SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 12 Thời gian làm bài: 90 phút Đề lẻ A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 ñiểm). Câu I. (3 ñiểm) Cho hàm số 3 1 2 x y x − = − (1) 1) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ ñồ th ị hàm s ố (C ) c ủ a hàm s ố (1). 2) Tìm tham s ố m ñể ñườ ng th ẳ ng có ph ươ ng trình y = 2x – m c ắ t ñồ th ị (C ) t ạ i hai ñ i ể m A, B sao cho tam giác OAB vuông t ạ i O. Câu II. (1 ñ i ể m) Tính tích phân sau: 4 0 1 16 3 I dx x = − ∫ Câu III. (1 ñiểm) Giải bất phương trình sau: 3 1 3 log 0 1 x x − > + . Câu IV. (2 ñ i ể m) Trong không gian Oxyz cho m ặ t ph ẳ ng (P): x – 2y – 2z -1 = 0, m ặ t c ầ u (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 25 x y z + + − + + = . 1) Ch ứ ng minh r ằ ng m ặ t ph ẳ ng (P) c ắ t m ặ t c ầ u (S) theo giao tuy ế n là ñườ ng tròn. Tìm bán kính c ủ a ñườ ng tròn ñ ó. 2) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (Q) qua tâm I c ủ a m ặ t c ầ u, qua ñ i ể m A(0; 1; 0) và vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P). Câu V. (1 ñ i ể m) Tìm tham s ố m ñể ph ươ ng trình sau có hai nghi ệ m th ự c phân bi ệ t: 2 4 1 3 1 3 1 x x mx x − − = − + − B. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (2 ñiểm). Học sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần I hoặc phần II) I. Theo chương trình chuẩn: Câu VIa. ( 1 ñ i ể m) Cho hình nón ñỉ nh S, ñườ ng cao SO. G ọ i A, B là hai ñ i ể m trên ñườ ng tròn ñ áy c ủ a hình nón sao cho 30 o SBO = , 60 o SBA = , ( ) , d O BA a = . Tính di ệ n tích xung quanh c ủ a hình nón. Câu VIIa. (1 ñ i ể m) Gi ả i ph ươ ng trình sau: 1 2 2 3 x x− + = . II. Theo chương trình nâng cao: Câu VIb. (1 ñiểm) Cho hình nón S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật, ñường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), G là trọng tâm của tam giác SBD, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, mặt phẳng (ABG) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN, biết SA = AB = a, góc giữa ñường thẳng AM và mặt phẳng (ABCD) bằng 30 o . Câu VIIb. (1 ñiểm ) Giải hệ phương trình: 1 3 4 73 3 .4 192 x x y x x y + − + + = = H ế t Họ tên thí sinh: ……………………………………………… Số báo danh: ………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN, LỚP 12. ĐỀ LẺ Chú ý : Dưới ñây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho ñiểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác ñúng thì chấm và cho ñiểm từng phần tương ứng . Câu Đáp án vắn tắt Điểm 1) (2ñ) * Tập xác ñịnh :D= { } ℝ \ 2 * Sự biến thiên + →−∞ →+∞ = = lim lim 3 x x y y ; + − → → = +∞ = −∞ 2 2 lim ; lim x x y y + Đồ thị hàm số nhận ñường thẳng y=3 làm tiệm cận ngang và ñường thẳng x=2 làm tiệm cận ñứng. + Ta có 2 5 y' (x 2) − = − <0 với mọi x thuộc D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;2) −∞ và (2; ) +∞ . +Bảng biến thiên x −∞ 2 +∞ y ' - - y 3 +∞ −∞ 3 +) Vẽ ñồ thị ñúng 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 I (3ñ) 2) (1ñ) Xét phưong trình: 2 x 2 3x 1 2x m x 2 2x (m 7)x 1 2m 0 (2) ≠ − = − ⇔ − − + + + = Đường thẳng d cắt ñths tại hai ñiểm phân biệt A, B khi pt(2) có hai nghiệm phân biệt khác 2. Điều kiện 2 8 2(m 7) 1 2m 0 m 2m 41 0 − + + + ≠ − + > ñúng với mọi m. Ta có A B A B A B A B m 7 1 2m x x ; x .x ; y .y (2x m)(2x m) 2 2 + + + = = = − − Tam giác OAB vuông t ạ i O khi và ch ỉ khi A B A B 5 OA.OB 0 x x y y 0 m 4 = ⇔ + = ⇔ = Đ S: m=5/4. 0,25 0,25 0,5 II (1 ñ ) Đặ t 2 16 t 2 t 16 3x x dx tdt 3 3 − = − ⇒ = ⇒ = − x 0 t 4 x 4 t 2 = ⇒ = = ⇒ = 0,5 0,5 Khi ñó 4 2 2 4 I dt 3 3 = = ∫ III (1ñ) 1 3x 4x bpt 1 0 1 x 1 x − − ⇔ > ⇔ > + + 1 x 0 ⇔ − < < Bpt có nghi ệ m x ( 1;0) ∈ − 0,5 0,5 1) M ặt cầu (S) có tâm I(-1;2;-1), bán kính R=5. Khoảng cách từ tâm I ñến mặt phẳng (P) | 1 4 2 1| 4 h 5 3 3 − − + − = = < . Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là ñường tròn. Bán kính của ñường tròn 2 2 16 209 r R h 25 9 3 = − = − = 0,25 0,25 0,5 IV (2ñ). 2) Mặt phẳng (P) có một véc tơ pháp tuyến n (1; 2; 2) = − − ; IA (1; 1;1) = − Mặt phẳng (Q) qua I, A và vuông góc với (P) có một vtpt 1 n [n,IA] ( 4; 3;1) = = − − Phương trình mặt phẳng (Q): 4x 3(y 1) z 0 4x 3y z 3 0 − − − + = ⇔ + − − = 0,25 0,25 0,5 V (1ñ) Điều kiện 1 x 3 > Với ñiều kiện ñó phương trình trở thành 4x 3 m 3x 1 − − = − . Xét hàm số 4x 3 1 f(x) , x 3 3x 1 − − = > − Có 3 12x 17 17 f '(x) , f'(x)=0 x= 12 2 (3x 1) − + = ⇒ − BBT x −∞ 1/3 17/12 +∞ y ' + 0 - y 4 13 3 − −∞ Từ bảng biến thiên: 4 m 13 3 − < thoả mãn ycbt. 0,25 0,5 0,25 VIa (1ñ). −∞ I O B A S Gọi I là trung ñiểm của AB. OI=a. Đặt OB=r, SO=h. Theo giả thiết 0 SBO 30 r h 3 = ⇒ = . Trong tam giác vuông SBO có 2 2 SB h r 2h = + = Có 2 2 2 2 BI r a 3h a = − = − . Trong tam giác SBI có 2 2 0 BI 3h a a 2 cos60 h SB 2h 2 − = = ⇒ = . Do ñó a 6 r 2 = . Di ệ n tích xung quanh hình nón: 2 a 12 S r.SB 2 = π = π 0,25 0,5 0,25 VIIa (1 ñ ) pt 2x x 2 3.2 2 0 ⇔ − + = x x 2 1 x 0 x 1 2 2 = = ⇔ ⇔ = = KL 0,25 0,5 0,25 VIb (2 ñ ) G M O B A D C S N Ch ỉ ra ñượ c M, N th ứ t ự là trung ñ i ể m c ủ a SC, SD. O là trung ñ i ể m c ủ a AC thì 0 MAO 30 = . Tính ñượ c a 3 AC 2AO 2 a 3 AD a 2 2 = = = ⇒ = . Tính ñượ c V= 3 S.ABCD a 2 V 3 = . 0,25 0,25 0,25 S.AMN S.AMB S.AMN S.AMB S.ACD S.ACB 3 S.ABMN V V 1 1 1 1 V V; V V V 4 8 V 2 4 3 a 2 V V 8 8 = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = 0,25 VIIb (1 ñ ) hpt x x y x x y x x y x x y 3 64 4 9 3 4 73 3 .4 576 3 9 4 64 + + + + = = + = ⇔ ⇔ = = = Tìm ñượ c: 3 4 3 (x;y) (2;1); (x;y) (log 64;log 9 log 64) = = − 0,5 0,5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 12 Thời gian làm bài: 90 phút Đề chẵn A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 ñiểm). Câu I. (3 ñiểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − (1) 1) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ ñồ th ị (C ) c ủ a hàm s ố (1). 2) Tìm tham s ố m ñể ñườ ng th ẳ ng có ph ươ ng trình y = x + m c ắ t ñồ th ị (C) t ạ i hai ñ i ể m A, B sao cho tam giác OAB vuông t ạ i O. Câu II. (1 ñ i ể m) Tính tích phân sau: 3 0 1 25 3 I dx x = − ∫ Câu III. (1 ñiểm) Giải bất phương trình sau: 2 1 2 log 0 1 x x + > + Câu IV. (2 ñiểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0, mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 25 x y z − + + + − = . 1) Ch ứ ng minh r ằ ng m ặ t ph ẳ ng (P) c ắ t m ặ t c ầ u (S) theo giao tuy ế n là ñườ ng tròn. Tìm bán kính c ủ a ñườ ng tròn ñ ó. 2) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (Q) qua tâm I c ủ a m ặ t c ầ u, qua ñ i ể m A(1; 1; 0) và vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P). Câu V. (1 ñ i ể m) Tìm tham s ố m ñể ph ươ ng trình sau có hai nghi ệ m phân bi ệ t: 2 3 1 2 1 2 1 x x mx x − − = − + − B. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (2 ñ i ể m). Học sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần I hoặc phần II) I. Theo chương trình chuẩn: Câu VIa. (1 ñ i ể m) Cho hình nón ñỉ nh S, ñườ ng cao SO. G ọ i A, B là hai ñ i ể m trên ñườ ng tròn ñ áy c ủ a hình nón sao cho 30 o SAO = , 60 o SAB = , d( O, AB) = a. Tính th ể tích kh ố i nón ñ ó. Câu VIIa. (1 ñ i ể m) Gi ả i ph ươ ng trình sau: 1 1 3 3 10 x x+ − + = II. Theo chương trình nâng cao: Câu VIb. (1 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật, ñường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), G là trọng tâm của tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, mặt phẳng (ABG) cắt SD tại N. Tính thể tích khối ña diện MNABCD, biết SA = AB = a, góc giữa ñường thẳng AN và mặt phẳng (ABCD) bằng 30 o . Câu VIIb. (1 ñiểm) Giải hệ phương trình: 1 2 5 7 2 .5 5 x x y x x y + − + + = = Hết Họ tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN, LỚP 12. ĐỀ CHẴN Chú ý : Dưới ñây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho ñiểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác ñúng thì chấm và cho ñiểm từng phần tương ứng . Câu Đáp án vắn tắt Điểm 1) (2ñ) * Tập xác ñịnh :D= { } ℝ \ 1 * Sự biến thiên + →−∞ →+∞ = = lim lim 2 x x y y ; + − → → = +∞ = −∞ 1 1 lim ; lim x x y y + Đồ thị hàm số nhận ñường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang và ñường thẳng x=1 làm tiệm cận ñứng. + Ta có 2 1 y' (x 1) − = − <0 với mọi x thuộc D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1) −∞ và (1; ) +∞ . +Bảng biến thiên x −∞ 1 +∞ y ' - - y 2 +∞ −∞ 2 +) Vẽ ñồ thị ñúng 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 I (3ñ) 2) (1ñ) Xét phưong trình: 2 x 1 2x 1 x m x 1 x x(m 3) 1 m 0 (2) ≠ − = + ⇔ − + − + − = Đường thẳng d cắt ñths tại hai ñiểm phân biệt A, B khi pt(2) có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều kiện 2 1 m 3 1 m 0 m 2m 5 0 + − + − ≠ − + > ñúng với mọi m. Ta có A B A B A B A B x x 3 m; x x 1 m; y y (x m)(x m) + = − = − = + + Tam giác OAB vuông tại O khi và chỉ khi A B A B OA.OB 0 x x y y 0 m 2 = ⇔ + = ⇔ = − ĐS: m=-2. 0,25 0,25 0,5 II (1ñ) Đặt 2 25 t 2 t 25 3x x dx tdt 3 3 − = − ⇒ = ⇒ = − x 0 t 5 x 3 t 4 = ⇒ = = ⇒ = Khi ñó 5 4 2 2 I dt 3 3 = = ∫ 0,5 0,5 III (1ñ) 1 2x x bpt 1 0 1 x 1 x + ⇔ > ⇔ > + + x 0 x 1 > ⇔ < − Bpt có nghi ệ m x ( ; 1) (0; ) ∈ −∞ − ∪ +∞ 0,5 0,5 1) M ặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2), bán kính R=5. Khoảng cách từ tâm I ñến mặt phẳng (P) | 2 1 4 3| 4 h 5 3 3 + + − = = < . Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là ñường tròn. Bán kính của ñường tròn 2 2 16 209 r R h 25 9 3 = − = − = 0,25 0,25 0,5 IV (2ñ). 2) Mặt phẳng (P) có một véc tơ pháp tuyến n (2; 1;2) = − ; IA (0;2; 2) = − Mặt phẳng (Q) qua I, A và vuông góc với (P) có một vtpt 1 n [n,IA] ( 2;4;4) = = − Phương trình mặt phẳng (Q): (x 1) 2(y 1) 2z 0 x 2y 2z 1 0 − − + − + = ⇔ − + + − = 0,25 0,25 0,5 V (1ñ) Điều kiện 1 x 2 > Với ñiều kiện ñó phương trình trở thành 3x 2 m 2x 1 − − = − . Xét hàm số 3x 2 1 f(x) , x 2 2x 1 − − = > − Có 3 3x 5 5 f '(x) . f'(x)=0 x= 3 (2x 1) − + = ⇒ − BBT x −∞ 1/2 5/3 +∞ y ' + 0 - y 21 − −∞ Từ bảng biến thiên: m 21 < − thoả mãn ycbt. 0,25 0,5 0,25 VIa (1ñ). −∞ I O B A S Gọi I là trung ñiểm của AB. OI=a. Đặt OA=r, SO=h. Theo giả thiết 0 SAO 30 r h 3 = ⇒ = . Trong tam giác vuông SAO có 2 2 SA h r 2h = + = Có 2 2 2 2 AI r a 3h a = − = − . Trong tam giác SAI có 2 2 0 AI 3h a a 2 cos60 h SA 2h 2 − = = ⇒ = . Do ñó a 6 r 2 = . Th ể tích kh ố i nón: 3 2 1 a 2 V r h 3 4 π = π = 0,25 0,5 0,25 VIIa (1 ñ ) pt 2x x 3.3 10.3 3 0 ⇔ − + = x x 3 3 x 1 1 x 1 3 3 = = ⇔ ⇔ = − = KL 0,25 0,5 0,25 VIb (2ñ) I G M O B A D C S N Chỉ ra ñược M, N thứ tự là trung ñiểm của SC, SD. I là trung ñiểm của AD thì 0 NAI 30 = . Tính ñược a 3 AD 2AI 2 a 3 2 = = = . Tính ñược V= 3 S.ABCD a 3 V 3 = . 0,25 0,25 0,25 S.AMN S.AMB S.AMN S.AMB S.ACD S.ACB 3 S.ABMN MNABCD V V 1 1 1 1 V V; V V V 4 8 V 2 4 3 5 5a 3 V V V V 8 8 24 = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = 0,25 VIIb (1 ñ ) hpt x x y x x y x x y x x y 2 2 5 5 2 5 7 2 .5 10 2 5 5 2 + + + + = = + = ⇔ ⇔ = = = Tìm ñượ c: 2 5 2 (x;y) (1;0); (x;y) (log 5;log 2 log 5) = = − 0,5 0,5 . 2 SB h r 2h = + = Có 2 2 2 2 BI r a 3h a = − = − . Trong tam giác SBI có 2 2 0 BI 3h a a 2 cos60 h SB 2h 2 − = = ⇒ = . Do ñó a 6 r 2 = . Di ệ n tích xung quanh hình nón: 2 a 12 S r.SB 2 = π. Theo giả thi t 0 SAO 30 r h 3 = ⇒ = . Trong tam giác vuông SAO có 2 2 SA h r 2h = + = Có 2 2 2 2 AI r a 3h a = − = − . Trong tam giác SAI có 2 2 0 AI 3h a a 2 cos60 h SA 2h 2 − = = ⇒. π = π 0 ,25 0,5 0 ,25 VIIa (1 ñ ) pt 2x x 2 3 .2 2 0 ⇔ − + = x x 2 1 x 0 x 1 2 2 = = ⇔ ⇔ = = KL 0 ,25 0,5 0 ,25 VIb (2 ñ ) G M O B A D C S N