Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Chun đề : NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN ƠN TỐT NGHIỆP THPT Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐĂC BIỆT 1 2 2 1. . 2. , 1. 1 3. ln , 0. 4. . 5. , 0 1. ln 6. cos . sin 7. sin . cos 8. tan cos 9, cot sin α α α α + = + = + ≠ − + = + ≠ = + = + < ≠ = + = − + = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x dx x C x x dx C dx x C x x e dx e C a a dx C a a x dx x C x dx x C dx x C x dx x C x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ax ax ax ax 2 1. . ax 1 2. ax . , 1. 1 1 3. .ln ax , 0. ax 1 4. . . 1 5. . ,0 1. ln 1 6. cos ax . sin ax 1 7. sin ax . cos ax 1 8. tan ax cos ax α α α α + + + + + = + + + = + ≠ − + = + + = ≠ + = + = + < ≠ + = + + + = − + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b b b b kdx kx C b b dx C a dx b C u u x b a e dx e C a a a dx C a a a b dx b C a b dx b C a dx b b a ( ) ( ) 2 1 9. cot ax sin ax = − + + + ∫ ∫ C dx b C b a Học thật kĩ các cơng thức chú ý rằng các cơng thức ở cột hai có được từ cơng thức cột thứ nhất bằng cách thay x bằng biểu thức bậc nhất ax + b do đó kết quả ngun hàm ta sẽ nhân thêm a 1 I. Dạng cơ bản + Tích phân có chưa tổng và hiệu của các hàm inx osx, os , , , s , , , sin x x x e c a x x c x α 2 2 1 1 1 + Nếu thay x là ax+b thì ta tính tương tự nhưng nhớ nhân thêm a 1 + Nếu gặp bình phương hay lũy thừa 3 thì dùng hằng đẳng thức ( ) ( ) ,a b a b± ± 2 3 để đưa về tổng và hiệu của hàm cơ bản. Ví dụ 1: 1. 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ 2. 2 2 0 x e dx − + ∫ 3. 0 1 3 2 1 dx x − − + ∫ 4. ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ 5. ∫ +− 1 0 24 )23( dxxx 6. ( ) 2 0 sin 2 π ∫ x dx 7. ( ) 2 0 os 3 π ∫ c x dx 8. 4 4 2 4 ( 3sin ) cos x dx x π π − − ∫ Lớp 12C5, 12C7 1 GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo 9. 3 3 1 ( 1)x dx − + ∫ 10. + ∫ 1 2 0 (6 4 )x x dx 11. + ∫ 1 0 ( 2) x e dx 12. π + ∫ 2 0 (3 cos2 ).x dx II. Chứa tích hai biểu thức khác nhau Phương pháp chung: Lấy f(x) đạo hàm thử để so sánh bậc '( )f x và bậc P(x) sau đó lựa chọn cách đặt theo hướng dẫn trong bảng sau. ( ). ( ) . b a P x f x dx α ∫ os ( ).sin ( ) . ( ). ( ) . b a b a P x f x dx P x c f x dx ∫ ∫ ( ) ( ). . b f x a P x e dx ∫ ( ). ( ) . b a P x f x dx ∫ + Bậc '( )f x = Bậc P(x) Đặt u = ( )f x + Bậc '( )f x ≠ Bậc P(x) Đặt ( ) ( ) . u P x dv f x dx α = = + Bậc '( )f x = Bậc P(x) Đặt u = ( )f x + Bậc '( )f x ≠ Bậc P(x) Đặt ( ) sin ( ). u P x dv f x dx = = + Bậc '( )f x = Bậc P(x) Đặt u = ( )f x + Bậc '( )f x ≠ Bậc P(x) Đặt ( ) ( ) . f x u P x dv e dx = = + Đặt u = ( )f x * Gặp các dạng đặc biệt sau. + . b a a x dx− ∫ 2 2 Đặt asinx t= + . b a a x dx+ ∫ 2 2 Đặt a .tanx t= + . b a x a dx− ∫ 2 2 Đặt a sin x t = * Chú ý: 1. Gặp dạng ( ).ln ( ) . b a P x f x dx ∫ Phương pháp: + Nếu ( )P x x = 1 thì đặt u = lnx + Các trường hợp khác dùng từng phần ln ( ) ( ). u f x dv P x dx = = 2. Gặp dạng ( ) . b x a F e dx ∫ ta đặt x u e= 3. Gặp dạng ( ) . b a A x dx ∫ ta xét dấu A(x) để tách thành tổng các tích phân. Lớp 12C5, 12C7 2 GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Ví dụ 2: 1. 4 1 2x dx− ∫ 2. 2 2 1 x xe dx ∫ 3. 1 1 ln e x dx x + ∫ 4. 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ 5. 2 2 0 4 .x xdx− ∫ 6. /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ 7. dxxe x ∫ − 1 0 2 8. dxxx ∫ − 2 0 2 3 3 .8 9. dxxx ∫ + 6 0 cos.sin41 π 10. ∫ + e x dxx 1 )ln3( 11. ∫ + 1 0 2 x x e dxe 12. 2 2 1 3x x dx+ ∫ 13. 2 0 (2sin 3)cosx xdx π + ∫ 14. 2 1 1 x x e dx e − ∫ 15. /4 0 2 cos2x xdx π ∫ 16. 1 2 0 ( 1) x x e dx+ ∫ 17. 3 2 2 ln( 1)x x dx − ∫ 18. ∫ 4 0 2 cos π x xdx 19. 2 2 1 ln xdx x ∫ 20. 1 1 ( 3) x x e dx − + ∫ 21. ∫ − e xdxx 1 ln)21( 22. ∫ 4 0 2 cos π x xdx 23. 2 1 2ln e x dx x ∫ 24. 2 3 1 ln x dx x ∫ 25. 2 1 ln e x xdx ∫ 26. 1 3 0 1 xdx− ∫ 27. x x dx+ ∫ 1 2 0 3. . 28. 1 2 0 1 x dx− ∫ 29. 2 2 1x dx − − ∫ 30. + ∫ 1 2 5 0 ( 3)x x dx 31. π ∫ 2 sin 0 .cos . x e x dx 32. ∫ 1 3 0 . x x e dx 33. − ∫ 1 3 0 . 1x xdx 34. ∫ 1 ln . e x dx 35. x x dx ∫ 5 2 .ln(2 ). 36. 0 2 1 5 ( 1) 3 dx x - + + ò III. Dạng chỉ chứa lượng giác in x.coss . b a x dx α β ∫ in x os x s . . b a b a dx c dx ∫ ∫ 2 2 in x os x s . . b a b a dx c dx ∫ ∫ 3 3 x x tan . cot . b a b a dx dx ∫ ∫ 2 2 inAx.cosBxs . b a dx ∫ + α β > Đặt u = sinx + α β < Đặt u = cosx Dùng CT hạ bậc os sin c x x = − 2 1 2 2 2 os os c x c x = + 2 1 2 2 2 Tách đưa về bậc hai và bậc nhất và dùng công thức os os sin sin x c x c x x = − = − 2 2 2 2 1 1 Dùng công thức os tan x c x = − 2 2 1 1 cot sin x x = − 2 2 1 1 Dùng CT biến tích thành tổng [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b = + + − [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b = + + − [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b = − + − − * Chú ý: Nếu tích phân có chứa tanx hay cotx thì ta đưa về sinx và cosx inx cosx anx x s t cot cos sinx x = = Ví dụ 3: Lớp 12C5, 12C7 3 GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo 1. 4 0 sin3 .cosx xdx π ∫ 2. 8 2 0 cos 2xdx π ∫ 3. ∫ 12 0 5sin.7sin π xdxx 4. 3 2 0 sin 3xdx π ∫ 5. 4 2 0 tan xdx π ∫ 6. 4 0 sin3 .cos .x x dx π ∫ 7. 2 3 0 cos xdx π ∫ 8. 2 2 0 sin xdx π ∫ IV. Dạng hữu tỉ ( ) ( ) . b a f x g x dx x α + ∫ ax cx . b a b dx d + + ∫ ( ) ( ) ax . b a dx b cx d+ + ∫ 1 . b a A dx ax bx c+ + ∫ 2 2ax . b a b dx ax bx c + + + ∫ 2 Ta đưa về tổng hai tích phân ( ) ( ) . b a f x g x dx x x α α + ÷ ∫ Ta đưa về dạng cx . b a B A dx d + ÷ + ∫ Ta đưa về tổng hai tích phân ax cx . b a A B dx b d + ÷ + + ∫ Ta đưa về dạng ( ) ( ) ax . b a A dx b cx d+ + ∫ Đặt u = ax bx c+ + 2 Ví dụ 4: 1. 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ 2. 8 6 6 1 2x x dx x + ∫ 3. dx x xx ∫ − 2 1 2 23 52 4. dx x x ∫ − + 1 0 34 2 5. 1 2 0 4 2 1 x dx x x + + + ∫ 6. 1 2 0 2 4 1 x x dx x + + + ∫ 7. x dx x 2 1 2 2 1- ò 8. x dx x x + + + ∫ 1 2 0 2 1 1 9. 1 2 0 (2 1) 4 4 x dx x x + - + ò 10. − + ∫ 1 2 0 1 5 6 dx x x 11. + + + ∫ 4 2 3 2 5 3 1 x x dx x IV. Ứng dụng tích phân a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), x = a, x = b, Ox (hay y = 0) ( ) b a S f x dx = ∫ b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ( )f x 1 , x = a, x = b, ( )y f x= 2 ( ) ( ) b a S f x g x dx = − ∫ c. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) , x = a, x = b quay quanh trục Ox 2 ( ). π = ∫ b a V f x dx Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P 1 ): y = x 2 –2 x , và (P 2 ) y= x 2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2 . Lớp 12C5, 12C7 4 GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Giải Diện tích hình phẳng cần tìm S x x x dx x dx x dx x x x x 2 1/2 2 2 2 1 1 1/2 1/2 2 2 2 1 1/2 ( 2 ) ( 1) [( 2 1] [2 1] 1 25 13 2 2 2 2 4 4 2 - - - - - - - = - - + = - - + + ỉ ư ỉ ư ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = - - + + = + = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø ò ò ò Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x 2 –2x Giải Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là : 2 2 2 2 4 3 2 1 1 ( 2 ) ( 4 4 )S x x dx x x x dx π π − − = − = − + ∫ ∫ = 5 2 4 3 1 4 ( ) 5 3 x x x π − − + = 18 5 π (đvtt) * Bài tập áp dụng : 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : a. ,y x x y x= − = − 2 2 2 b. ,y x y x= − = 3 2 12 c. ,y y x = = + 2 1 1 2 1 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y = y x x x= − + 3 2 4 3 và trục hoành. 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y x= ln và các đường thẳng có phương trình x = 1, x = e và y=0 4/ Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi a. ,y x y= − = 2 2 1 quanh Ox b. ,y x x y x= − + = 2 2 quanh Ox 5/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = 4 π b/ y = sin 2 x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π c/ y = 2 x xe ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1 6/ TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = e x +1 , trục hồnh , x = 0 và x = 1 7/ TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = sinx , trục hồnh , trục tung và x = 2 π 8/ Tính diện tích của các hình phẳng sau: Lớp 12C5, 12C7 5 GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo a. = ++= 0 2 3 y x xy b. =−= = = 1;2 0 3 xx y xy c. == −+= −= 4;0 63 22 2 2 xx xxy xxy d. == = −= π xx y xxy ;0 3 cos2sin e. x y e y x = = = 2 1 9/ TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra khi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau : y = 0, y = xxsin , x = 0, x = 2 π . 10/ TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay xung quanh trôc Oy cña h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = 2 2 x , y = 2, y = 4 vµ x = 0. 11/ Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 2 4 ; 2y x y x= − = + .Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 12/ Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x 2 và y = 2x + 4. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 13/ Cho miền D giới hạn bởi các đường == = = exx y xxy ;1 0 ln. hết Chúc các em học tốt ! Lớp 12C5, 12C7 6 GV: Lê Đạt Nhân . dx x π π − − ∫ Lớp 12C5, 12C7 1 GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo 9. 3 3 1 ( 1)x dx − + ∫ 10. + ∫ 1 2 0 (6 4 )x x dx 11. + ∫ 1 0 ( 2) x e dx 12. π + ∫ 2 0 (3 cos2. cot cos sinx x = = Ví dụ 3: Lớp 12C5, 12C7 3 GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo 1. 4 0 sin3 .cosx xdx π ∫ 2. 8 2 0 cos 2xdx π ∫ 3. ∫ 12 0 5sin.7sin π xdxx 4. 3 2 0 sin. miền D giới hạn bởi các đường == = = exx y xxy ;1 0 ln. hết Chúc các em học tốt ! Lớp 12C5, 12C7 6 GV: Lê Đạt Nhân