KIỂM TRA HỌC KỲ I Môn : TOÁN - LỚP 12 CƠ BẢN Thời gian làm bài : 90 phút ……………………………… ĐỀ SỐ 1 Bài 1(3 điểm ) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ). 2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0 . 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 . Bài 2 (0, 5 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] 2 4 3 , x 1 ; 3y x x= − + − ∈ Bài 3 ( 1, 75 điểm ) 1/ Giải các phương trình sau : a/ x x 25 25 1 1 = + b/ 2 2 32 log 5log 2 0x x − − = 2/ Giải bất phương trình : 2 3 3 log (2 4 ) log (9 3 )x x x + > − Bài 4 ( 1 điểm ) 1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau : a/ 3 2 (3 2)y x= − b/ y = ln(3x + 1) 2/ Cho hàm số 2 3 x x y e e x = + − . Tìm x để y ’ ≥ 0 Bài 5 ( 1 điểm ) Cho hàm số 2 1 2 x y x − = − (2) 1/ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho . 2/ Chứng minh rằng với mọi số thực k thì đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số (2 ) tại hai điểm phân biệt . Bài 6 (2,75 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a , SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a . 1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu . Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu này . 3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình nón .Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này . 4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) . ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 12 CƠ BẢN HỌC KỲ I ĐỀ SỐ 1 Bài câu Hướng dẫn giải Điểm 1 3đ 1 2đ Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ). Giải : 1)TXĐ : R 2) Sự biến thiên : a) Chiều biến thiên : y’ = 3x 2 + 6x = 3x(x + 2) y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = - 2 b) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; - 2 ), ( 0 ; + ∞) và nghịch biến trên khoảng ( -2 ; 0) c) Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x = - 2 và y CĐ = 0 và đạt cực tiểu tại x = 0 , y CT = -4 d ) Giới hạn : +∞= ∞+→ y x lim ; −∞= ∞−→ y x lim Đồ thị hàm số không có tiệm cận e) Bảng biến thiên 3) Đồ thị x y -4 -2 O 1 Nhận xét đúng 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 2 0,5 2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0 . Giải x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0 <= > x 3 + 3x 2 - 4 = m Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 – 4 m số giao điểm số nghiệm m > 0 1 1 m = 0 2 2 - 4 < m < 0 3 3 m = -4 2 2 0,25 0,25 m < - 4 1 1 3 0,5 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 . Ta có : hoành độ tiếp điểm x = 1 ; tung độ tiếp điểm y = 0 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm ( 1; 0 ) là : y’(1) = 9 Phương trình tiếp tuyến : y = 9(x – 1) + 0 = 9x - 9 0,25 0,25 2 0,5đ Bài 2 (0, 5 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] 2 4 3 , x 1 ; 3y x x= − + − ∈ Trên đoạn [1 ; 3 ] ta có 34 2 342 42 ' 22 −+− +− = −+− +− = xx x xx x y y’ = 0 <=> x = 2 thuộc đoạn [1 ; 3 ] y(1) = 0 ; y(3) = 0 y(2) = 1 [ ] 1 ;3 1 = yMax ; [ ] 0 ;3 1 = yMin 0,25 0,25 3 1,75 đ 1 0,5đ Giải các phương trình sau : 2 1 2225525 25 1 222x 1 x −=⇔=−−⇔=⇔= −− + xxx xx 0,5 0,75 b/ 2 2 32 log 5log 2 0x x − − = ĐK : x > 0 2 2 32 log 5log 2 0x x − − = 02loglog02log5log 2 2 2 2 2 2 5 =−−⇔=−−⇔ xxxx Đặt xt 2 log = , phương trình đã cho trở thành phương trình : t 2 – t - 2 = 0 <=> t = - 1 hoặc t = 2 Với t = - 1 ta có 2 1 1log 2 =⇔−= xx Với t = 2 ta có 42log 2 =⇔= xx 0,25 0,25 0,25 2 0,5 2/ Giải bất phương trình : 2 3 3 log (2 4 ) log (9 3 )x x x + > − 0,25 0,25 <=> 3) ; 1( 3 ) ; 1(); 2 9 - ; ( 3 0972 039 3942 22 ∈⇔ < ∞+∪−∞∈ ⇔ < >−+ ⇔ >− −>+ ⇔ x x x x xx x xxx 4 1đ 1 Bài 4 ( 1 điểm ) 1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau : a/ 3 2 (3 2)y x= − . TXĐ : 3 2 >x dxxdxxxdy 23 2 9 ))'23.()23( 2 3 ( 1 2 3 −=−−= − 0,25 b/ y = ln(3x + 1) TXĐ : 3 1 −>x Ta có dx x dy 13 3 + = 0,25 2 2/ Cho hàm số 2 3 x x y e e x = + − . Tìm x để y ’ ≥ 0 Hàm số đã cho xác định với mọi số thực x y’ = 2e 2x + e x - 3 y’ ≥ 0 <=> 2e 2x + e x - 3 ≥0 . Đặt t = e x , t > 0 ta có : 2t 2 + t - 3 ≥ 0 <=> t ≤ -3/2 hoặc t ≥ 1 Kết hợp với điều kiện t > 0 ta có t ≥ 1 Do đó e x ≥ 1 ,<=> x ≥ 0 0,25 0,25 5 1 Bài 5 ( 1 điểm ) Cho hàm số 2 1 2 x y x − = − (2) TXĐ : x ≠ 2 Đồ thị hàm số (2) có TCĐ là đường thẳng có phương trình x = 2 và TCN là đường thẳng có phương trình y = 2 . 0,25 0,25 2 Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x – k với đồ thị hàm số 2 1 2 x y x − = − là : ≠ =+++− ⇔ ≠ −−=− ⇔−= − − 2 ) * ( 012)4( 2 ))(2(12 2 12 2 x kxkx x kxxx kx x x Chứng minh được phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 2 với mọi số thực k . 0,25 Kết luận : Đường thẳng y = x – k luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt với mọi số thực k . 0,25 6 1 Bài 6 ( 3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a , SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a . a 2a 2a I O D A B C S H 1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 4 2.2 3 1 3 1 3 a aaaSASV ABCD === 0,25 0,5 2 2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu này . Gọi I là trung điểm của cạnh SC Chứng minh được : IS = IA = IB = IC = ID 5 điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu tâm I , bán kính 2 SC r = = aaaSAAC 345 2 1 2222 =+=+ 0,5 0,25 3 3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình nón .Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này . Mặt nón tạo thành có độ dài đường sinh l = SB = a 5 và bán kính đáy r’ = SA = 2a ; chiều cao h = AB = a Suy ra : Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là : Sxq = πr’l = π.2a.a 5 = 2πa 2 . 5 (đvdt) 0,25 0,5 4 4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) . Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) nên mặt cầu này có bán kính bằng khoảng cách từ tâm A đến (SCD). Trong mặt phẳng (SAD) , kẻ AH ⊥ SD tại H . Khi đó )(SCDSH CDSH SDSH ⊥⇒ ⊥ ⊥ H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SCD). AH = d(A , (SCD)) , AH = 2 2 a SD = , Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R = a 2 0,25 0,25 . Hướng dẫn gi i i m 1 3đ 1 2đ Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 ) 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ). Gi i : 1)TXĐ : R 2) Sự biến thi n : a) Chiều biến thi n : y’ = 3x 2 . luôn có hai nghiệm phân biệt khác 2 v i m i số thực k . 0,25 Kết luận : Đường thẳng y = x – k luôn cắt đồ thị hàm số đã cho t i hai i m phân biệt v i m i số thực k . 0,25 6 1 B i 6 ( 3 i m) . (C ) t i i m có hoành độ bằng 1 . Ta có : hoành độ tiếp i m x = 1 ; tung độ tiếp i m y = 0 Hệ số góc của tiếp tuyến v i đồ thị (C ) t i i m ( 1; 0 ) là : y’(1) = 9 Phương trình tiếp tuyến