Đề thi và đáp án toán 2002-2014

ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2002-2014 NĂM HỌC: 2014 - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 −−− −−−−−−− Môn: TOÁN; Khối B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu 1 ( 2 ,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 − 3mx + 1 (1), với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hà m số (1) khi m = 1. b) Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thò hàm so á (1) có hai điểm cực trò B và C sao cho tam giác ABC cân tại A. Câu 2 ( 1 ,0 điểm). Giải phương trình √ 2(sin x − 2 cos x) = 2 −sin 2x. Câu 3 ( 1 ,0 điểm). Tính tích phân I = 2  1 x 2 + 3x + 1 x 2 + x dx . Câ u 4 ( 1 ,0 điểm). a) Cho số phức z thỏ a m ã n điều kiện 2z + 3(1 − i) z = 1 − 9i. Tính môđun của z . b) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bo ä phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp s ư õ a được chọn có cả 3 loại. Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) và đường thẳng d : x − 1 2 = y + 1 2 = z −1 . Vie át phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d. Tìm t o ï a độ hình chiếu vuông góc của A trên d. Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ ABC.A  B  C  có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A  trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A  C và mặt đáy bằng 60 ◦ . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A  B  C  và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC  A  ). Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(−3; 0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G  4 3 ; 3  là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D. Câu 8 ( 1 ,0 điểm). Giải hệ phương trình  (1 − y) √ x − y + x = 2 + (x − y − 1) √ y 2y 2 − 3x + 6y + 1 = 2 √ x − 2y − √ 4x − 5y − 3 (x, y ∈ R). Câ u 9 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c > 0. Tìm gi á trò nhỏ nhất của biểu thức P =  a b + c +  b a + c + c 2(a + b) . −−− −−−Hết−−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thíc h gì thêm. Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: . . . . . . . . . . WWW.ToanCapBa.Net 1 WWW.ToanCapBa.Net BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM −−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu Đáp án Điểm 1 a) (1,0 điểm) (2,0đ) Với m = 1, hà m số trở thà nh: y = x 3 − 3x + 1. • Tập xác đònh: D = R. • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y  = 3x 2 − 3; y  = 0 ⇔ x = ±1. 0,25 Các khoảng đồng biến: (− ∞; −1 ) và ( 1; +∞); khoảng nghòch biến: (−1; 1). - Cực trò: Hàm số đạt cực đại t ạ i x = −1, y CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 1, y CT = −1. - Giới hạn tại vô cực: lim x→−∞ y = −∞; lim x→+∞ y = +∞. 0,25 - Bảng biến thiên: x −∞ −1 1 +∞ y  + 0 − 0 + y 3 +∞ −∞ −1 ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏✶ P P P P P Pq ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏✶ 0,25 • Đồ thò: x y 3 −1 −1 1 O 1 0,25 b) (1,0 điểm) Ta có y  = 3x 2 − 3m. Đo à thò hàm số (1) có hai điểm cực trò ⇔ phương trình y  = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > 0. 0,25 Tọa độ các điểm cực trò B, C l à B(− √ m; 2 √ m 3 + 1), C( √ m; −2 √ m 3 + 1). Su y ra −−→ BC = (2 √ m; −4 √ m 3 ). 0,25 Gọi I là trung đie å m của BC, suy ra I(0; 1). Ta có tam giác ABC cân tại A ⇔ −→ AI. −−→ BC = 0 0,25 ⇔ −4 √ m + 8 √ m 3 = 0 ⇔ m = 0 ho ặc m = 1 2 . Đố i chiếu điều kiện tồn tại cực trò, ta được giá trò m cần tìm là m = 1 2 . 0,25 1 WWW.ToanCapBa.Net 2 WWW.ToanCapBa.Net Câu Đáp án Điểm 2 Phương trình đã cho tươ ng đương với 2 si n x cos x −2 √ 2 cos x + √ 2 sin x −2 = 0. 0,25 (1,0đ) ⇔ (sin x − √ 2)(2 cos x + √ 2) = 0. 0,25 • sin x − √ 2 = 0: phương trình vô nghiệm. 0,25 • 2 cos x + √ 2 = 0 ⇔ x = ± 3π 4 + k2π (k ∈ Z). Nghiệ m của phương trình đã cho là: x = ± 3π 4 + k2π (k ∈ Z). 0,25 3 (1,0đ ) Ta có I = 2  1 x 2 + 3x + 1 x 2 + x d x = 2  1 d x + 2  1 2x + 1 x 2 + x d x. 0,25 • 2  1 d x = 1. 0,25 • 2  1 2x + 1 x 2 + x dx = l n |x 2 + x|    2 1 0,25 = ln 3. Do đó I = 1 + ln 3. 0,25 4 (1,0đ) a) Đặt z = a + bi (a , b ∈ R). Từ giả thiết suy ra  5a −3b = 1 3a + b = 9 0,25 ⇔ a = 2, b = 3. Do đó mô đ u n của z bằng √ 13. 0,25 b) Số phần tử của không gian mẫu là: C 3 12 = 220. 0,25 Số cách chọn 3 hộ p sữa có đủ 3 lo ạ i là 5.4.3 = 6 0. Do đó xác suất cần tính là p = 60 220 = 3 11 . 0,25 5 Vectơ chỉ phương của d là −→ u = (2; 2; −1). 0,25 (1,0đ) Mặt phẳng (P ) cần vi ết phương trình là mặt phẳng qua A và nhận −→ u làm vectơ pháp tuyến, nên (P) : 2(x − 1) + 2(y − 0) − (z + 1) = 0, nghóa là (P) : 2x + 2y − z −3 = 0. 0,25 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A t re ân d, suy ra H(1 + 2t; −1 + 2t; −t). 0,25 Ta có H ∈ (P ), suy ra 2(1 +2t)+2( −1 +2t)−(−t)−3 = 0 ⇔ t = 1 3 . Do đo ù H  5 3 ; − 1 3 ; − 1 3  . 0,25 6 (1,0đ) Gọi H là trung điểm của AB, suy ra A  H ⊥ (ABC) và  A  CH = 60 ◦ . Do đó A  H = CH. tan  A  CH = 3a 2 . 0,25 Thể tích khối lăng trụ là V ABC .A  B  C  = A  H.S ∆ABC = 3 √ 3 a 3 8 . 0,25 Gọi I là hình chiếu vuông góc của H tre ân AC; K là hình chiếu vuông góc của H trê n A  I. Suy ra HK = d(H, (ACC  A  )). 0,25 Ta có HI = AH . sin  IAH = √ 3 a 4 , 1 HK 2 = 1 HI 2 + 1 HA 2 = 52 9a 2 , suy ra HK = 3 √ 13 a 26 . 0,25 A B A  H C B  C  I K Do đó d(B, (AC C  A  )) = 2d(H, (ACC  A  )) = 2HK = 3 √ 13 a 13 . 2 WWW.ToanCapBa.Net 3 WWW.ToanCapBa.Net Câu Đáp án Điểm 7 (1,0đ) Gọi E và F lần lượt là giao điểm củ a HM và HG với BC. Suy ra −−→ HM = −−→ ME và −−→ HG = 2 −−→ GF , Do đó E(−6; 1) và F(2; 5). 0,25 A B C DH M I G E F Đường thẳng BC đi qua E và nhận −−→ EF làm vectơ chỉ phương, ne â n BC : x − 2y + 8 = 0. Đường thẳng BH đi qua H và nhận −−→ EF làm vectơ pháp tuyến, nên BH: 2x + y + 1 = 0. Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình  x − 2y + 8 = 0 2x + y + 1 = 0. Suy ra B(−2; 3). 0,25 Do M l à trung điểm cu û a A B ne ân A(−4; −3). Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra −→ GA = 4 −→ GI. Do đó I  0; 3 2  . 0,25 Do I l à trung điểm của đoạn B D, nên D(2; 0). 0,25 8 (1,0đ )  ( 1 − y) √ x − y + x = 2 + (x −y − 1) √ y ( 1) 2y 2 − 3x + 6y + 1 = 2 √ x − 2y − √ 4x −5y −3 (2 ). Điều kiện:    y ≥ 0 x ≥ 2y 4x ≥ 5y + 3 (∗). Ta có (1) ⇔ (1 −y)( √ x −y −1) + (x −y − 1 ) (1 − √ y) = 0 ⇔ (1 −y) (x −y −1)  1 √ x − y + 1 + 1 1 + √ y  = 0 ( 3). 0,25 Do 1 √ x − y + 1 + 1 1 + √ y > 0 nên ( 3) ⇔  y = 1 y = x −1. • Với y = 1, phương trình (2) trở thành 9 −3x = 0 ⇔ x = 3. 0,25 • Với y = x −1, đ iều kiện (∗) trở thành 1 ≤ x ≤ 2. Phương trình (2) trở thành 2x 2 −x −3 = √ 2 −x ⇔ 2(x 2 −x −1) + (x − 1 − √ 2 −x) = 0 ⇔ (x 2 −x −1 )  2 + 1 x − 1 + √ 2 −x  = 0 0,25 ⇔ x 2 −x −1 = 0 ⇔ x = 1 ± √ 5 2 . Đo ái chiếu điều kiện (∗) và kết hợp trường hợp trên, ta được nghiệm (x; y) của hệ đã cho là (3; 1) và  1 + √ 5 2 ; −1 + √ 5 2  . 0,25 9 (1,0đ) Ta có a + b + c ≥ 2  a(b + c). Suy ra  a b + c ≥ 2a a + b + c . 0,25 Tương tự,  b a + c ≥ 2b a + b + c . Do đo ù P ≥ 2(a + b) a + b + c + c 2(a + b) =  2(a + b) a + b + c + a + b + c 2(a + b)  − 1 2 0,25 ≥ 2 − 1 2 = 3 2 . 0,25 Khi a = 0, b = c , b > 0 thì P = 3 2 . Do đ ó giá trò nhỏ nhất của P là 3 2 . 0,25 −−−−−−Hết−−−−−− 3 WWW.ToanCapBa.Net 4 WWW.ToanCapBa.Net BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 −−− −−−−−−− Môn: TOÁN; Khố i D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, khôn g kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu 1 ( 2 ,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 − 3x − 2 (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1). b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9. Câu 2 (1,0 điể m). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z − z) (1 + i) − 5z = 8i − 1. Tính môđun của z. Câu 3 ( 1 ,0 điểm). Tính tích phân I = π 4  0 (x + 1) sin 2x dx . Câu 4 ( 1 ,0 điểm). a) Giải phương trình log 2 (x − 1) − 2 log 4 (3x − 2) + 2 = 0. b) Cho một đa giác đều n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo. Câu 5 ( 1 ,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 6x + 3y − 2z − 1 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 +y 2 +z 2 −6x−4y −2z −11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C). Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đ á y ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳ ng (SBC) vuông góc với mặ t đ á y . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm D(1; −1). Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y −9 = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phươ ng trình x + 2y − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC. Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình (x + 1) √ x + 2 + (x + 6 ) √ x + 7 ≥ x 2 + 7x + 12. Câu 9 ( 1 ,0 đie å m). Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2. Tìm gi á trò nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2y x 2 + 3y + 5 + y + 2x y 2 + 3x + 5 + 1 4(x + y − 1) . −− −−−−Hết−−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; S o á báo danh: . . . . . . . . . . WWW.ToanCapBa.Net 5 WWW.ToanCapBa.Net BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM −−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu Đáp án Điểm 1 a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tậ p xác đònh D = R. • S ư ï biến thiên: - Chiều biến thiên: y  = 3x 2 − 3; y  = 0 ⇔ x = ±1. 0,25 Các khoảng đồng biến: (− ∞; −1 ) và ( 1; +∞); khoảng nghòch biến: (−1; 1). - Cực trò: Hàm số đạt cực đại t ạ i x = −1, y CĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = 1, y CT = −4. - Giới hạn tại vô cực: lim x→−∞ y = −∞; lim x→+∞ y = +∞. 0,25 - Bảng biến thiên: x − ∞ −1 1 +∞ y  + 0 − 0 + y 0 +∞ −∞ −4 ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏✶ P P P P P Pq ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏✶ 0,25 • Đồ thò: x y −1 −4 1 O −2 0,25 b) (1,0 điểm) M ∈ (C) ⇒ M (a; a 3 −3a −2). 0,25 Hệ số góc của t i e á p tuyến tại M bằng 9 ⇔ y  (a) = 9 0,25 ⇔ 3a 2 −3 = 9 ⇔ a = ±2. 0,25 Tọa độ điểm M thỏ a mãn yêu cầu bài toán là M(2; 0) hoặc M(−2; −4). 0,25 2 Đặt z = a +bi (a, b ∈ R). Từ giả thiết ta được [3( a +bi) −(a −bi)](1 +i) −5(a + bi) = 8i −1 0,25 (1,0đ) ⇔  3a + 4b = 1 2a −b = 8 0,25 ⇔  a = 3 b = −2. 0,25 Do đó môđun của z là  3 2 + (−2) 2 = √ 13. 0,25 1 WWW.ToanCapBa.Net 6 WWW.ToanCapBa.Net Câu Đáp án Điểm 3 (1,0đ) I = π 4  0 (x + 1) sin 2x dx. Đặt u = x + 1 và dv = sin2xdx, suy ra du = dx và v = − 1 2 cos 2x. 0,25 Ta có I = − 1 2 (x + 1) cos 2x    π 4 0 + 1 2 π 4  0 cos 2xdx 0,25 = − 1 2 (x + 1) cos 2x    π 4 0 + 1 4 sin 2x    π 4 0 0,25 = 3 4 . 0,25 4 (1,0đ ) a) Đ iều kiện: x > 1. Phương trình đã cho tương đương với log 2 x − 1 3x −2 = −2 0,25 ⇔ x − 1 3x −2 = 1 4 ⇔ x = 2. Đ o ái chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 2. 0,25 b) Số đường ché o của đa giác đều n đỉnh là C 2 n −n = n(n − 3) 2 . 0,25 Từ giả thiết ta có phương trình n(n −3) 2 = 27 ⇔  n = 9 n = −6. Do n ∈ N và n ≥ 3 nên ta được giá trò n cần tìm là n = 9. 0,25 5 Mặt cầu (S) có t âm I(3; 2; 1) và bán kính R = 5. 0,25 (1,0đ) Ta có khoảng cách từ I đế n (P) l à d(I, (P )) = |6.3 + 3.2 − 2.1 −1|  6 2 + 3 2 + (−2 ) 2 = 3 < R. Do đó (P ) cắt (S) theo giao tu y e á n là một đường tròn (C). 0,25 Tâm của (C) là hình chiếu vuông góc H củ a I trên (P ). Đường thẳng ∆ qua I và vuông góc với (P ) có phương trình là x − 3 6 = y − 2 3 = z − 1 −2 . Do H ∈ ∆ ne â n H(3 + 6t; 2 + 3t; 1 −2t). 0,25 Ta có H ∈ (P) , suy ra 6(3+6t)+3(2+3t)−2(1−2t)−1 = 0 ⇔ t = − 3 7 . Do đo ù H  3 7 ; 5 7 ; 13 7  . 0,25 6 (1,0đ) Gọi H là trung điểm của BC, suy ra AH = BC 2 = a 2 , SH ⊥ (AB C), SH = √ 3 a 2 và S ∆ABC = 1 2 BC. AH = a 2 4 . 0,25 Thể tích khối chóp là V S.A BC = 1 3 .SH .S ∆ABC = √ 3 a 3 24 . 0,25 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H tre ân SA, suy ra HK ⊥ SA. Ta có BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ HK. Do đó HK là đường vuông góc chung của BC và SA. 0,25 A B C S H K Ta có 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 AH 2 = 16 3a 2 . Do đo ù d(BC, SA) = HK = √ 3 a 4 . 0,25 2 WWW.ToanCapBa.Net 7 WWW.ToanCapBa.Net Câu Đáp án Điểm 7 (1,0đ) Tọa độ điểm A thỏ a mãn hệ phương trình  3x + 2y −9 = 0 x + 2y − 7 = 0. Suy ra A(1 ; 3). 0,25 B C A D E Gọi ∆ là tiếp tuyến tại A củ a đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và E là giao điểm của ∆ với đường thẳng BC (do AD không vuông góc với ∆ nên E luôn tồn tại và ta có thể giả sử EB < EC). Ta có  EAB =  ACB và  BAD =  DAC, suy ra  EAD =  EAB +  BAD =  ACB +  DAC =  ADE. Do đó, tam giác ADE cân tại E. 0,25 E l à giao điểm của ∆ vơ ù i đường trung trực của đoạn AD, nên tọa độ điểm E thỏa mãn hệ phương trình  x + 2y − 7 = 0 y −1 = 0. Suy ra E(5; 1). 0,25 Đường thẳng B C đ i qua E và nhận −−→ DE = (4; 2) làm vectơ chỉ phương, nên BC : x − 2y −3 = 0. 0,25 8 (1,0đ) Điều kiện: x ≥ −2. B ất phương trình đã cho tương đương với (x + 1)( √ x + 2 − 2) + (x + 6)( √ x + 7 − 3) −(x 2 + 2x −8) ≥ 0 0,25 ⇔ (x −2)  x + 1 √ x + 2 + 2 + x + 6 √ x + 7 + 3 −x −4  ≥ 0 ( 1). 0,25 Do x ≥ −2 nê n x + 2 ≥ 0 và x + 6 > 0. Suy ra x + 1 √ x + 2 + 2 + x + 6 √ x + 7 + 3 −x −4 =  x + 2 √ x + 2 + 2 − x + 2 2  +  x + 6 √ x + 7 + 3 − x + 6 2  − 1 √ x + 2 + 2 < 0. Do đ ó (1) ⇔ x ≤ 2. 0,25 Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là: −2 ≤ x ≤ 2. 0,25 9 (1,0đ) Do 1 ≤ x ≤ 2 nên (x −1 )(x − 2) ≤ 0, nghóa là x 2 + 2 ≤ 3x. Tương tự, y 2 + 2 ≤ 3y. Suy ra P ≥ x + 2y 3x + 3y + 3 + y + 2x 3y + 3x + 3 + 1 4(x + y −1) = x + y x + y + 1 + 1 4(x + y − 1) . 0,25 Đặt t = x + y, su y ra 2 ≤ t ≤ 4. Xét f (t) = t t + 1 + 1 4(t −1) , vơ ùi 2 ≤ t ≤ 4. Ta có f  (t) = 1 (t + 1) 2 − 1 4(t −1) 2 . S uy ra f  (t) = 0 ⇔ t = 3. 0,25 Mà f(2) = 11 12 ; f(3) = 7 8 ; f(4) = 53 60 nên f(t) ≥ f( 3) = 7 8 . Do đ ó P ≥ 7 8 . 0,25 Khi x = 1, y = 2 thì P = 7 8 . Vậy giá trò nhỏ nhất của P là 7 8 . 0,25 −−−−−−Hết−−−−−− 3 WWW.ToanCapBa.Net 8 WWW.ToanCapBa.Net BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2 0 1 4 −−− −−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đ ề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x + 2 x − 1 ( 1 ) . a) Khảo sá t sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1). b) Tìm tọa độ điểm M thuộ c (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x bằng √ 2. Câ u 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x. Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đươ ø ng co ng y = x 2 −x + 3 và đường thẳng y = 2x + 1. Câu 4 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = 3 + 5i. Tìm phần t hư ï c và phần ảo cu û a z. b) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đe à u được đánh số chẵn. Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x+y−2z −1 = 0 và đư ơ ø ng thẳng d : x − 2 1 = y −2 = z + 3 3 . Tìm to ïa đo ä giao điểm của d và (P). Viết phương trình m ặ t phẳ ng chứa d và vuông go ù c với (P ). Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a 2 , hình chie áu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Câu 7 ( 1 ,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đ ư ơ ø ng thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; −1). Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  x √ 12 − y +  y(12 − x 2 ) = 12 x 3 − 8x − 1 = 2 √ y −2 (x, y ∈ R). Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức P = x 2 x 2 + yz + x + 1 + y + z x + y + z + 1 − 1 + y z 9 . −−− −−−Hết−−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . WWW.ToanCapBa.Net 9 WWW.ToanCapBa.Net [...]... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−− − − − −− ĐỀ CHÍNH THỨC 10 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−− −−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) 1 (2,0đ) • Tập xác đònh D = R \ {1} • Sự biến thi n: 3 ; y < 0, ∀x ∈ D (x − 1)2 Hàm số nghòch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞) 0,25 - Chiều biến thi n: y = − - Giới hạn và tiệm... WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,0 điểm) Đáp án 24 Điểm a (1,0 điểm) Khi m = −1 ta có y = 2 x3 − 6 x • Tập xác định: D = 0,25 • Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y ' = 6 x 2 − 6; y ' = 0 ⇔ x = ±1 Các khoảng đồng biến: (−∞; − 1) và (1; + ∞); khoảng nghịch... và phần ảo của số phức w = (1 + i)z5 −−− − −−Hết− − − − −− Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối A và khối A1 (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ... giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x+1 trên đoạn [0; 2] −−− − −−Hết− − − − −− Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm... 0,25 WWW.ToanCapBa.Net BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−− − − − −− ĐỀ CHÍNH THỨC 13 ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−− −−−−−−−−− I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 (1), với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m... 0,25 0,25 WWW.ToanCapBa.Net BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−− − − − −− ĐỀ CHÍNH THỨC 18 ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−− −−−−−−−−− I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x3 − 3mx2 + (m − 1)x + 1 (1), với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 1... CHÍNH THỨC 23 ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−− −−−−−−−−− I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx (1), với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = −1 b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò A và B sao cho đường... NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,0 điểm) Đáp án 19 Điểm a (1,0 điểm) Khi m = 1 ta có y = 2 x3 − 3x 2 + 1 • Tập xác định: D = 0,25 • Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y ' = 6 x 2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 Các khoảng đồng biến: (−∞; 0) và (1; + ∞); khoảng nghịch biến: (0; 1) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại... A1 (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,0 điểm) Đáp án 14 Điểm a (1,0 điểm) Khi m = 0 ta có y = − x3 + 3 x 2 − 1 • Tập xác định: D = • Sự biến thi n: 0,25 - Chiều biến thi n: y ' = −3x 2 + 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 Khoảng đồng biến: (0; 2); các khoảng nghịch biến: (−∞; 0) và (2; + ∞) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = −1; đạt cực... √ tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y + z − 11 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 2z − 8 = 0 Chứng minh (P ) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm của (P ) và (S) √ Câu 9.b . DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM −−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu Đáp án Điểm 1 a). GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍN H THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 (Đáp án - thang điể m gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM −−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu Đáp án Điểm 1 a)