SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG. NĂM 2011. Môn thi: Toán. Khối 10. Thời gian làm bài 150 phút. Câu 1: ( 3 điểm). Cho phương trình: 3)1)(3(42 2 −=+−++− mxxxx (1). a) Giải phương trình (1) khi m=12. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. Câu 2: ( 3 điểm). a) Giải hệ phương trình: =+ =++ 5 5 22 yx xyyx . b) Giải bất phương trình: 12145 2 −≥−− xxx . Câu 3: ( 2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng: (d 1 ): 01 =+− yx ; (d 2 ): 012 =−+ yx và điểm P(2;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua P và cắt (d 1 ), (d 2 ) tương ứng tại A, B sao cho P là trung điểm của AB. Câu 4: ( 1 điểm). Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: abcICcIBbIAa =++ 222 . Câu 5: ( 1 điểm). Cho z ≥ y ≥ x > 0. Chứng minh rằng: ++≤++ + zx zxzx yzx y 11 )()( 111 . Hết Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG TRƯỜNG NĂM 2011. MÔN TOÁN. KHỐI 10. Câu Ý Nội dung Điểm 1) 3 điểm a) 1.5 điểm Khi m=12, ta có: 9)1)(3(42 2 =+−++− xxxx ⇔ 01232432 22 =−++−+++− xxxx Đặt t= 32 2 ++− xx , t≥0. Ta có pt: 0.5 −= = ⇔=−+ )(6 2 0124 2 Lt t tt 0.5 t=2⇔ 1012 2 =⇔=−+− xxx 0.5 b) 1.5 điểm Đặt t= 32 2 ++− xx , ta có: t≥0, t=0 khi x=3, x=-1; t= ( ) 241 2 ≤+−− x , t=2 khi x=1. Do đó đk của t là: 0≤t≤2. 0.5 Ta có pt: mtt =+ 4 2 . Gọi f(t)= tt 4 2 + ⇒ f(t) NB (-∞;-2), ĐB (-2;+∞) ⇒ f(t) ĐB (0;2). 0.5 Ta có BBT: t 0 2 f(t) 12 0 Từ BBT suy ra: Để phương trình có nghiệm thì 0≤m≤12. 0.5 2) 3 điểm a) 1.5 điểm Đặt S=x+y, P=xy. ĐK: S 2 ≥4P. Ta có hệ: =− =+ )2(52 )1(5 2 PS PS 0.5 (1)⇔P=5-S. Thay vào (2): 0152 2 =−+ SS ⇔ =⇒−= =⇒= )(105 23 LPS PS 0.5 = = ∪ = = ⇔ = = 2 1 1 2 2 3 y x y x P S 0.5 b) 1.5 điểm 12145 2 −≥−− xxx ⇔ ( ) −≥−− ≥− <− ≥−− 2 2 2 12145 012 012 0145 xxx x x xx 0.5 ⇔ ≤++ ≥− <− ≥−− 0153 012 012 0145 2 2 xx x x xx ⇔ ≥ < ≥∪−≤ VN x x xx 2 1 2 1 72 0.5 ⇔x≤-2. Vậy tập nghiệm của bpt: T=(-∞;-2]. 0.5 3) 2 điểm Gọi d là đường thẳng cần tìm. Giả sử A(x 0 ;y 0 ), ta có: A thuộc d 1 nên 01 00 =+− yx , (1) 0.5 P là trung điểm AB nên B(4-x 0 ;2-y 0 ) B thuộc d 2 nên 012)4(2 00 =−−+− yx , (2) 0.5 Từ (1) và (2) ta có hệ: =+−− =+− 092 01 00 00 yx yx ⇔ = = 3 11 3 8 0 0 y x ⇒A( 3 8 ; 3 11 ) 0.5 ) 3 8 ; 3 2 ( −−= → AP là vtcp của (d) ⇒ )1;4( −= → n là vtpt của (d). Vậy phương trình đường thẳng d là: 4(x-2)-1(y-1)=0⇔4x-y-7=0. 0.5 4) 1 điểm Chứng minh →→→→ =++ 0 ICcIBbIAa , (1) 0.5 ⇒ 0) ( 2 =++ →→→ ICcIBbIAa ⇔ 0.2.2.2 222222 =+++++ →→→→→→ ICIBbcICIAacIBIAabICcIBbIAa ⇔ 0)( )()( 222 222222222222 =−++ −++−++++ BCICIBbc ACICIAacABIBIAabICcIBbIAa ⇔ abccbacICbIBaIAcba )())(( 222 ++=++++ ⇔ abcICcIBbIAa =++ 222 . 0.5 5) 1 điểm ++≤++ + zx zxzx yzx y 11 )()( 111 ⇔ xz zx zx y zx xz y 2 )( )( 1 )( + ≤+++ ⇔ 0 22 ≤−+−⇔+≤+ yzxzxyyyzxyxzy 0.5 ⇔y(y-x)+z(x-y)≤0⇔(x-y)(z-y)≤0 : đúng. 0.5 P B A d2 d1 d B C A I . ++≤++ + zx zxzx yzx y 11 )()( 111 . Hết Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG TRƯỜNG NĂM 2011. MÔN TOÁN. KHỐI 10. Câu Ý Nội dung Điểm 1) 3 điểm a) 1.5 điểm Khi m=12, ta. SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG. NĂM 2011. Môn thi: Toán. Khối 10. Thời gian làm bài 150 phút. Câu 1: ( 3 điểm). Cho. ) −≥−− ≥− <− ≥−− 2 2 2 12145 012 012 0145 xxx x x xx 0.5 ⇔ ≤++ ≥− <− ≥−− 0153 012 012 0145 2 2 xx x x xx ⇔ ≥ < ≥∪−≤ VN x x xx 2 1 2 1 72 0.5 ⇔x -2 . Vậy tập nghiệm của bpt: T= (- ;-2 ]. 0.5 3) 2 điểm Gọi d là đường thẳng cần tìm. Giả sử A(x 0 ;y 0 ), ta có: A thuộc d 1 nên 01 00 =+− yx , (1) 0.5 P là trung điểm AB nên B(4-x 0 ;2-y 0 ) B