UBND HUYỆN NÔNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(2 điểm) a) Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b với mọi a, b ∈ R b) Với a > 0, b > 0, c > 0 hãy chứng minh bất đẳng thức sau: cba b ca a bc c ab ++≥++ Bài 2: (1 điểm) Cho phương trình: 011612 2 =−+−−+ mmxx a) Giải phương trình khi m = 2 b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m Bài 3: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = 1 34 2 + + x x Bài 4: (2điểm) Giải hệ phương trình, phương trình: a) 2 4 22 =++ =++ yxyx yxyx b) 222 14)43)(42( xxxxx =+++− Bài 5: (1,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Về phía ngoài của hình bình hành ta dựng các tam giác vuông cân BAE và BCF đỉnh B. Chứng minh rằng: BD = EF và BD ⊥ EF. Bài 6: (1,5điểm )Cho hình vuông ABCD. Trên đoạn AC lấy điểm M. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BA và BC a) So sánh diện tích tam giác DEF và diện tích tứ giác AEFC. b)Xác định vị trí của M để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất Bài 7: (1điểm) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi tăng thêm mỗi chữ số 1 đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương. UBND HUYỆN NÔNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1:(2 điểm) a) Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b với mọi a, b ∈ R b) Với a > 0, b > 0, c > 0 hãy chứng minh bất đẳng thức sau: cba b ca a bc c ab ++≥++ a) Ta có: a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2 ≥ 2ab + 2a + 2b ⇔ (a 2 – 2ab + b 2 ) + (a 2 - 2a + 1) + ( b 2 – 1-2b +1) ≥ 0 ⇔ (a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 ≥ 0 bất đẳng thức đúng với mọi a, b ∈ R Do đó, bất đẳng thức cho được chứng minh 1 đ b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: b a bc c ab a bc c ab 2.2 =≥+ (1) Tương tự: a b ca c ab 2≥+ (2) c b ca a bc 2≥+ (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được: cba b ca a bc c ab ++≥++ 0,5 đ 0,5 đ Bài 2: (1điểm) Cho phương trình: 011612 2 =−+−−+ mmxx ĐK: x ≥ 1 Đặt: 01 ≥=− tx pt trở thành: t 2 +2t –m 2 + 6m – 10 = 0 a) Khi m = 2 ta có: t 2 +2t – 2 = 0 −−= +−= ⇔ )(31 )(31 loait chont Với 32531 −=⇒+−= xt 0,5 đ b) pt có hệ số a = 1 > 0 hệ số c = -(m 2 - 6m + 10) = -(m - 3) 2 - 1 < 0 với mọi m Do a và c trái dấu nên pt có hai nghiệm trái dấu với mọi m. 0,5 đ Bài 3: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = 1 34 2 + + x x 2 1 4 4 1 )12( 4 1 )12()1(4 1 34 2 2 2 22 2 =⇔=⇒ ≤ + − −= + −−+ = + + = xMaxA x x x xx x x A 0,5 đ 21 1 1 )2( 1 1 )2()1( 1 34 2 2 2 22 2 −=⇔−=⇒ −≥ + + +−= + +++− = + + = xMinA x x x xx x x A 0,5 đ Bài 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình, phương trình: a) =++ =++ 2 4 22 yxyx yxyx ⇔ =++ =−+ 2)( 4)( 2 xyyx xyyx Đặt: vxy uyx = =+ Ta được hệ: =+ =− 2 4 2 vu vu ⇔ =+ =−+ 2 06 2 vu uu ⇔ =+ −=∨= 2 32 vu uu Với u = 2 ⇒ v = 0 Với u = -3 ⇒ v = 5 Giải hệ: = =+ 0 2 xy yx ta được nghiệm: (0; 2), (2; 0) Giải hệ: = −=+ 5 3 xy yx Hệ vô nghiệm Vậy hệ cho có 2 nghiệm: (0; 2), (2; 0) 0,5 đ 0,5 đ b) Giải phương trình: 222 14)43)(42( xxxxx =+++− 222 14)43)(42( xxxxx =+++− (1) Chia hai vế cho x 2 ≠ 0 (1) 14)3 4 ()2 4 ( =++−+⇔ x x x x Đặt: y = x x 4 + ta được pt: 5;4 02014)3)(2( 21 2 −==⇔ =−+⇔=+− yy yyyy +Với y = 4 ta có: 20)2(0444 4 22 =⇔=−⇔=+−⇔=+ xxxx x x +Với y = -5 ta có: 4;10455 4 21 2 −=−=⇔=++⇔−=+ xxxx x x S = 2; -1; -4 0,5 đ 0,5 đ Bài 5: (1,5điểm) Chứng minh BD = EF và BD ⊥ EF. j H F E A D C B Ta có: BE = AB (vì tam giác ABE vuông cân) AB = CD (vì ABCD là hình bình hành) ⇒ BE = CD BF = BC (vì tam giác BCF vuông cân) BCDFBE ˆ ˆ = (cùng bù với CBA ˆ ) EFBDcgcCDBBEF =⇒−−∆=∆⇒ )( 1 đ Gọi H là giao điểm của BD và EF Ta có: HFBCBD ˆˆ = (cmt) Mà 0 90 ˆˆ =+ FBHCBD 0 90 ˆˆ =+⇒ FBHHFB EFBDđóDoFHB ⊥=⇒ 0 90 ˆ 0,5 đ Bài 6: (1,5điểm ) M F E D C B A a) So sánh diện tích tam giác DEF và diện tích tứ giác AEFC Ta có: S DEM = S AEM (do AD // EM) S DFM = S CFM (do CD // FM) Suy ra: S DEF = S AEFC 0,75 đ b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất Theo chứng minh trên ta có: S DEF = S AEFC = S ABC – S BEF Diện tích ∆ DEF nhỏ nhất khi diện tích ∆ BEF lớn nhất S BEF = 2 1 BE.BF Mà BE + BF = BE + EM = BE + EA = AB (hằng số) Tổng BE + BF không đổi nên tích BE.BF có giá trị lớn nhất khi BE = BF Do đó diện tích ∆ BEF lớn nhất khi BE = BF ⇔ M là trung điểm của AC Vậy diện tích tam giác DEF nhỏ nhất khi M là trung điểm của AC. 0,75 đ Bài 7: (1điểm) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi tăng thêm mỗi chữ số 1 đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương. Gọi số có 4 chữ số cần tìm là a, theo giả thiết ta có: a = m 2 , với 32 ≤ m ≤ 99 Số có được khi tăng thêm mỗi chữ số 1 đơn vị là: a + 1111 = n 2 ⇒ n 2 – m 2 = 1111 ⇒ (n - m)(n + m) = 1111 = 1. 1111 = 11. 101 Ta có: m, n ∈ Z, n + m > n – m suy ra: =+ =− 1111 1 mn mn ⇔ = = )(555 556 loaim n =+ =− 101 11 mn mn ⇔ = = )(45 56 chonm n Vậy số cần tìm là a = 45 2 = 2025 1 đ HẾT . UBND HUYỆN NÔNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(2 điểm) a) Chứng minh bất. đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương. UBND HUYỆN NÔNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1:(2 điểm) a). CBA ˆ ) EFBDcgcCDBBEF =⇒−−∆=∆⇒ )( 1 đ Gọi H là giao điểm của BD và EF Ta có: HFBCBD ˆˆ = (cmt) Mà 0 90 ˆˆ =+ FBHCBD 0 90 ˆˆ =+⇒ FBHHFB EFBDđóDoFHB ⊥=⇒ 0 90 ˆ 0,5 đ Bài 6: (1,5điểm ) M F E D C B A a) So sánh diện tích tam