Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
571,5 KB
Nội dung
[VNMATH.COM]- Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1.y=fxab⇔ƒ′x≥∀x∈abƒ′x= ∈ab 2.y=fxab⇔ƒ′x≤∀x∈abƒ′x= ∈ab Chú ý: !"#$%&'(1. 2.)* +,-./0%1ƒ′x=∈ab CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. !m ( ) ( ) 2 3 4 2 5 6 5 mx m x m y x + + − − = + 785+∞ Giải: 9*785+∞⇔ ( ) 2 2 2 : 5 5 mx mx y x x + + ′ = ≤ ∀ ≥ + ⇔ ( ) 2 2 2 : 2 : 5mx mx m x x x + + ≤ ⇔ + ≤ − ∀ ≥ ⇔ ( ) 2 : 5 2 u x m x x x − = ≥ ∀ ≥ + ( ) 5 ; x u x m ≥ ⇔ ≥ <.= ( ) ( ) 2 2 : 2 2 5 2 x u x x x x + ′ = > ∀ ≥ + ⇒ux785+∞⇒ ( ) ( ) 5 : ; 5 6 x m u x u ≥ − ≤ = = Bài 2. !m ( ) ( ) 6 2 5 5 6 > 6 y x m x m x − = + − + + − 76 Giải. 9*?76⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 5 6 6y x m x m x ′ = − + − + + ≥ ∀ ∈ 5 @ ( ) y x ′ A7(x=B*x=675⇔y′≥∀x∈86C ⇔ ( ) [ ] 2 2 5 2 6 6m x x x x+ ≥ + − ∀ ∈ ⇔ ( ) [ ] 2 2 6 6 2 5 x x g x m x x + − = ≤ ∀ ∈ + [ ] ( ) 6 ;<D x g x m ∈ ⇔ ≤ <.= ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 E 6 2 5 x x g x x x + + ′ = > ∀ ∈ + 5 Chương I. Hàm số – Trần Phương ⇒gx786C⇒ [ ] ( ) ( ) 6 52 ;<D 6 : x m g x g ∈ ≥ = = Bài 3. !m ( ) ( ) 6 2 5 5 6 2 6 6 m y x m x m x= − − + − + 7 [ ) 2+∞ Giải: 9*? [ ) 2+∞ ⇔ ( ) ( ) 2 2 5 6 2 2y mx m x m x ′ = − − + − ≥ ∀ ≥ 5 ⇔ ( ) 2 5 2 2 3 2m x x x − + ≥ − + ∀ ≥ ⇔ ( ) ( ) 2 2 3 2 5 2 x g x m x x − + = ≤ ∀ ≥ − + <.= ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 2 6 x x g x x x − + ′ = = − + 5 2 6 3 6 3 x x x x = = − ⇔ = = + F ( ) A x g x →∞ = GHH⇒ ( ) ( ) 2 2 ;<D 2 6 x g x g m ≥ = = ≤ Bài 4. ( ) ( ) ( ) 6 2 2 2 : : 2 5 2 6y x mx m m x m m= − − − + + − − [ ) 2+∞ Giải: 9*?7 [ ) 2+∞ ( ) 2 2 6 2 2 : : 2y x mx m m x ′ ⇔ = − − − + ≥ ∀ ≥ <. ( ) 2 : 6 6m m ′ = − +V ( ) 2 6 6 : 2 > m = − + > 7 y ′ = .21 5 2 x x< HIgx≥. 01JA*= <. ( ) y x ′ ≥ K 2x∀ ≥ ⇔ [ ) 2 G+∞ ⊂ ( ) ( ) 2 5 2 4 5 4 2 2 6 2 6 2 6 4 5 2 3 2 2 6 m x x y m m m S m m ′ ∆ > − ≤ ≤ ′ ⇔ < ≤ ⇔ = − + + ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ < = < Bài 5. !m ( ) 2 2 5 5x m x m y x m + − + + = − 7 ( ) 5+∞ Giải: 9*7 ( ) 5+∞ ⇔ ( ) 2 2 2 2 > 2 5 5 x mx m m y x x m − + − − ′ = ≥ ∀ > − ⇔ ( ) ( ) 2 2 5 2 > 2 5 5 5 g x x g x x mx m m x m x m ≥ ∀ > = − + − − ≥ ∀ > ⇔ ≤ − ≠ 2 5 x 2 x x2 LM N [VNMATH.COM]- Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số Cách 1:Phương pháp tam thức bậc 2 <.= ( ) 2 2 5 m ′ ∆ = + ≥ ,<g x =.21 5 2 x x≤ HIgx≥. 01JA*= <.gx≥K∀x∈5+∞⇔ ( ) 5 G+∞ ⊂ ( ) ( ) 2 5 2 5 5 5 2 5 2 3 5 6 2 2 6 2 2 6 2 2 2 5 2 m m x x g m m m m S m ′ ≤ ≤ ∆ ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ = − + ≥ ⇔ ⇔ ≤ − ≤ − ≥ + = − ≤ Cách 2:Phương pháp hàm số <.=g′ x => x −m≥> x −5O∀ x O5⇒gx785+∞ @. ( ) ( ) ( ) 2 5 5 3 5 6 2 2 ; 5 6 2 2 6 2 2 5 5 5 x g m m m g x m m m m m ≥ = − + ≥ ≤ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ − ⇔ ≥ + ≤ ≤ ≤ Bài 6. !m ( ) ( ) 2 > 4 2 6 6 5y m x m x m m= − + − + − + P x∀ ∈¡ Giải:Q7R*) ( ) 4 > 2 6 y m x m x ′ ⇔ = − + − ≤ ∀ ∈¡ ( ) ( ) [ ] 4 > 2 6 5F5g u m u m u⇔ = − + − ≤ ∀ ∈ − @ ( ) [ ] 5F5y g u u= ∈ − A* S7, ( ) ( ) 5 3 E > 5 6 5 2 2 g m m g m − = − ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≤ = − + ≤ Bài 7. !m* 5 5 2 6 > T y mx x x x= + + + ?BUV x ∈¡ Giải: Q7R*) 5 5 2 6 2 6 y m x x x x ′ ⇔ = + + + ≥ ∀ ∈ ¡ ⇔ ( ) ( ) 2 6 5 5 2 5 > 6 2 6 m x x x x x+ + − + − ≥ ∀ ∈¡ ( ) [ ] 6 2 > 5 55 6 2 m u u g u u⇔ ≥ − − + = ∀ ∈ − BU [ ] 55u x= ∈ − <. ( ) ( ) 2 5 > 2 2 2 5 F 2 g u u u u u u u ′ = − − = − + = ⇔ = − = 6 5 x 2 x Chương I. Hàm số – Trần Phương WX"HH,<,7R*)⇔ [ ] ( ) ( ) 55 4 ;<D 5 3 x g u g m ∈ − = − = ≤ Bài 8. N* ( ) ( ) ( ) 6 2 5 5 2 5 6 2 6 y m x m x m x m= + + − − + + !m%PY<*.'*Z> Giải. [\ ( ) ( ) ( ) 2 5 2 2 5 6 2 y m x m x m ′ = + + − − + = @ 2 : 6 m m ′ ∆ = + + > 7 y ′ = .21 5 2 x x< ]PY<*.'* Z> [ ] 5 2 2 5 F F F >y x x x x x ′ ⇔ ≤ ∀ ∈ − = 5 m⇔ + > B* 2 5 >x x− = <. 2 5 >x x− = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 > 2 5 > 6 2 53 > 5 5 m m x x x x x x m m − + = − = + − = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 > 5 2 5 6 2 5m m m m⇔ + = − + + + 2 : 35 6 : 5 3 m m m ± ⇔ − − = ⇔ = %^"BU 5 m + > ,< : 35 3 m + = > [VNMATH.COM]- Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số B. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT Bài 1. JP" != 4 6 5 6 > x x x+ − − + = Giải. _0%1= 5 6 x ≤ _` ( ) 4 6 5 6 > f x x x x= + − − + = <.= ( ) > 2 6 4 6 2 5 6 f x x x x ′ = + + > − ⇒f x 7 ( 5 6 −∞ ;`%)f −5=7" !f x =.1',a x =−5 Bài 2. JP" != 2 2 54 6 2 Ex x x+ = − + + Giải. Ha" !⇔ ( ) 2 2 6 2 E 54f x x x x= − + + − + =5 Mb 2 6 x ≤ !f x c⇒5B$1 Mb 2 6 x > ! ( ) 2 2 5 5 2 6 6 E 54 f x x x x x ′ = + − > ∀ > ÷ + + ⇒f x 7 ( ) 2 6 +∞ *f 5=75.K51 x =5 Bài 3. JPa" != 6 4 > 5 4 : : 4 56 : Ex x x x+ + − + − + − < d Giải. _0%1 4 : x ≥ _` ( ) 6 4 > 5 4 : : 4 56 :f x x x x x= + + − + − + − <.= ( ) ( ) ( ) 2 6 > 4 6 > 4 : 56 5 2 5 4 56 : 6 4 : > : 4 f x x x x x ′ = + + + > + × − × − × − ⇒f x 7 ) 4 : +∞ ;*f6=E7d⇔f x cf6⇔ x c6 eX,1Y<a" !fA* 4 6 : x≤ < Bài 4. JPI= 6 2 5 5 5 4 > 6 2 2 4 : 5: 2 6 3 x x x x x x x x x x+ + + = + + − + − + d 4 Chương I. Hàm số – Trần Phương Giải. d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 5 5 5 4 > 6 2 2 4 : 5: 2 6 3 x x x x x x x f x x x x g x ⇔ = + + + − − − = − + − + = <.fxB*g′x=−3x 2 +5x−:c∀x⇒gx b1Y<fx=gxA**<Y< ( ) ( ) B*y f x y g x= = @fx?FgxPB* ( ) ( ) 5 5 56f g= = 7d.1',a x =5 Bài 5. !m;<D ( ) 5 2 2m x x x x x x + + ≤ + + + ∀ d Giải. _` ( ) 2 2 5 2t x x t x x x= + ≥ ⇒ = + = + ⇒ 2 5 2t≤ ≤ ⇒ 5 2t≤ ≤ %.d⇔ ( ) 2 5 5 5 2m t t t t + ≤ + + ∀ ∈ ⇔ ( ) 2 5 5 2 5 t t f t m t t + + = ≥ ∀ ∈ + ⇔ ( ) 5 2 ; t f t m ∈ ≥ @ ( ) ( ) 2 2 2 5 t t f t t + ′ = > + 7ft 5 2 ⇒ ( ) ( ) 5 2 6 ; 5 2 t f t f ∈ = = ⇒ 6 2 m ≤ ⇒ 6 ;<D 2 m = Bài 6. JP" ! 2 2 2E 2E 2 x x x− = 2 2 2 2 2 2 2 2 2E 2E 2E 2E x x x x x x x x− = − ⇔ + = + d [\ ( ) 2E u f u u= + <. ( ) 2E A 5 u f u u ′ = + > g,< ( ) f u d ( ) ( ) 2 2 2 2 2 f x f x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = > 2 k x k π π ⇔ = + ∈¢ Bài 7. ! ( ) x y ∈ π /<f1 6 4 2 x y x y x y − = − + = π Giải. x y x y x x y y − = − ⇔ − = − [\*` ( ) ( ) f u u u u= − ∈ π <. ( ) 2 5 5 f u u ′ = + > g,< ( ) f u 7 ( ) π ]. ( ) ( ) > 6 4 2 f x f y x y x y = π ⇔ = = + = π 3 [VNMATH.COM]- Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số Bài 8. JP1" ! 6 2 6 2 6 2 2 5 2 5 2 5 x y y y y z z z z x x x + = + + + = + + + = + + d Giải. [\ ( ) 6 2 f t t t t= + + BU t ∈¡ ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 5 f t t t ′ = + + > ⇒ft? ]$ah#+)P& x ≤y≤z ⇒ ( ) ( ) ( ) f x f y f z≤ ≤ ⇒ 2 5 2 5 2 5z x y z x y+ ≤ + ≤ + ⇔ ≤ ≤ ⇒ x =y=z=±5 Bài 9. JP1a" ! 2 6 6 2 5 6 5 x x x x + − < − + > Giải. 2 5 6 2 5 5 6 x x x+ − < ⇔ − < < _` ( ) 6 6 5f x x x= − + <.= ( ) ( ) ( ) 6 5 5 f x x x ′ = − + < ⇒ ( ) f x PB* ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 6 2: 6 f x f x> = > ∀ ∈ − : Chương I. Hàm số – Trần Phương II. DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1. NiZ= 6 6 4 6j 6j 4j x x x x x x− < < − + ∀xO Giải 6 6j x x x− < ∀xO⇔ ( ) 6 6j x f x x x= − + > ∀xO <. ( ) 2 5 2j x f x x ′ = − + ⇒ ( ) f x x x ′′ = − ⇒ ( ) 5 f x x ′′′ = − ≥ ∀xO ⇒ ( ) f x ′′ 8M∞⇒ ( ) ( ) f x f ′′ ′′ > = ∀xO ⇒ ( ) f x ′ 8M∞⇒ ( ) ( ) f x f ′ ′ > k∀xO ⇒ ( ) f x 8M∞⇒fxOfk∀xO⇒" 6 4 6j 4j x x x x< − + ∀xO⇔gxk 4 6 4j 6j x x x x− + − > ∀xO <.g′xk > 2 5 >j 2j x x x− + − ⇒g′′xk 6 6j x x x− + kfxO∀xO ⇒g′x8M∞⇒g′xOg′k∀xO ⇒gx8M∞⇒gxOgk∀xO⇒" Bài 2.NiZ= 2 2 x x x π > ∀ ∈ ÷ π Giải. 2 2 x x x f x x > ⇔ = > π π ∀x∈ 2 π ÷ [\i* 2 2 g x x x x f x x x − ′ = = lm,%h1gxkxx−x <.g′xkx−xx−xk−xxc∀x∈ 2 π ÷ ⇒gxP7 2 π ÷ ⇒gxcgk E [VNMATH.COM]- Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số ⇒ ( ) 2 g x f x x ′ = < ∀x∈ 2 π ÷ ⇒f xP7 2 π ÷ ⇒ ( ) ( ) 2 2 f x f π > = π ⇔ 2 2 x x x π > ∀ ∈ ÷ π Bài 3.NiZ= 2 A A x y x y x y + − > − ∀xOyO Giải. @xOyOAxOAy⇔Ax−AyO7#aSi ⇔ 5 A A 2 A 2 5 x x y yx x y x x y y y − − − > × ⇔ > × + + ⇔ 5 A 2 5 t t t − > × + BU x t y = O5 ⇔ 5 A 2 5 t f t t t − = − × > + ∀tO5<. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 > 5 5 5 t f t t t t t − ′ = − = > + + ∀tO5 ⇒ft85M∞⇒ftOf5k∀tO5⇒" Bài 4.NiZ= 5 A A > 5 5 y x y x y x − > ÷ − − − ( ) 5x y x y ∀ ∈ ≠ 5 Giải. [\<%P?<m,= MbyOx!5⇔ ( ) A A > 5 5 y x y x y x − > − − − ⇔ A > A > 5 5 y x y x y x − > − − − Mbycx!5⇔ ( ) A A > 5 5 y x y x y x − < − − − ⇔ A > A > 5 5 y x y x y x − < − − − [\*`ftk A > 5 t t t − − BUt∈5 <. ( ) ( ) 2 5 2 5 > 5 5 t f t t t t t − ′ = − = > − − ∀t∈5⇒ft5 ⇒fyOfxyOxB*fycfxycx ⇒" Bài 5.NiZ= b a a b< ∀aOb≥n T Chương I. Hàm số – Trần Phương Giải. a b cb a ⇔Aa b cAb a ⇔bAacaAb⇔ A Aa b a b < [\*`fxk A x x ∀x≥n <. 2 2 5 A 5 A x e f x x x − − ′ = ≤ = ⇒fx8nM∞ ⇒facfb⇔ A Aa b a b < ⇔a b cb a Bài 6. (Đề TSĐH khối D, 2007) NiZ ( ) ( ) 5 5 2 2 2 2 b a a b a b a b+ ≤ + ∀ ≥ > Giải. H#aSi ( ) ( ) 5 5 5 > 5 > 2 2 2 2 2 2 b a b a a b a b a b a b + + + ≤ + ⇔ ≤ ÷ ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 5 > A 5 > 5 > 5 > A 5 > A 5 > a b b a b a a b a b a b + + ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ [\*`<B ( ) ( ) A 5 > x f x x + = BU x > <. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 > A > 5 > A 5 > 5 > x x x x x f x x − + + ′ = < + ( ) f x⇒ P7 ( ) ( ) ( ) f a f b+∞ ⇒ ≤ Bài 7. (Bất đẳng thức Nesbitt) NiZ= 6 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + ∀abO5 Giải. ]$ah#+)P&a≥b≥_`xka⇒x≥b≥O <.5⇔f xk x b c b c c x x b + + + + + BUx≥b≥O ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 b c b c f x b c b c x c x b b c b c ′ = − − > − − = + + + + + + 5 [...]...[VNMATH.COM]- Bài 2 Tính đơn điệu của hàm số ⇒ f(x) đồng biến [b, +∞) ⇒ f ( x ) ≥ f (b) = 2b + c b+c Đặt x = b ⇒ x ≥ c > 0, xét hàm số g(x) = 2x + c với x ≥ c > 0 x+c ⇒ g ′( x ) = (2) c > 0 ∀c > 0 ⇒ g(x) đồng biến [c, +∞) ⇒ g ( x ) ≥ g (c ) = 3 (3) ( x + c) 2 2 Từ (2), (3) suy... Trên đây là một cách chứng minh bất đẳng thức này trong 45 cách chứng minh Bạn đọc có thể xem tham khảo đầy đủ các cách chứng minh trong cuốn sách: “Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học” của tác giả do NXB Tri thức phát hành tháng 3/2009 Nguồn: Giáo viên 11 . [VNMATH.COM]- Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1.y=fxab⇔ƒ′x≥∀x∈abƒ′x= ∈ab 2.y=fxab⇔ƒ′x≤∀x∈abƒ′x= ∈ab Chú. = %^"BU 5 m + > ,< : 35 3 m + = > [VNMATH.COM]- Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số B. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT Bài 1. JP". > = − + − − ≥ ∀ > ⇔ ≤ − ≠ 2 5 x 2 x x2 LM N [VNMATH.COM]- Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số Cách 1:Phương pháp tam thức bậc 2 <.= ( ) 2 2 5 m ′ ∆ = + ≥ ,<g x =.21 5