Bt Ds 11 Chuong 1

I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: OP OQ AT BT cos sin tan ' cot α α α α = = = = Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1 α α α ∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤ • tanα xác định khi k k Z, 2 π α π ≠ + ∈ • cotα xác định khi k k Z, α π ≠ ∈ 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV sin α + + – – cos α + – – + tan α + – + – cot α + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin 2 α + cos 2 α = 1; tanα.cotα = 1 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin α α α α + = + = 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cos α α − = sin( ) sin π α α − = sin cos 2 π α α   − =  ÷   sin( ) sin α α − = − cos( ) cos π α α − = − cos sin 2 π α α   − =  ÷   tan( ) tan α α − = − tan( ) tan π α α − = − tan cot 2 π α α   − =  ÷   cot( ) cot α α − = − cot( ) cot π α α − = − cot tan 2 π α α   − =  ÷   1 CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' α T Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 π sin( ) sin π α α + = − sin cos 2 π α α   + =  ÷   cos( ) cos π α α + = − cos sin 2 π α α   + = −  ÷   tan( ) tan π α α + = tan cot 2 π α α   + = −  ÷   cot( ) cot π α α + = cot tan 2 π α α   + = −  ÷   5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 − –1 0 II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan π α π α α α α α     + − + = − =  ÷  ÷ − +     2 III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin2 2sin .cos α α α = 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin α α α α α = − = − = − 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot2 2cot 1 tan α α α α α α − = = − Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 α α α α α α α − = + = − = + 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan α α α α α α α α α α = − = − − = − 2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 α : Đặt: t ktan ( 2 ) 2 α α π π = ≠ + thì: t t 2 2 sin 1 α = + ; t t 2 2 1 cos 1 α − = + ; t t 2 2 tan 1 α = − IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b + − − = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin − − = sin cos 2.sin 2.cos 4 4 π π α α α α     + = + = −  ÷  ÷     sin cos 2sin 2 cos 4 4 π π α α α α     − = − = − +  ÷  ÷     2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b   = − + +     = − − +     = − + +   3 Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ siny x= : Tập xác định D = R; tập giá trị 1, 1T   = −   ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2T = π . * y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = sin(f(x)) xác định ( )f x⇔ xác định. cosy x= : Tập xác định D = R; Tập giá trị 1, 1T   = −   ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2T = π . * y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = cos(f(x)) xác định ( )f x⇔ xác định. tany x = : Tập xác định \ , 2 D R k k Z   = + ∈     π π ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = tan(f(x)) xác định ( )f x⇔ ( ) 2 k k Z≠ + ∈ π π coty x = : Tập xác định { } \ ,D R k k Z= ∈ π ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = cot(f(x)) xác định ( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈ π . * y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 4 I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Thì hàm số 1 2 ( ) ( )y f x f x= ± có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . Baøi 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: a) 2 sin 1 x y x   =  ÷ −   b) siny x= c) 2 siny x= − d) 2 1 cosy x= − e) 1 sin 1 y x = + f) tan 6 y x   = −  ÷   π g) cot 3 y x   = +  ÷   π h) sin cos( ) x y x = − π i) y = 1 tan 1x − Baøi 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = 2sin 1 4 x   + +  ÷   π b) 2 cos 1 3y x= + − c) siny x= d) 2 4sin 4sin 3y x x= − + e) 2 cos 2sin 2y x x= + + f) 4 2 sin 2cos 1y x x= − + g) y = sinx + cosx h) y = 3sin2 cos2x x− i) y = sin 3 cos 3x x+ + Baøi 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx d) y = tanx + cotx e) y = sin 4 x f) y = sinx.cosx g) y = sin tan sin cot x x x x − + h) y = 3 3 cos 1 sin x x + i) y = tan x Baøi 4. Tìm chu kỳ của hàm số: a) sin2y x= b) cos 3 x y = c) 2 siny x= d) sin2 cos 2 x y x= + e) tan cot3y x x= + f) 3 2 cos sin 5 7 x x y = − g) 2sin . cos3y x x= h) 2 cos 4y x= i) y = tan(−3x + 1) HD: a) π b) 6 π c) π d) 4 π e) π f) 70 π g) π h) 4 π i) 3 π Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D. – Tìm chu kỳ T 0 của hàm số. – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T 0 có thể chọn: 0 0,x T   ∈   hoặc 0 0 , 2 2 T T x   ∈ −     . 5 – Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. – Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v k T i 0 . .= r r về bên trái và phải song song với trục hoành Ox (với i r là véc tơ đơn vị trên trục Ox). 2) Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0. b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành. c) Đồ thị f x neáu f x y f x f x neáu f x ( ), ( ) 0 ( ) ( ), ( ) 0  ≥ = =  − <  được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. – Tập xác định: D = R. – Tập giá trị: 1, 1 .   −   – Chu kỳ: T = 2 . – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π – Tịnh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thị y = sinx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2    ÷   π và nghịch biến trên , . 2    ÷   π π Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. – Tập xác định: D = R. – Tập giá trị: 1, 1 .   −   – Chu kỳ: T = 2 . – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :     π 6 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = sinx –1 y x 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = cosx –1 y x x0y 1 0 –1 0 0 x0y 0 –1 0 1 1 – Tịnh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thị y = cosx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. – Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, 2    ÷   π và nghịch biến trên khoảng 3 , . 2    ÷   π π Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx. – Tập xác định: D = R \ , 2 k k Z   + ∈     π π – Tập giá trị: R. – Giới hạn: 2 lim x y →± = ∞ π : 2 x⇒ = ± π là tiệm cận đứng. – Chu kỳ: T = . – Bảng biến thiên trên , 2 2   −  ÷   π π : – Tịnh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thị y = tanx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D. Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. – Tập xác định: D = R { } \ ,k k Z∈ π – Tập giá trị: R. – Giới hạn: 0 lim , lim x x x y y → → = + ∞ = −∞ tiệm cận đứng: x = 0, x = . – Chu kỳ: T = . – Bảng biến thiên trên đoạn 0,     π : – Tịnh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thị y = cotx. Nhận xét: 7 x0y 0 –∞ +∞ x0y 0 +∞ –∞ x y 3 2 π − π 2 π − O 2 π π 3 2 π 2π 5 2 π y = tanx x y 2− π 3 2 π − O 2 π − 2 π π 3 2 π y = cotx −π 2π – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn giảm trên tập xác định D. Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. – Vẽ đồ thị y = sinx. – Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx sin , neáu sin x 0 sin -sin x, neáu sin x < 0. x y x  ≥ = =   Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thị y = cosx. – Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị 1 cosy x= + bằng cách tịnh tiến đồ thị cosy x= lên trục hoành 1 đơn vị. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : 8 y x –2 3 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O −π 2 π − y = –sinx 1 –1 π 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O y = /sinx/ y 1 x x0y = cosx1 0 –1 01y = 1 + cosx2 1 0 12 2 π − O y = 1 + cosx y x − π 2 π π 3 2 π y = cosx 2 1 –1 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T = π – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T = π – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : 9 O y x 2 π 4 π 1 2 π 4 π y = cos2x –1 3 4 π 2 π − O y x π 4 π − 4 π 1 3 2 π 2 π 5 4 π y = sin2x –1 x02x0y = sin2x 0 –1 01 0 x02x0y = cos2x –1 01 0 –1 Ví dụ 10: Vẽ đồ thị sin 4 y x   = +  ÷   π có chu kỳ T = 2 π . Ví dụ 11: Vẽ đồ thị cos 4 y x   = −  ÷   π có chu kỳ T = 2 π . 10 x–000 –1 0 1 0 x–00 –1 0 1 0 3 2 π O y x −π 3 4 π − 2 π − 4 π − 4 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 7 4 π y = sin 1 2 / 2 2 / 2− –1 [...]...0 Vớ d 12 : V th y = sin x + cos x = 2 sin x + ữ cú chu k T = 2 4 x0 010 10 1 1 0 1 1 0 y 2 1 3 4 2 4 O 2 4 1 1 1 2 1 1 3 4 4 O Vớ d 13 : V th y = cos x sin x = 5 4 3 2 x 7 4 0 1 2 2 3 4 0 1 1 y y= 4 2 3 2 y= 5 4 3 2 7 4 x 2 cos x + ữ cú chu k T = 2 4 x0cosx1 010 1sinx 010 10cosx sinx1 011 0 11 1 0 1 1 0 1 1 11 y y 2 2 1 3 4 2 4 o 1 1 y = cosx sinx 4 2 3... tan(2 x + 1) + cot x = 0 10 ) cos( x 2 + x ) = 0 11 ) sin( x 2 2 x ) = 0 12 ) tan( x 2 + 2 x + 3) = tan 2 13 ) cot 2 x = 1 14) sin 2 x = 1) sin(3 x + 1) = sin( x 2) 15 ) cos x = 1 2 2 2 16 ) sin x ữ = cos x 4 1 2 II PHNG TRèNH BC HAI I VI MT HM S LNG GIC Dng asin2 x + b sin x + c = 0 t t = sinx iu kin 1 t 1 a cos2 x + b cos x + c = 0 t = cosx 1 t 1 a tan 2 x + b tan x + c = 0 t = tanx x a cot 2... kin: 1 Kim tra trc tip bng cỏch thay giỏ tr ca x vo biu thc iu kin 2 Dựng ng trũn lng giỏc 3 Gii cỏc phng trỡnh vụ nh cos x 0 x 14 Baứi 1 Gii cỏc phng trỡnh: 1) cos 2 x + ữ = 0 6 4) sin 3 x + ữ = 0 3 7) sin ( 3 x + 1) = 1 2 1 10) cos 2 x ữ = 2 6 13 ) tan 3 x + ữ = 1 6 2) cos 4 x ữ = 1 3 x 5) sin ữ = 1 2 4 ( ) 8) cos x 15 0 = 3) cos x ữ = 1 5 6) sin + 2 x ữ = 1 6... cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 Baứi 2 Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) sin6x + cos6x = 1 4 2) sin8x + cos8x = 3) cos4x + 2sin6x = cos2x 1 8 4) sin4x + cos4x cos2x + 1 4 sin2 2x 1= 0 Baứi 3 Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx cosx) 1 = 0 3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 + 5) sinx (1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx 1) (2cos2x + 2sinx + 1) = 3 ... t 1 15 Baứi 1 Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 3) 4cos5x.sinx 4sin5x.cosx = sin24x 2) 4sin2x 4cosx 1 = 0 4) tan 2 x + ( 1 3 ) tan x 3 = 0 5) 4sin 2 x 2 ( 3 + 1) sin x + 3 = 0 7) tan2x + cot2x = 2 Baứi 2 Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) 4sin23x + 2 ( 3 + 1) cos3 x 3 = 4 6) 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x 8) cot22x 4cot2x + 3 = 0 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 3) 4cos2(2 6x) + 16 cos2 (1. .. + 1) sin 2 x 2 3 sin x.cos x + ( 3 1) cos2 x = 0 10 ) 3cos4 x 4sin2 x cos2 x + sin 4 x = 0 11 ) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx 1 = 0 12 ) 2cos2x 3sinx.cosx + sin2x = 0 Baứi 2 Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) sin 3 x + 2sin x.cos 2 x 3cos 3 x = 0 2) 3 sin x.cos x sin 2 x = 2 1 2 3) sin3 x 5sin 2 x.cos x 3sin x.cos2 x + 3cos3 x = 0 ( ) 2 2 Baứi 3 Tỡm m phng trỡnh: m + 1 sin x sin 2 x + 2 cos x = 1 cú... x sin x ) = 4 2) 5sin2x 12 (sinx cosx) + 12 = 0 3) ( 1 2 ) ( 1 + sin x cos x ) = sin 2 x 4) cosx sinx + 3sin2x 1 = 0 5) sin2x + 2 sin x ữ = 1 4 6) ( sin x cos x ) 2 ( 2 + 1) (sin x cos x ) + 2 = 0 Baứi 3 Gii cỏc phng trỡnh: 1) sin3x + cos3x = 1 + ( 2 2 ) sinx.cosx 2) 2sin2x 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 19 VI PHNG TRèNH DNG KHC Baứi 1 Gii cỏc phng trỡnh sau: 3 2 1) sin2x = sin23x 2) sin2x... ) 3 3 11 ) tan ( 2 x 1) = 3 12 ) cot 3 x + 10 0 = 14 ) cot 2 x ữ = 1 3 15 ) cos(2x + 250) = 2 2 Baứi 2 Gii cỏc phng trỡnh: 3) cos3 x = sin 2 x 2) cos x ữ = cos 2 x + ữ 3 6 4) sin( x 12 0 0 ) + cos 2 x = 0 5) cos 2 x + ữ+ cos x ữ = 0 3 3 7) tan 3 x ữ = tan x + ữ 4 6 x 6) sin 3 x + sin ữ = 0 4 2 8) cot 2 x ữ = cot x + ữ 4 3 9) tan(2 x + 1) + cot x = 0 10 ) cos(... 2 4 1 sin x.cos x = (t 2 1) 2 Tng t dng trờn Khi tỡm x cn lu ý phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i Baứi 1 Gii cỏc phng trỡnh: 1) 2sin 2 x 3 3 ( sin x + cos x ) + 8 = 0 2) 2 ( sin x + cos x ) + 3sin 2 x = 2 5) sinx + cosx 4sinx.cosx 1 = 0 6) ( 1 + 2 ) ( sin x + cos x ) sin 2 x = 1 + 2 3) 3 ( sin x + cos x ) + 2sin 2 x = 3 4) ( 1 2 ) ( 1 + sin x + cos x ) = sin 2 x Baứi 2 Gii cỏc phng trỡnh: 1) sin... Baứi 1 Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) 2sin 2 x + ( 1 3 ) sin x.cos x + ( 1 3 ) cos2 x = 1 2) 3sin 2 x + 8sin x.cos x + ( 8 3 9 ) cos2 x = 0 3) 4sin 2 x + 3 3 sin x.cos x 2 cos2 x = 4 4) sin 2 x + sin 2 x 2 cos2 x = 1 2 5) 2sin 2 x ( 3 + 3 ) sin x.cos x + ( 3 1) cos2 x = 1 6) 5sin 2 x + 2 3 sin x.cos x + 3cos2 x = 2 7) 3sin 2 x + 8sin x.cos x + 4 cos2 x = 0 ( 9) ( 8) 2 1 ) sin 2 x + sin 2 x + ( 2 + 1) . 4 π − 3 2 π 7 4 π 1 2 x0cosx 10 10–1sinx0 10 10cosx – sinx 1 011 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 Ví dụ 14 : Vẽ đồ thị y = tanx + cotx. – Tập xác định: . , 2 D R k k Z   = ∈     π – Chu kỳ T = π . 12 y x 3 4 π − 2 π − 4 π − −π o 4 π 2 π. 2 π . 11 x–00 1 0 1 0 x–00 10 10 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 3 2 π O y x −π 3 4 π − 2 π − 4 π − 4 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 7 4 π y = 1 2 2− 1 4 π 2 π O y x 3 4 π − 2 π − −π 5 4 π 3 2 π π y = 4 π − 3 2 π 7 4 π 1 2 x0cosx 10 10–1sinx0 10 10cosx. biệt 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 12 0 0 13 5 0 18 0 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− 1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 − 1 0 II. CÔNG THỨC CỘNG Công