được tính một giới hạn. Ở mục 3: Đồ thị cần chú ý: Tìm thêm các giao điểm đặc biệt với trục tung hoặc trục hoành Sử dụng các tính chất đối xứng để vẽ đồ thị được chính xác hơn: • Tâm đối xứng đối với hàm bậc ba, hàm hữu tỷ. • Trục đối xứng đối với hàm trùng phương ** Bài toán về sự tương giao của các đồ thị. Cho hai đồ thị (C 1 ) y = f(x) và (C 2 ) : y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) ta giải phương trình : f(x) = g(x) (*) ( Gọi là phương trình hoành độ giao điểm ). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của 2 đồ thị. ** Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Phương pháp: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d). Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm. ** Bài toán tiếp tuyến : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tọa độ M(x 0 ; y 0 ): B 1 : Tìm đạo hàm f’(x) ⇒ hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x 0 ) B 2 : Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 B 1 : Tìm đạo hàm f’(x) ⇒ hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x 0 ), ⇒ tìm y 0 B 2 : Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ y 0 B 1 : Tìm đạo hàm f’(x) B 2 : giải phương trình f(x 0 ) = y 0 ⇒ tìm được x 0, ⇒ f’(x 0 ) B 3 : Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc là k. B 1 : Tìm f’(x), gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm B 2 : Hệ số góc của tiếp tuyến là k nên: 6 f’(x 0 ) = k (*) B 3 : Giải phương trình (*) tìm x 0 ⇒ tìm được y 0 ⇒ Phương trình tiếp tuyến. Chú ý : - Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = a. - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = – a 1 . Bài 1: Cho hàm số mxxmxy +++−= 4)4( 23 (1) a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hs (1) luôn có cực trị. b. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs (1) khi m = 0. c. Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại 3 điểm phân biệt. Bài 2 : Cho hàm số 4 9 2 4 2 4 −−= x x y (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của hs (C) tại các giao điểm của nó với trục ox. c. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số : 2 2xky −= . Bài 3 : Cho hàm số xamxx m y )23( 3 )1( 23 −++ − = a. Xác định m để hàm số luôn đồng biến. b. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu. c. Xác định m để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với 2 3 =m . Bài 4: Cho hàm số mx mx y + − = 2 1 . a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hs luôn đồng biến trên các khoảng xác định của nó. b. Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm A(-1; 2 ). c. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-3; 1). d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. e.Viết pt tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung. Bài 5 : Cho hàm số 2 )3()( xxxfy −== có đồ thị (C). a. Khảo sát hàm số. b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 0296 23 =+−+− mxxx b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. 7 c) Một đường thẳng (d) y = kx. Với giá trị nào của k thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Bài 6: Cho hàm số 4 42 − − = x x y có đồ thị (C), a. Khảo sát hàm số. b. Viết pt tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A(3; -2). c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; (d) ; Oy. Bài 7: Cho hàm số x x xfy − − == 2 22 )( có đồ thị (C), a. Khảo sát hàm số. b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành và đường thẳng x = - 2. c. Chứng minh rằng với mọi 0 ≠ k đường thẳng y = kx cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 8 : Cho hàm số xxxy 96 23 +−= a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm mà đạo hàm cấp 2 bằng không c. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 018122 23 =−+− mxxx Bài 9: Cho hàm số 13 3 +−= xxy (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x - 1 c. Tìm toạ độ giao điểm của (C) và (C1): 12 23 +−+= xxxy Bài 10: Cho hàm số 23 23 −+++= mmxxxy với m là tham số và đồ thị là (C m ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. b. Gọi A là giao điểm của ( C 3 ) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C 3 ) tại A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến (d). c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ( m c ) c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. Bài 11 : Cho hàm số 1)1(23 2223 −−++−= mxmmxxy . 1. Tìm m để: a. Hàm số không có cực trị. b. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = -1. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và đường thẳng x = -2. Bài 12: Cho hàm số mxmmxxy 2)2( 23 +++−= .(C m ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -2. Kí hiệu là (C) b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) Tại điểm I(0;-4). c. Tìm m để hàm số (C m ) có cực đại và cực tiểu. 8 Bài 13 : Cho hàm số xxxxfy 44)( 23 +−== , có đồ thị (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm toạ độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = 3x - 2. c. Tiếp tuyến của (C) tại O cắt (C) tại A. Tìm toạ độ điểm A d. Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng y = kx. e. Tìm m để phương trình 044 23 =−+− mxxx có 3 nghiệm phân biệt f. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng )( 1 d : y = 7x. g. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng )( 2 d : y = x. Bài 14 : Cho hàm số 12)1(2 24 −−−+−= mxmxy . a. Khảo sát hàm số khi m = 0. Gọi (C) là đồ thị. b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị Bài 15 : Cho hàm số 122 24 +−+−= mmxxy với m là tham số và đồ thị là (C m ) a. Biện luận theo m số cực trị của hàm số (C m ) b. Khảo sát hàm số khi m = 5. c. Gọi (C) là đồ thị ở câu b.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và đt x = 5. Bài 16 : Cho hàm số 1 12 )( − + == x x xfy có đồ thị (C). a. Khảo sát hàm số b. Tìm trên (C) những điểm có toạ độ nguyên. Bài 17 : Cho hàm số 2 12 )( + + == x x xfy có đồ thị (C). . a. Khảo sát hàm số b. Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 18 : Cho hàm số 233 23 ++−= mxxxy ( m là tham số). a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1 c. Xác định m để hàm só có cực trị Bài 19 : Cho hàm số 2 3 ++−= mmxxy có đồ thị là )( m C . a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. b. Dựa vào (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình 013 3 =+−− kxx . Bài 20: . Cho hàm số 2 2 − + = x x y có đồ thị (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). b. Tìm những điểm nguyên trên (C). c. Chứng minh rằng với mọi b (d) : y = x + b luôn cắt (C) tại 2 điểm d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi (C) và các trục toạ độ 9 CHUYÊN ĐỀ 2: HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1:. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Tóm tắt lý thuyết: A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: 1. ( ; ; ) M M M M M M M x y z OM x i y j z k ⇔ = + + uuuur r r r 2. Cho A(x A ;y A ;z A ) và B(x B ;y B ;z B ) ta có: ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z = − − − uuur ; 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z = − + − + − 3. M là trung điểm AB thì M +++ 2 ; 2 ; 2 BABABA zzyyxx II. Tọa độ của véctơ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . 1. 1 2 3 ( ; ; )a a a a = r ⇔ 1 2 3 a a i a j a k = + + r r r r 2. Cho 1 2 3 ( ; ; )a a a a = r và 1 2 3 ( ; ; )b b b b = r ta có 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b = = ⇔ = = r r 1 1 2 2 3 3 ( ; ; )a b a b a b a b ± = ± ± ± r r 1 2 3 . ( ; ; )k a ka ka ka = r 1 1 2 2 3 3 . . os(a; )a b a b c b a b a b a b = = + + r r r r r r 2 2 2 1 2 3 a a a a= + + r 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . . . s( , ) . a b a b a b co a b a a a b b b + + = + + + + r r (với 0 , 0a b≠ ≠ r r r r ) a r và b r vuông góc 1 1 2 2 3 3 . . . 0a b a b a b⇔ + + = III. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng: Tích có hướng của 1 2 3 ( ; ; )a a a a = r và 1 2 3 ( ; ; )b b b b = r là : 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 a a a a a a , ; ; ( ; ; ) b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b = = − − − ÷ r r Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao 1.Tính chất : 10 [...]... HỌC SINH TỪNG BAN 1 Theo chương trình Chuẩn : Câu IV.a Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d có phương trình x −1 y + 1 z − 1 = = 2 1 2 1 Viết phương trình mặt phẳng α qua A và vng góc d 2 Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng α Câu V.a Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 2 + 2 z + 17 = 0 2 Theo chương trình Nâng cao : 30 Câu IV.b Trong khơng gian với hệ trục... và SB c Tính độ dài đoạn vng góc chung của hai đường thẳng SA và BD d.Tính tỉ số VI SAB VS ABCD *Một số đề thi đại học trong thời gian gần đây 1 (Đề dự bị 1 khối B năm 2007)Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt phẳng (P): x + y + z = 0 a Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) b Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất 2 (Đề dự bị 1 khối B năm 2007) Cho hình... đường y = − x 2 + 2 x và trục hồnh Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hồnh 2.Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : x + 3 y +1 z − 3 = = 2 1 1 và mặt phẳng (P) : x + 2 y − z + 5 = 0 a Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) b Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)... trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −1; 4; 2) và hai mặt phẳng ( P1 ) : 2 x − y + z − 6 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 a Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) cắt nhau Viết phương trình tham số của giao tuyến ∆ của hai mặt phằng đó b Tìm điểm H là hình chiếu vng góc của điểm M trên giao tuyến ∆ Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Cho hình phẳng... ) Tìm thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2x 2 và y = x3 xung quanh trục Ox 2.Theo chương trình nâng cao Câu IVb/ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) ( P) : x + y + z − 3 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình là giao tún của hai mặt phẳng: x + z − 3 = 0 và 2y-3z=0 1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M (1;0;-2) và qua... phẳng (ABC) và (ABD) Bài tập 13 Viết phương trình mp đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x- y+ z -4= 0 và 3x- y + z -1= 0 Bài tập 14 Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 và x+ y - z + 3= 0 đồng thời song song với mặt phẳng x+ y+ z = 0 Bài tập 15 Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+ z -2= 0 và x +4y -5= 0 đồng thời vng góc với... IV.a Trong khơng gian (Oxyz) cho đường thẳng x = 1+ t (d): y = 3 − t z = 2 + t và mặt phẳng (P): 2x+y+2z =0 1 Chứng tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó 32 2 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2.Từ đó lập phương trình mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với (P) Câu V.a Cho số phức z = 1 + i 3 Tính z 2 + ( z ) 2 2 Theo chương trình Nâng cao : Câu IV.b Trong không gian với hệ tọa độ... = x4 – 2x3 + x2 trên đoạn [-1;1] Câu III: Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh 2a Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD Khi quay hình vng ABCD xung quanh trục MN ta được hình trụ tròn xoay Hãy tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên II PHẦN RIÊNG 1 Theo chương trình Chuẩn : Câu IV.a Trong khơng gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5) r 1 Viết phương... quay quanh trục Ox : y = - x2 + 2x và y = 0 2 Theo chương trình Nâng cao : Câu IV.b Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-;1;2) 1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Câu Vb: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh... mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó 14 c Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox Bài tập 10 Cho mặt phẳng (P):2x- y+2z- 3 = 0 và mặt cầu (C ): ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 25 a Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến b Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P) . của tử cho phép xác định tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang. +Bậc (P(x)) < Bậc (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0 + Bậc(P(x)) = Bậc(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. Bài. TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1:. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Tóm tắt lý thuyết: A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: 1 thi đại học trong thời gian gần đây 1. (Đề dự bị 1 khối B năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt phẳng (P): x + y + z = 0 a. Tìm giao điểm I của đường thẳng