SKKN PP so sánh phân số

Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số A. Đặt vấn đề: Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số trờng hợp cụ thể, tuỳ theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phơng pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thờng đợc sử dụng, trong đó phát hiện ra phân số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng. B. Nội dung cần truyền đạt. I. Kiến thức cơ bản. 1. Dùng số 1 làm trung gian. a) Nếu b a > 1 và d c < 1 thì b a > d c b) Nếu b a = 1 + M ; d c = 1 +N mà M>N thì d c b a > M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho. * Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có "phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn. Ví dụ: 198 199 = 1 + 198 1 ; 199 200 = 1 + 199 1 Vì 198 1 > 199 1 nên 198 199 > 199 200 c) Nếu b a = 1- M ; d c = 1 + N nếu M > N thì b a < d c M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phân số đã cho. * Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có "phần bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn. Ví dụ: 2006 2005 = 1 - 2006 1 ; 2007 2006 = 1 + 2007 1 Vì 2006 1 > 2007 1 nên 2006 2005 < 2007 2006 2. Dùng một số phân số làm trung gian. Ví dụ : So sánh 31 18 và 37 15 Giải: Xét phân số trung gian 37 18 ( Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2). Ta thấy: 31 18 > 37 18 và 37 18 > 31 15 suy ra 31 18 > 37 15 ( tính chất bắc cầu) (Ta cũng có thể lấy phân số 31 15 làm phân số trung gian). b) Ví dụ : So sánh 47 12 và 17 19 Giải: cả hai phân số 47 12 và 77 19 đều xấp xỉ 4 1 nên ta dùng phân số 4 1 làm trung gian. Ta có: 47 12 > 48 12 = 4 1 77 19 < 76 19 = 4 1 Suy ra 47 12 > 77 19 II. Bài tập áp dụng: Bài 1: So sánh a) 85 64 và 81 73 b) 2 1 + + n n và 3+n n ( n N*) Hớng dẫn: b) Dùng phân số 81 64 (hoặc 85 73 ) làm phân số trung gian. b) dùng phân số 3 1 + + n n (hoặc 2+n n ) làm phân số trung gian. Bài 2: So sánh a) 77 67 và 83 73 b) 461 456 và 128 123 c) 2004.2003 12004.2003 và 2005.2004 12005.2004 Hớng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị . Bài 3: So sánh: a) 12 11 và 49 16 b) 89 58 và 53 36 Hớng dẫn: a) Hai phân số 32 11 và 49 16 đều xấp xỉ 3 1 nên ta dùng phân số 3 1 làm trung gian . b) Hai phân số 89 58 và 53 36 đều xấp xỉ 3 2 nên ta dùng phân số 3 2 làm phân số trung gian . Baì 4: So sánh các phân số . A = 2323.353535 232323.2535 ; B = 3534 3535 ; C = 2322 2323 Hớng dẫn : Rút gọn A = = 1 B = 1 + 3534 1 C = 1 + 2322 1 Từ đó suy ra : A < B < C. Bài 5: So sánh : A = 52.4426.22 )26.2213.11.(5 và B = 548137 690138 2 2 Hớng dẫn : Rút gọn A = = 4 5 = 1 + 4 1 B = = 137 138 = 1 + 137 1 Vì 4 1 > 137 1 nên A > B Bài 6: So sánh . a) 57 53 và 571 531 ; b) 26 25 và 26261 25251 Hớng dẫn : a) 57 53 = 570 530 = 1 - 570 40 ; 571 531 = 1 - 571 40 b) 26 25 = 1 + 26 1 = 1 + 26260 1010 ; 26261 25251 = 1 + 26261 1010 Bài 7: Cho a , b , m N* Hãy so sánh mb ma + + với b a . Hớng dẫn : Ta xét ba trờng hợp b a =1 ; b a < 1 ; b a > 1. a) Trờng hợp : b a = 1 a = b thì mb ma + + = b a = 1 b) Trờng hợp : b a < 1 a < b a + m = b + m mb ma + + = 1 - mb ab + ; b a = 1 - b ab c) Trờng hợp : b a > 1 a > b a+m > b + m Bài 8: Cho A = 110 110 ; 110 110 11 10 12 11 + + = B . Hãy so sánh A với B. Hớng dẫn: Dễ thấy A<1. áp dụng kết quả bài trên nếu 1< b a thì b a mb ma > + + với m>o. Bài 9:So sánh các phân số sau mà không cần thực hiện các phép tính ở mẫu. A = 54107.53 53107.54 + . B = 135269.134 133269.135 + . Hớng dẫn: Tử của phân số A 54.107-53 = (53 +1).107 - 53 = Tử của phân số B 135.269-133= (134+1).269 - 133= Bài 10: So sánh: a, ( 80 1 ) 7 với ( 243 1 ) 6 . b, ( 8 3 ) 5 với ( 243 5 ) 3 . Hớng dẫn: a =( 28 77 3 1 ) 81 1 () 80 1 => ( 30 6 3 1 ) 243 1 = . b, 15 5 2 243 ) 8 3 ( = 15 3 3 243 ) 243 5 ( = . Chọn phân số 15 3 243 làm phân số trung gian để so sánh. Bài 11: Chứng tỏ rằng: >+++++ 44 1 43 1 17 1 16 1 15 1 6 5 . Hớng dẫn: Từ 45 15 30 15 6 2 6 3 6 5 +=+= . = ) 45 1 45 1 () 30 1 30 1 ( +++++ . Từ đó ta thấy: ( 30 1 30 1 30 1 29 1 16 1 15 1 +++>+++ Có 15 phân số). 45 1 45 1 45 1 44 1 31 1 30 1 +++>+++ (Có 15 phân số). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. . 2007 2006 2. Dùng một số phân số làm trung gian. Ví dụ : So sánh 31 18 và 37 15 Giải: Xét phân số trung gian 37 18 ( Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2) Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số A. Đặt vấn đề: Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số) ,. 3 1 nên ta dùng phân số 3 1 làm trung gian . b) Hai phân số 89 58 và 53 36 đều xấp xỉ 3 2 nên ta dùng phân số 3 2 làm phân số trung gian . Baì 4: So sánh các phân số . A = 2323.353535 232323.2535