GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11
( BÌNH ĐỊNH NGÀY 18-03-2011) Bài 1 : Giải phương trình : sin (3 ) 2 sinx
4
x−π =
HD : Đặt
4
x= +y π
, phương trình trở thành : sin3 2 sin( )
4
y= y+π
sin3 y=siny+cosy
sin (1 siny − y) cos+ y=0 (sin cosy y+1) cosy=0 cosy=0 ,
2
y= +π k k Zπ ∈
Nghiệm của phương trình : 3 ,
4
x= π +k k Zπ ∈
Bài 2 : Cho P(x) , Q(x) là các đa thức với hệ số nguyên , thoã mãn P(x 3 )+xQ(x 3 ) chia hết cho
x 2 +x+1 , d = UCLN (P(2011),Q(2011)) , CMR : d chia hết cho 2010
HD: Theo giả thiết ta có : P(x3)+xQ(x3) = (P(x3)-P(1))+x(Q(x3)-Q(1))+P(1)+xQ(1) chia hết cho
x2+x+1 , mà P(x3)-P(1) , Q(x3)-Q(1) chia hết cho x3-1 nên P(1) +xQ(1) chia hết cho x2+x+1
=> P(1)+xQ(1)=0 mọi x thuộc R => P(1)=Q(1)=0
=> P(x), Q(x) chia hết cho x-1 => đpcm
Bài 3 : Cho f(x) khả vi trên [0,1] , f(0)=0,f(1)=1 Chứng minh rằng tồn tại hai số a,b phân biệt thuộc (0,1) sao cho f’(a).f’(b)=1
HD :Đặt g(x)=f(x)+x-1 liên tục trên [0,1] , ta có g(0)=f(0)+0-1 =-1 , g(1)=f(1)+1-1 =1 =>g(0).g(1)<0
g(x0)=0 , x0 thuộc (0,1) => f(x0)=1-x0 x0 thuộc (0,1)
Khi đó : a∃ ∈ (0,x0) , ∃ ∈b (x0,1) : f’(a)= 0 0
( ) (0) 1 0
− , f’(b)=
(1) ( )
f f x x
f’(a)f’(b)=1 (đpcm)
Bài 4 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một , hạ OH vuông góc với (ABC) , Gọi , ,α β γlần lượt là số đo góc hợp bởi OA,OB,OC với OH và ,A,B,C là các góc trong tam giác ABC , CMR :
sin sin sin sin 2A sin 2B sin 2C
HD : Theo giả thiết => H là trực tâm của tam giác ABC ,Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , M là trung điểm của BC Khi đó : AH=2IM , góc CAB=gócMBI
sin2A=2sinAcosA= 2 2 . 2
MB IM BC AH BC AH
IB IB = BI BI = Gọi A’ là giao điểm của AH và BC => tam giác AOA’ vuông tại O => OA2=AH.OA’
=>
2 2
2 sin
'
AH AH
OA AA
α = = Khi đó :
sin 2R sin 2A AA ' ABC
R
BC S
α = = , tương tự ta có :
sin sin sin 2 sin 2 ABC
R
đpcm
Bài 5 : Cho a,b,c>0 , chứng minh rằng :
2
1 1 1
a b c
a b c
HD :
Ta có :
Mà
÷ ÷ ÷
a c b
c b a
Nên
2
1 1 1
a b c a b c a c b
a b c
Đẳng thức xảy ra a=b=c
Lê quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát