Chuyên đề Elip

Phương trình chính tắc của Elip Trong mặt phẳng tọa độ với : Trong đó: được gọi là phương trình chính tắc của 3.. + Bán kính qua tiêu của điểm là:+ Đường chuẩn của Elip: Đường thẳng đượ

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

Cho hai điểm cố định với và một độ dài không đổi Elip là tập hợp những điểm sao cho:

Ta gọi: : Tiêu điểm, : Tiêu cự, : Bán kính qua tiêu

2 Phương trình chính tắc của Elip

Trong mặt phẳng tọa độ với :

Trong đó:

được gọi là phương trình chính tắc của

3 Hình dạng và tính chất của Elip}

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái , tiêu điểm phải

+ Các đỉnh:

+ Trục lớn: , nằm trên trục ; Trục nhỏ: , nằm trên trục

+ Hình chữ nhật cơ sở: Là hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng ,

Từ đó ta thấy hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là và chiều rộng là

+ Tâm sai: \fbox{ }

,

,

Oxy F1(−c; 0), (c; 0) F2

M(x; y) ∈ (E) ⇔ x2 + = 1 (1)

a2

y2

b2

b2 a2 c2

(−c; 0)

(−a; 0), (a; 0), (0; −b), (0; b)

= 2a

x = ±a y = ±b

e = a c < 1

Chuyên đề Elip

+ Bán kính qua tiêu của điểm là:

+ Đường chuẩn của Elip:

Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm

Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm

Tính chất của đường chuẩn:

B - GIẢI TOÁN

I - VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP

Các bước thực hiện:

Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của elip là:

Bước 2: Sử dụng các dữ kiện bài toán thiết lập các phương trình để tìm

Chú ý các kiến thức liên quan đến , chẳng hạn: tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai,

Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , đường elip đi qua điểm và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của là Lập phương trình chính tắc của

Nhận xét: Đây là bài tập cơ bản với các yếu tố đã được cho khá rõ ràng, để làm được bài toán chỉ yêu cầu thuộc các khác khái niệm và kĩ năng biến đổi giải hệ phương trình cơ bản

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của là:

Hai đường chuẩn của có phương trình là:

Do đó khoảng cách giữa hai đường chuẩn là:

Mặt khác:

Đáp số:

Ví dụ 1.2: Thi thử lần 1 - THPT Bỉm Sơn - Thanh Hóa

Trong mặt phẳng tọa độ , lập phương trình chính tắc của elip biết nó có một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam giác đều và chu vi của hình chữ nhật cơ sở của là }

M( xM, yM) ∈ (E)

M F1 = a + e xM = a + cxM , M = a − e = a −

axM c

MF1 d(M; Δ1)

MF2 d(M; Δ2)

+ = 1 (a > b > 0) (E)

x2

a2

y2

b2

a, b

(E) x2 + = 1 (a > b > 0)

a2

y2

b2

a e

2 a e = 2a c2

⇒ 2a c2 = 6 ⇔ a4 = 9 = 9( − ) ⇔ c2 a2 b2 b2 = 9 − a2 a4 (1)

9 M(− √ 3 ; 1) ∈ (E) ⇔ a 32 + 1 = 1 (2)

b2 (1) (2) a4− 12 + 36 = 0 ⇔ ( − 6) = 0 ⇔ a2 a2 a2 = 6 ⇒ b2 = 2

(E) : x 62 + y 22 = 1.

(E) 12(2 + √ 3 )

Nhận định:

Dữ kiện: chu vi hình chữ nhật cơ sở và tam giác đều sẽ thiết lập được hai phương trình tìm a và b

+ Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là:

+ Các đỉnh là và các tiêu điểm là

và đều

+

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip là:

Khi đó chu vi của hình chữ nhật cơ sở là

Do các đỉnh và cùng nằm trên nên theo giả thiết cùng với đỉnh

trên tạo thành một tam giác đều

Ta thấy: đối xứng nhau qua nên luôn là tam giác cân tại

Do đó:

Lại có:

Từ và suy ra: và

Đáp số:

Ví dụ 1.3:(B-2012) Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình thoi có và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình Viết phương trình chính tắc của elip đi qua các đỉnh của hình thoi Biết điểm A nằm trên trục

Nhận định

- Các đặc điểm của hình thoi:

Đường tròn nội tiếp có phương trình: (Tâm , bán kính )

Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của hình thoi Gốc tọa độ là tâm của hình thoi

,

- nên là các đỉnh của !

- Như vậy ta đã xác định được mối liên hệ giữa đỉnh của elip với hình thoi, với hai điều kiện và đường tròn nội tiếp hình thoi có bán kính ta sẽ thiết lập được hai phương trình để xác định tọa độ các đỉnh của elip

2(2a + 2b) (−1; 0), (1; 0), (0; −b), (0; b)

→ ΔB1F1F2 ΔB2F1F2 → F2B2 = F1F2

a2 c2 b2

(E) x a22 + y2 = 1 (a > b > 0)

b2 2(2a + 2b)

⇒ 2(2a + 2b) = 12(2 + √ 3 ) ⇔ a + b = 3(2 + √ 3 ) (1) (−a; 0), (a; 0)

(0; b)

,

(∗) ⇔ B2F2= F1F2⇔ √ − c −−−−2+ b −2 = 2c ⇔ b2 = 3 c2

(E) : 36 x2 + 27 y2 = 1

Ox

A ∈ Ox → C ∈ Ox BD⊥AC → B, D ∈ Oy

AC = 2BD

R = 2

Lời giải:

Giả sử phương trình của elip là:

Ta có: Đường tròn : là đường tròn nội tiếp hình thoi , có tâm , bán kính

Vì tâm của là tâm của hình thoi nên và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

Lại có: là bốn đỉnh của

Nếu đổi chỗ A và C cho nhau hoặc B và D cho nhau thì Elip không thay đổi nên ta có thể giả sử lần lượt nằm ở nửa trục dương của và , khi đó tọa độ của chúng là

Vì nên

Kẻ vuông góc với tại H

Vì tam giác vuông tại

Vậy phương trình là:

(E) x2 + = 1(a > b > 0)

a2

y2

b2

A ∈ Ox ⇒ C ∈ Ox B, D ∈ Oy

A, B

OH2

1

OA2

1

OB2

1 4

1

a2

4

20

y2 5

II - TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP

2 9

y2

(E) (E)

Các bước thực hiện:

Bước 1: Xác định các "từ khóa" liên quan đến điểm cần tìm, cố gắng chuyển chúng thành công thức tương ứng

Bước 2: Từ giả thiết, thiết lập phương trình tìm tọa độ của điểm Chú ý rằng điểm cần tìm luôn thuộc nên tọa độ của nó luôn thỏa mãn phương trình , đây là một phương trình

Ví dụ 2.1: Trong mặt phẳng tọa độ cho elip 1 Tìm trên (E) những điểm thỏa mãn:

1 Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu điểm kia?

2 Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông

x

Từ giả thiết suy ra:

Khai triển rút gọn ta được:

Lại có:

Đáp số:

Nhận xét:

Trong giải toán, ta thường chỉ quen với chiều biến đổi nhưng trong nhiều trường hợp biến đổi theo chiều ngược lại sẽ giúp việc giải bài toán ngắn gọn hơn rất nhiều, mà bài toán trên là một ví dụ

Ở bài toán này, việc biến đổi rút gọn cũng là một công việc khá vất vả nếu không có những nhận xét tinh tế, cần chú ý rằng Khi kết luận cần chú ý lấy đủ nghiệm, nhiều bạn thường nhầm lẫn chỉ lấy hai nghiệm

2 Từ khóa "góc vuông"

Với góc thì ta có các "công thức" tương đương:

;

;

[ M M F F1= 3M = 3M F2

= 0(1)

(1) ⇔ 16M M F1 F2− 3 (M F1+ M ) F2 2 = 0

⇔ 16(a + e )(a − e ) − 3(2a = 0 xo xo )2

4e2

a4 4c2

81

9 2 √ 8

9

23

46

−−

√ 8

M1 9 2 √

8

46

−−

√

9 2 √ 8

46

−−

√

9 2 √ 8

46

−−

√ 8

8

46

−−

√ 8

−

M F1+ M F2 = 2a

= M

F1ˆ F2 90o

2 F1F2

2 2)MO = F1F2 = O

3) − → −− − → −− = 0

Với từng "công thức" ta sẽ được các hướng làm khác nhau tương ứng, dưới đây tôi trình bày hai cách có thể nói là khá ngắn gọn

Gọi là điểm cần tìm nên

Cách 1:

Chú ý rằng là bán kính qua tiêu, nên ta có:

Từ suy ra:

Cách 2:

Điểm nhìn dưới một góc vuông nên vuông tại M

Mà dễ thấy là trung điểm của nên

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Nhận xét: Ở cách 2 có thể giải thích theo cách khác như sau:

Do nhìn dưới một góc vuông nên nằm trên đường tròn nhận làm đường kính

Tức là có tâm bán kính

là giao điểm của và Do đó tọa độ là nghiệm hệ

Đáp số:

Ví dụ 2.2: Thi thử Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 2

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho elip và các điểm Tìm tọa độ các điểm sao cho là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lời giải:

3) − → MF −−1 = 0

MF2

− → −−

M , M F1 F2

M

2 F1F2

2 (a + e ) xo 2 + (a − e ) xo 2 = 32

⇔ x2 = (16 − ) c2a2 a2 = 63 8

8

2

x2 y2

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

=

x2 63 8

=

8

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

= ±

xo 3 14 √ −−

4

= ±

4

M1 3 14 √ −−

4

2

√

3 14 √ −−

4

2

√

3 14 √ −−

4

2

√ 4

M4 3 14 √ −−

4

2

√ 4

Gọi là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác , có tâm bán kính

Do nên tọa độ của là nghiệm hệ:

Với tức là trùng với hoặc trùng với (không thỏa mãn)

Đáp số:

III - BÀI TẬP TỔNG HỢP LIÊN QUAN ĐẾN ELIP

Ví dụ 3.1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có các tiêu điểm Đường thẳng đi qua

và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất cắt tại Tính diện tích tam giác

Lời giải:

Do giả thiết đã cho đủ để viết được ngay phương trình đường thẳng chứa ( đi qua một điểm đã biết và song song với đường thẳng cho trước) nên ta định hướng tính diện tích theo công thức:

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình là:

(C) : x2 + y2 + 2x − 3 = 0

⇒

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

x2 y2

x2 9

y2 4

⎡

⎣

x = −3

x = − 3 5

− x = − 3 5 ⇒ y = ± 4 6 √ 5

5

4 6 √

3 5

4 6 √ 5

5

4 6 √

3 5

4 6 √ 5

8

y2

SABF1

1

(E) : x 82 + y 42 = 1 ⇒ a2 = 8, = 4 ⇒ c = b2 √ − a −−−−2− b −2 = 2

⇒ F1(−2; 0), (2; 0) F2

Ta có // và nên phương trình là:

Khi đó tọa độ của và là nghiệm hệ:

Đáp số:

Ví dụ 3.2: Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề 02

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và elip Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng cắt tại hai điểm sao cho diện tích tam giác bằng }

Lời giải:

Vì nên phương trình có dạng: Khi đó, là nghiệm hệ:

Để cắt tại hai điểm phân biệt thì hệ phải có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

Đường cao

Đáp số:

B C

⎧

⎩

⎨ y = x − 2

x2 8

y2 4

⇒ A(0; −2), B( ; ) 8 3 2 3 B(0; −2), A( ; ) 8 3 2 3

⇒ AB = 8 2 √ 3 , d( , d) = 2 F1 √ 2

=

SABF1

16 3

⇔ {

⎧

⎩

⎨ x − 2y + m = 0

x2

x = 2y − m

8 − 4my + y2 m2− 4 = 0 (∗)

⇔ (∗)

⇔ Δ′ = 32 − 4 m2 > 0 ⇔ m ∈ (−2 √ 2 ; 2 √ 2 ) (1)

A(2 − m; ), B(2 − m; ) y1 y1 y2 y2 y1, y2 (∗)

⇒ A B2 = 5( − y2 y1)2 = 5[( + y1 y2)2− 4 y1y2] = 5 4 (8 − m2)

5

1 2

2

= 16 1 m2(8 − m2) = 1 ⇔ m2 = 4 ⇔ m = ±2 : x − 2y + 2 = 0, : x − 2y − 2 = 0.

Ví dụ 3.3: Thi thử lần 2 - THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh

Trong mặt phẳng tọa độ cho elip và điểm Viết phương trình đường thẳng đi qua , sao cho cắt tại và thỏa mãn là trung điểm của đoạn }

Lời giải:

Gọi là véctơ chỉ phương của

Ta có đi qua nên phương trình có dạng:

Giả sử cắt tại

Vì là trung điểm của nên

Mặt khác: nên là nghiệm của phương trình:

Theo định lí Viet ta có:

Từ và suy ra Chọn ta được là một VTCP của

là một VTPT của Vậy phương trình là:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Lập phương trình chính tắc của elip biết đi qua và có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn

Đáp số:

Bài 1.2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng Lập phương trình chính tắc của elip , biết một cạnh hình chữ nhật cơ sở của nằm trên và hình chữ nhật đó có độ dài đường chéo bằng

Đáp số:

= (a, b)

u

(d) (E) A(1 + a ; 2 + b ), B(1 + a ; 2 + b ) t1 t1 t2 t2

A, B ∈ (E) t1, t2

(1 + at)2 16

(2 + bt)2 9

a2 16

b2

9 t2

a 16

2b 9

− 144 71 = 0

16

2b 9

a2 16

b2 9

d 9x + 32y − 73 = 0

(C) : x2 + y2 = 41 (E) : x2 + = 1.

25

y2 16

(E) : x 52 + y 42 = 1.

M(− √ ; 1)

Bài 1.3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm đường elip tđi qua điểm và có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là Lập phương trình chính tắc của

Đáp số:

Tương tự với , khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \quad Đáp số:

Bài 1.4: Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề 04

Trong mặt phẳng tọa độ , một elip đi qua điểm và có phương trình một đường chuẩn là Viết phương trình chính tắc của \\

Đáp số:

Bài 1.5: A-2012

Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn Viết phương trình chính tắc của elip , biết có độ dài trục lớn bằng và cắt tại 4 điểm tạo thành một hình vuông

Bài 2.1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho elip có độ dài trục lớn là và qua điểm .Điểm nằm trên cách một đoạn có độ dài bằng Tìm tọa độ ?

Đáp số:

Bài 2.2: Thi thử Diễn đàn Truonghocso - Lần 1

Trong mặt phẳng tọa độ cho elip Tìm tọa độ điểm nằm trên elip sao cho nhìn các tiêu điểm dưới một góc

Bài 2.3: Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề 01

Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip và đường thẳng Chứng minh rằng đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt Tìm điểm thuộc sao cho có diện tích bằng

Đáp số:

Bài 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm di động trên elip Gọi là hình chiếu của lên các trục tọa độ Xác định tọa độ của diện tích đạt giá trị lớn nhất

Đáp số:

Bài 2.5: A-2011

Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip Tìm tọa độ các điểm , có hoành độ dương sao cho tam giác cân tại và có diện tích lớn nhất

(E) : x 62 + y 22 = 1.

(E)

16

y2

x2 52

y2 39/4

5

4 5 √ 5

3 5 √ 5

4 5 √ 5

120o

16

y2

2

3 2

√

3 2 √

4

y2

Bài 3.1: Thi thử Diễn đàn K2pi - Lần 5

Trong mặt phẳng tọa độ cho elip có phương trình và điểm Một đường thẳng qua cắt tại hai điểm phân biệt Tìm tọa độ các điểm sao cho độ lớn của tích đạt giá trị nhỏ nhất.\\

Bài 3.2: Trong mặt phẳng , cho elip Viêt phương trình đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt có tọa độ là các số nguyên

Bài 3.3: Trong mặt phẳng cho elip và điểm Lập phương trình đường thẳng đi qua sao cho cắt tại hai điểm phân biệt sao cho

Đáp số:

Bài 3.4: Trong mặt phẳng cho elip và đường thẳng cắt tại hai điểm Gọi lần lượt là điểm đối xứng của qua Tìm để là hình thoi

Bài 3.5: B-2010

Trong mặt phẳng tọa độ cho và elip Gọi là các tiêu điểm của ( có hoành độ âm), là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng với , là điểm đối xứng của qua Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

8

y2

Δ : 4x + 9y − 13 = 0

ANF2