SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (4,0 điểm). Cho hàm số 3 2 2 ( 1) (4 ) 1 2y x m x m x m = − + − − − − ( m là tham số thực), có đồ thị là ( ). m C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1.m = − 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị ( ) m C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: cos2 cos3 sin cos4 sin 6 .x x x x x+ − − = 2) Giải bất phương trình: 2 4 2 6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤ ( ).x ∈¡ 3) Tìm số thực a để phương trình: 9 9 3 cos( ) x x a x π + = , chỉ có duy nhất một nghiệm thực .Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân: ( ) 2 3 0 sin . sin 3cos x I dx x x π = + ∫ Câu IV. (6,0 điểm). 1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt ,AM x= AN y= . Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2) Trên mặt phẳng toạ độ ,Oxy cho đường thẳng : 5 0x y∆ − + = và hai elíp 2 2 1 ( ) : 1 25 16 x y E + = , 2 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0) x y E a b a b + = > > có cùng tiêu điểm. Biết rằng 2 ( )E đi qua điểm M thuộc đường thẳng .∆ Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp 2 ( )E có độ dài trục lớn nhỏ nhất. 3) Trong không gian ,Oxyz cho điểm (0;2;0)M và hai đường thẳng 1 2 1 2 3 2 : 2 2 ( ); : 1 2 ( ) 1 , , x t x s y t t y s s z t z s = + = + ∆ = − ∈ ∆ = − − ∈ = − + = ¡ ¡ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục O x , sao cho (P) cắt hai đường thẳng 1 2 ,∆ ∆ lần lượt tại A, B thoả mãn 1AB = . Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực , ,a b c thoả mãn: 2 2 2 6 3. a b c ab bc ca + + = + + = − Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6 6 6 .P a b c= + + HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điêm Câu I 4,0 đ 1) 2,0đ Với 1,m = − ta được hàm số 3 3 1.y x x= − + Tập xác định: .¡ Giới hạn tại vô cực: lim , lim . x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ Sự biến thiên: 2 ' 3 3 0 1.y x x= − = ⇔ = ± 0,5 ' 0 ( ; 1) (1; ).y x> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1)−∞ − và (1; )+∞ . ' 0 ( 1;1).y x< ⇔ ∈ − Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).− Điểm cực đại của đồ thị ( 1;3),− điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).− 0,5 Bảng biến thiên: 0,5 Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3). Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng 0,5 2) 2,0đ Ta có 2 2 ' 3 2( 1) 4 ,y x m x m= − + − + là tam thức bậc hai của x. y' có biệt số 2 ' 2 2 13.m m∆ = − + + Nếu ' 0 ∆ ≤ thì ' 0,y x≥ ∀ , suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn. 0,5 Nếu 1 3 3 1 3 3 ' 0 ; 2 2 m − + ∆ > ⇔ ∈ ÷ , thì ' 0y = có hai nghiện 1 2 1 2 , ( ).x x x x < Dấu của y': 0,5 Chọn 0 1 2 0 ( ; ) '( ) 0.x x x y x∈ ⇒ < Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao cho 0 '( ). '( ) 1y x y x = − ⇔ pt: 2 2 0 1 3 2( 1) 4 0 '( ) x m x m y x − + − + + = (1) có nghiệm . Pt (1) có: 2 1 0 3 1 3 3 1 3 3 ' 2 2 13 0, ; . '( ) 2 2 m m m y x − + ∆ = − + + − > ∀ ∈ ÷ 0,75 Vậy giá trị cần tìm của m là 1 3 3 1 3 3 ; 2 2 m − + ∈ ÷ . 0,25 Câu II 6,0 đ 1) 2,0đ PT 0)3cos.3sin23(cossin)4cos2(cos =−+−−⇔ xxxxxx 0)3cos3cos3sin2()sin3sinsin2( =−−−⇔ xxxxxx 0,5 0)3cos)(sin13sin2( =−−⇔ xxx 0,5 +−= += += += ⇔ −= = ⇔ π π ππ ππ ππ π kx kx kx kx xx x 4 28 3 2 18 5 3 2 18 2 cos3cos 2 1 3sin ( ).k ∈¢ 0,5 0,5 -2 -1 -1 1 1 3 2 x y O H A B C D M N x y' y −∞ −∞ +∞ +∞ 1 − 1 − 1 3 0 0 − + + x - + 'y 1 x 2 x 0 0 − ++ GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. . TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 201 0- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi. coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: . xxx 0,5 +−= += += += ⇔ −= = ⇔ π π ππ ππ ππ π kx kx kx kx xx x 4 28 3 2 18 5 3 2 18 2 cos3cos 2 1 3sin ( ).k ∈¢ 0,5 0,5 -2 -1 -1 1 1 3 2 x y O H A B C D M N x y' y −∞ −∞ +∞ +∞ 1 − 1 − 1 3 0 0 − + + x - + 'y 1 x 2 x 0 0 − ++ GHI CHÚ: Nếu học sinh giải