Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN năm 2011 môn toán (vòng 1 2)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 MÔN: TOÁN Vòng 1 Thời gian làm bài: 120 phút Không kể thời gian p

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

MÔN: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải hệ phương trình

  2

2







2) Giải phương trình

2

2( 1)

x x



 



Câu II 1) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên ( , , )x y z thỏa mãn

đẳng thức

7 5

x y  z  2) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( , )x y thỏa mãn đẳng thức

(x1) (x1)  y

Câu III Cho hình bình hành ABCD với BAD90 

Đường phân giác của góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C Kẻ đường thẳng

( )d đi qua A và vuông góc với CO Đường thẳng ( )d lần lượt cắt các đường

thẳng CB CD, tạiE F,

1) Chứng minh rằng OBE ODC

2) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF

3) Gọi giao điểm của OC và BD là I,chứng minh rằng IB BE EI ID DF FI

Câu IV Với x y, là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4

P

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Vòng 1) Câu I 1) Hệ phương trình tương đương với

2

2

( 1) ( 1) 2







2

2

( 1)( 1) 2 (1)

( 2)( 1) 1 (2)



 



+) Nếu x 1suy ra 2

(x 1)(y  1)  0 nên từ (1) 2 y0 2

2 ( 2)( 1) 0

      do đó

từ (2) x  1 0 x 1 mâu thuẫn

+) Nếu x 1, tuơng tự suy ra x 1 mâu thuẫn

+) Nếu x 1 y2 (thỏa mãn)

Đáp số x1,y2

2) Điều kiện x 0 Phương trình tương đương

2

3 2(x 1) x x 7.

x

Chia hai vế cho x 0ta thu được

    (x 3) 2(1 1) x 3 4 0

       ( x 3 2) ( x 3 2) 0

3

x x





  



2

3 4 0

         (x1)(x2 x 4)0x1

Đáp số x1,x3

Câu II 1) Giả sử tồn tại các số nguyên x y z, , thỏa mãn

x  y  z  x y z  z  (1)

Ta có 4

0,1 (mod 8)

a  với mọi số nguyên a

4 4 4

4

0,1, 2,3 (mod 8)

8 5 5(mod 8)

z

   



 

 



Mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn tại ( , , )x y z thỏa mãn đẳng thức

2) Phương trình tương đương với

(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) y

    (2x22)(4 )x  y38x38x y3.

x  x  x  x x (2 )x3 y3(2x1)3(mâu thuẫn vì ynguyên)

+) Nếu x  1 và ( , )x y là nghiệm, ta suy ra ( x, y)cũng là nghiệm, mà   x 1 mâu thuẫn

+) Nếu x 0 y0(thỏa mãn)

Vậy x y0là nghiệm duy nhất

Câu III

1) Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD

      cân tại OOBOD(1).Tứ giác OBCD nội tiếp ODCOBE (2)(cùng bù với góc OBC) Trong CEFcó CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên CEFcân tại C Do

AB CF  AEBAFCEAB ABEcân tại B BEBACD (3). Từ

(1), (2), (3)suy ra OBE ODC c( gc) (đpcm)

2) Từ câu 1) OBE ODC suy ra OEOC Mà CO là đường cao tam giác cân

CEF OEOF Từ đó OEOCOF vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

CEF

 (đpcm)

E

F

O I

A

D

3) Theo (3)BECD mà CECF BCDF Ta có CI là đường phân giác góc BCD IB CB DF . .

IB BE ID DF

Mà COlà trung trực EF và ICOIE IF

Từ hai đẳng thức trên suy ra IB BE EI ID DF FI (đpcm)

Câu IV Ta chứng minh

x  y  x  y (1)

3 8 3 ( 2 2 2 2)

(x 2y ) x x( 8y )

    4x y2 24y48xy3

2 2

2

   (đúng)

Ta chứng minh

y  xy  x  y (2)

(x 2y ) y y( (x y) )

     (x22y2 2) y4 y x( y)3 (x2y2)(x23y2) y x( y)3

Ta có

2

x  y  xy

x  y x y  y  xy y  y xy

2

Từ (1)và (2)P 1 Dấu bằng xảy ra  x y Vậy Pmin  1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

MÔN: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình

 x 3 x 1 x 1 1 2) Giải hệ phương trình

2 2

2 4

x y









Câu II 1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt

quá avà ký hiệu là  a Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức

2

27 3

n  n 

   không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương

2) Với x y z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức , , xyyzzx , tìm giá 5 trị nhỏ nhất của biểu thức



Câu III Cho hình thang ABCD với BC song song AD. Các góc BAD và CDA là các góc

nhọn Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng

BC ( P không trùng với , B C ) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA tại M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P

1) Chứng minh rằng năm điểm A M I N D cùng nằm trên một đường tròn Gọi , , , , đường tròn này là ( ).K

2) Giả sử các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại Q chứng minh rằng Q cũng , nằm trên đường tròn ( ).K

3) Trong trường hợp P I Q thẳng hàng, chứng minh rằng , , PB BD.

PC  CA

Câu IV Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên  Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1,

phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A x 1 , luôn tồn tại a b cũng thuộc A ,

sao cho x   ( a có thể bằng b ) Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất a b

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Vòng 2) Câu I 1) Điều kiện 0 x 1, phương trình tương đương

3

x

 

3( 1 x 1) x x 3

Nếu 0 x  1 3  1  x 1 3 đồng thời x x 3 1 43

Suy ra VTVP (loại)

Thử lại ta thấy x 1 là nghiệm

2) x y 0 là nghiệm Xét x 0,y 0 hệ phương trình tương đương với



Thay (1) vào (2) ta thu được

3

1 1

2

1 1

8 1 1

x y

x y

xy



 



   



1

x y

  

Câu II

1) Ký hiệu 3 1 1

,

27 3

K  n  

do n 1K  1 Ta có

1

27 3

2

K

3

K

( 1)

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

Suy ra

2

27 3

nK  n  n  

không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương

2) Ta có

6 x 5  6 y 5  z 5 6 xy xz  6 yz yx  zx zy

xy  xz xy  yz zx  zy

Suy ra

3

P

 

     Đẳng thức xảy ra  x y 1,z  2.

Vậy min 2

3

P 

Câu III

AD BC MADBPM BIM tứ giác AMID nội tiếp Tương tự tứ giác DNIA nội tiếp Vậy năm điểm A M I N D, , , , thuộc một đường tròn  K

nội tiếp nên ta có QMIBPI CNI

 tứ giác MINQ nội tiếp

Mà M I N, ,  K Tứ giác MINQ nội tiếp đường tròn  K

Vậy Qthuộc đường tròn K (đpcm)

3) Khi P I Q, , thẳng hàng, kết hợp với

Q thuộc đường tròn K ta có

AIQPIC (đối đỉnh)

PICPNC(do tứ giác NIPC nội tiếp)

PNCQND(đối đỉnh)

QNDQID(do tứ giác INDQ nội tiếp )

AIQQID

IQ

 là phân giác DIA nên IP là phân giác gócBIC.

K

Q

N

P

K

N M

P

I

Do đó PB IB ID IB ID BD PB BD



Câu IV Giả sử A có n số, chúng ta xếp chúng theo thứ tự

 

1x x x x n 100 1

Suy ra với mỗi k1, 2,3,,n1ta có x k1x ix j x k x k 2x k  2 với 1 i j, k.

Áp dụng kết quả  2 ta thu đượcx2   1 1 2,x3  2 2 4,x48,x516,

6 32, 7 64

x  x  Suy ra tập A phải có ít nhất 8 phần tử

+) Giả sứ n 8x8100

Vì x6x732 64 96x82x7x7 50

Vì x5x616 32 48x72x6x625

2

x x     x  x  x  (mâu thuẫn)

+) n  ta có tập 9 1, 2,3,5,10, 20, 25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán 

Đáp số: n  9