Bài toán xác suất và thống kê - ôn thi BSNT

Có bao nhiêu cách ch n trong đó có đúng 1 nam... Tìm xác su t sinh đôi cùng gi ng b.

n v i r  n (r > n: vô ngh a)

2 M t b môn g m 15 ng i trong đó có 5 nam gi i

a Có bao nhiêu cách đ l p m t h i đ ng ch m thi g m 3 ng i, trong đó ph i có nam

a N u nh thang máy xuát phát t t ng tr t  thang máy s đi qua 4 t ng (1-2-3-4)

- T ng 4 có 2 ng i: m u 2 ph n t t 6 ph n t cho tr c, không l p, không th t : C2

b N u thang máy xu t phát t t ng 1  thang máy s đi qua 3 t ng (2-3-4)

4 Có 6 c p giáo viên nam-n , trong đó có m t c p giáo viên nam-n d y toán, m t

c p giáo viên nam-n d y hoá, m t c p giáo viên nam-n d y sinh, còn l i m i

ng i m t môn khác Ch n ng u nhiên 3 ng i

a Có bao nhiêu cách ch n trong đó có đúng 1 nam

b Có bao nhiêu cách ch n trong đó không có c p giáo viên nào cùng m t môn

Gi i:

6 C p giáo viên nam n  có 6 nam, 6 n

a.Ch n 3 giáo viên trong đó có đúng 1 nam

- Ch n nam: rút m u 1 ph n t trong 6 ph n t cho tr c, không l p, không th t : C1

5 Có 5 b nh nhân đ c x p vào 3 bu ng b nh, m i bu ng b nh đ u còn trên 5 ch

a Có bao nhiêu cách s p x p sao cho m i bu ng nh n ít nh t m t b nh nhân

b C ó bao nhiêu cách s p x p sao cho có đúng m t bu ng không x p b nh nhân

- N u 1 bu ng có 3 b nh nhân thì s cách x p cho bu ng này là: 2.C3

7 M t l p g m 32 sinh viên trong đó có 16 nam

a Ch n m t nhóm 8 ng i sao cho nam, n b ng nhau

b Chia 4 nhóm 8 ng i sao cho nam, n b ng nhau

8 M t nhóm sinh viên g m 20 ng i, trong đó có 12 nam C n ch n m t nhóm 5

ng i làm công tác xã h i sao cho:

b Có h c sinh gi i c a 2 môn và có nam, có n

c Có h c sinh gi i ít nh t 2 môn và có nam, có n

- N u môn toán có 2 ng i: rút m u 2 ph n t t 3 ph n t cho tr c, không l p, không

b.Có h c sinh gi i c a 2 môn và có nam có n :

Do ph i có c n nên ch c ch n trong nhóm cán s đó có môn sinh (5 n ), s thành viên ban cán s còn l i là toán ho c hoá

- N u có 1 n trong nhóm cán s thì s cách ch n n là C1

5 Do ch đ c phép có h c sinh c a 2 môn nên s cách ch n 3 nam còn l i trong 2 môn toán, hoá s là (C3

5 (C14+C13)

 T ng s cách ch n sao cho có h c sinh gi i c a 2 môn và có nam, có n là:

C15 ( C34+C33) + C25 (C24+C32) + C35 (C14+C13) = 185

c Có h c sinh gi i c a ít nh t 2 môn và có nam, có n :

Do ph i có c n nên ch c ch n trong nhóm cán s đó có môn sinh (5 n ), s thành viên

ban cán s còn l i là toán ho c hoá

- N u có 1 n trong nhóm cán s thì s cách ch n n là C1

5 Do yêu c u có h c sinh gi i

c a 2 ho c 3 môn nên s cách ch n 3 nam còn l i trong 2 môn toán, hoá s là C3

7  S cách ch n khi trong nhóm cán s có 1 n là: C1

5 C37

- N u có 2 n trong nhóm cán s thì s cách ch n n là C2

5 Do yêu c u có h c sinh gi i

c a 2 ho c 3 môn nên s cách ch n 2 nam còn l i trong 2 môn toán, hoá s là C2

7  S cách ch n khi trong nhóm cán s có 2 n là: C2

5 C1 7

 T ng s cách ch n sao cho trong nhóm cán s có ít nh t h c sinh gi i c a 2 môn và

có c nam, c n là:

C15 C37+ C52 C72+ C35 C17= 455

10 M t t b môn có 9 giáo viên L p ban giám kh o 5 ng i, có bao nhiêu cách

l p:

a Bi t r ng có 2 ng i luôn đ c vào cùng ban giám kh o

b Bi t r ng có 3 ng i không đ c vào cùng ban giám kh o

b Có 3 ng i không đ c vào cùng ban giám kh o:

- T ng s kh n ng ch n 5 ng i vào ban giám kh o: C5

c Có n b nh nhân x p hàng ch khám b nh Có bao nhiêu tr ng h p đ 2 ng i

b M i b nh nhân dùng không quá 2 thu c

c S thu c dùng tu ý cho m i b nh nhân

Gi i: Chú ý, có bi n pháp đi u tr không dùng thu c hay không?

a M i b nh nhân dùng ít nh t 1 thu c:

Cách 1: M i b nh nhân dùng ít nh t 1 thu c mà có 3 thu c nên m i b nh nhân có 3 cách

đi u tr  4 b nh nhân có 34= 81 cách đi u tr

Cách 2: Rút m u 4 ph n t t 3 ph n t cho tr c, có l p (nhi u b nh nhân dùng 1

thu c), có th t (cùng m t thu c dùng cho các b nh nhân khác nhau thì cho các kh

n ng khác nhau): F4

3= 81

b M i b nh nhân dùng không qúa hai thu c:

M i b nh nhân dùng không quá 2 thu c, t c là m i b nh nhân có 2 cách đi u tr (s d ng

1 ho c 2 thu c), nh ng có 3 thu c do v y có C2

3 cách l a ch n 2 thu c đó  M i b nh nhân có 2 C2

3 cách đi u tr Có 4 b nh nhân nên s cách đi u tr là: (2 C2

3)4=

14

13

14

15

13

14

15

16

1

=

!62

3 M t h p thu c có 10 ng thu c, trong đó có 8 ng Peni L y ng u nhiên l n l t 3

6.7.8

1 8

1 6 1 9

1 7 1

CC

810

28

79

210

88

39

313

1114

3.15

1213

314

1115

1213

1014

1115

C n phân bi t: P(B) = P(A1.A2.A3) + P(A1.A2 A ) = P(3 A1.A2)

(Trong tr ng h p này đ bài s là: Tìm xác su t đ l n 1 1 y ng Strep, l n 2 l y ng

312

410

711

812

410

711

412

810

611

510

10 

Xác su t l y 2 ng Peni c a h p 2 là: 0.8

9

810

9



V y kh n ng l y đ c 2 ng Peni c a h p th 2 cao h n h p th 1

7 M t l p có 3 nhóm đi th c t p t i 3 b nh vi n Nhóm 1 có 20 sinh viên trong đó có

10 n Nhóm 2 có 25 sinh viên trong đó có 10 n Nhóm 3 có 25 sinh viên trong đó có

2825

870

2525

1070

2520

1

28 

CC

)

b Xác su t đ sinh viên n đó là c a nhóm 3

700

2244

.0258.7028)

(

)3/()

3(







AP

EAPE

P

9 Nhóm ng i d thi c a m t b nh vi n g m các chuyên ngành khác nhau trong đó

có thi 3 chuyên ngành A, 5 thi chuyên ngành B, 7 thi chuyên ngành C G p ng u nhiên 3 ng i trong nhóm d thi Tìm xác su t sao cho

a Ba ng i d thi 3 chuyên ngành khác nhau

a Xác su t g p 3 ng i d thi 3 chuyên ngành khác nhau

P(D) = P(A1B2C3) + P(B1A2C3) + P(C1A2B3) +

b Xác su t g p 3 ng i d thi cùng m t chuyên ngành

P(E) = P(A1A2A3) + P(B1B2B3) + P(C1.C2.C3) =

101.013

514

615

713

314

415

513

114

10 d p t t sâu b nh h i lúa, m t đ i th c v t phun 3 đ t thu c liên ti p Xác

su t sâu b ch t sau l n phun th nh t là 0,5 N u sâu s ng sót thì kh n ng b ch t sau l n phun th 2 là 0,7 và t ng t sau l n phun th 3 là 0,9 Tìm xác su t sâu b

ch t sau 3 l n phun thu c liên ti p và nêu ý ngh a

a Tìm xác su t sao cho trong 1 gi không có ai c n c p c u

b Tìm xác su t sao cho trong 1 gi có ít nh t 1 ng i c n c p c u Nêu ý ngh a

c Tìm xác su t sao cho trong 1 gi có 1 b nh nhân không c n c p c u

c Trong 1 gi có 1 b nh nhân không c n c p c u

02,0.99,0)

2.1()2

1

(

)2.1





P B BB

B

P

BBP

(Chú ý không nh m v i P(F)= P(B1 B 2), tr ng h p này đ s ra là: Tìm xác su t đ

ng i th nh t không b b nh, ng i th 2 b b nh)

13 T l b lao trong nh ng ng i khám lao là 10% Trong s nh ng ng i b lao,

ABPAP

15.Gi s s sinh con trai và con gái là nh nhau

a Tìm xác su t đ gia đình sinh 3 con có 1 con trai, th nh t

b Tìm xác su t đ gia đình sinh 3 con có 1 con trai l n 3

Gi i:

G i: Ai là hi n t ng sinh con trai l n sinh th i

B là hi n t ng sinh 3 con có 1 con trai

C là hi n t ng sinh 3 con có 1 con trai, th nh t

D là hi n t ng sinh 3 con có 1 con trai l n 3

Do s sinh con trai và con gái là nh nhau nên xác su t sinh con trai P(T) b ng xác xu t sinh con gái P(G): P(T)=P(G)=0,5

a Sinh 3 con có 1 con trai, th nh t

(

)3.2.1

(





BP

AAA

G i: Ai là hi n t ng sinh con trai l n sinh th i

Xác su t sinh b ng đ c con trai th 3 là 0,122551

Do s n g p đôi s nam nên P(E1)=1/3, P(E2)=2/3

a Tìm xác su t đ g p ng i b b ch t ng trong đám đông P(A)

P(A)=P(E1).P(A/E1)+P(E2).P(A/E2)= 1/3.0,0006+2/3.0,000036=0,000224

b Tìm xác su t sao cho ng i b b ch t ng đó là nam P(E1/A)

000224,

0

0006,0.3/1)

(

)1/()

1(





AP

EAPE

P

18 T l cha m t đen, con m t đen là 0,05 Cha m t đen, con m t xanh là 0,079 Cha

m t xanh, con m t đen là 0,089 Cha m t xanh, con m t xanh là 0,782

a Tìm xác su t g p con m t xanh bi t r ng cha m t xanh

b Tìm xác su t g p con m t không đen bi t r ng cha m t đen

Gi i:

G i: A là hi n t ng con m t đen

A là hi n t ng con m t xanh

E1 là hi n t ng cha m t đen > P(AE1) = 0,05 P(AE2) = 0,089

E2 là hi n t ng cha m t xanh > P( AE1) = 0,079 P( AE2) = 0,782

không còn màu m t nào khác n a

P(A) = P(E1) P(A/E1) + P(E2).P(A/E2)

= P(AE1) + P(AE2) = 0,05+0,089 = 0,139 P(A) = 1- P(A) = 0,861

P(E2) = P(A).P(E2/A) + P( A).P(E2/ A)

> P(E1)= 0,129

a Tìm xác su t g p con m t xanh bi t r ng cha m t xanh P(A/E2)

P(A/E2) =

)2(

)2(EP

EAP

871,0

782,0



b Tìm xác su t g p con m t không đen, bi t r ng cha m t đen P(A/E1)

129,0

079,0)1(

)1(





EP

EAP

19 G i E1 là hi n t ng sinh đôi th t do m t tr ng sinh ra, hai tr luông cùng

gi ng G i E2 là hi n t ng sinh đôi gi do hai tr ng sinh ra, hai tr cùng gi ng

ho c khác gi ng v i kh n ng nh nhau Bi t xác su t sinh đôi th t là p

a Tìm xác su t sinh đôi cùng gi ng

b Tìm xác su t đ n u tr sinh đôi cùng gi ng thì khác tr ng

Gi i:

G i: A là hi n t ng cùng gi ng, Alà hi n t ng khác gi ng

E1 là hi n t ng sinh đôi th t > P(E1) = p

E2 là hi n t ng sinh đôi gi > P(E2) = 1-p

S th t, 2 tr luôn cùng gi ng > P(A/E1) = 1, P(A/E1) = 0

S gi , 2 tr cg ho c kg v i kh n ng nh nhau > P(A/E2) = P(A/E2) = 0,5

a Xác su t sinh đôi cùng gi ng P(A):

P(A) = P(E1).P(A/E1) + P(E2).P(A/E2) = p.1 + (1-p)0,5 =

pA

P

EAPEP

2.5,0)

1()

(

)2/()

2(

Hai h p thu c gi ng h t nhau > P(E1)=P(E2)=0,5

L y ng u nhiên 1 h p, và l y ng u nhiên 1 ng thu c Xác su t đ ng thu c là chính

ph m:

P(AE1 +AE2) = P(AE1)+P(AE2) = P(A)

= P(E1).P(A/E1) + P(E2).P(A/E2)

= 0,5.0,75 + 0,5.0,6667 = 0,70835

21 Có 2 lô s n ph m thu c Lô 1 có 90% h p còn h n, lô 2 có 80% còn h n Ng i

ta l y ng u nhiên 1 lô và t đó l y ng u nhiên 1 h p thu c đ c còn h n, tr l i h p thu c vào lô đó và l i l y ng u nhiên 1 h p thu c khác Tìm xác su t đ h p l n 2

l y ra là không còn h n

Gi i:

G i: A là hi n t ng h p thu c còn h n

E1 là hi n t ng lô 1: P(E1)= 0,5 P(A/E1)=0,9

E2 là hi n t ng lô 2: P(E2)=0,5 P(A/E2)=0,8

(các lô thu c th ng đ c s n xu t gi ng h t nhau nên P(E1)=P(E2)=0,5)

22 Có m t tr m c p c u b ng có 65% b nh nhân b ng do nóng, 35% b nh nhân

b ng do hoá ch t B b ng do nóng có 25% b bi n ch ng, b b ng do hoá ch t có 40% b bi n ch ng

a Tìm xác su t g p b nh nhân không b bi n ch ng

b G p ng u nhiên m t b nh nhân b bi n ch ng, h i kh n ng b nh nhân đó b

b ng do nguyên nhân nào nhi u h n?

c G p ng u nhiên m t b nh nhân không b bi n ch ng, tìm xác su t đó là b nh nhân b ng do hoá ch t

b Bi n ch ng do b ng nhi t hay b ng hoá ch t:

- BN b bi n ch ng do b ng nhi t P(E1/A) =  

3025,0

25,0.65,0)

(

)1/()

1(AP

EAPEP

0,1625

- BN b bi n ch ng do b ng hoá ch t P(E2/A)=  

3025,0

4,0.35,0)

(

)2/()

2(AP

EAPEP

)4,01.(

35,0)

AP(

/E2)AP(E2).P(

0,301

23 T i m t khoa n i, t l 3 nhóm b nh tim m ch, huy t h c, tiêu hoá là 1:2:2 Xác

su t g p b nh nhân n ng c a nhóm tim m ch là 0,4 và c a huy t h c là 0,5 Xác

su t g p b nh nhân n ng c a 3 nhóm là 0,375

a Tìm xác su t g p b nh nhân n ng c a nhóm tiêu hoá

b Khám t t c b nh nhân n ng, tìm t l g p b nh nhân nhóm tiêu hoá

a Tìm xác su t g p b nh nhân n ng c a nhóm tiêu hoá P(A/E3)

P(A) =P(AE1) + P(AE2) + P(AE3)

=P(E1).P(A/E1) + P(E2).P(A/E2) + P(E3).P(A/E3)

0,375 =0,2.0,4 + 0,4.0,5 + 0,4.P(A/E3)

> P(A/E3)=0,2375

b Tìm t l g p b nh nhân nhóm tiêu hoá trong s b nh nhân n ng P(E3/A)

375,0

2375,0.4,0)

(

)3/()

3(



AP

EAPE

P

= 0,253

24 i u tr riêng r 2 kháng sinh cho b nh nhân, xác su t ph n ng c a kháng sinh

I là 0,002, c a kháng sinh II là 0,001 Bi t xác su t ph n ng c a 2 kháng sinh là 0,0014

a M t ng i dùng kháng sinh b ph n ng, tìm xác su t sao cho ng i đó dùng kháng sinh II

b Tìm xác su t sao cho 2 ng i dùng kháng sinh thì c 2 ng i không b ph n ng

)2/()

2(

AP

EAPE

P

b Xác su t đ 2 ng i dùng kháng sinh đ u không b ph n ng

25 Xác su t d ng tính c a X quang là 0,2 Giá tr c a X quang d ng tính b ng 0,2 Bi t t l b b nh trong nhóm X quang âm tính là 0,0125 Dùng X quang ch n đoán b nh

(

)/()

(



BP

ABPAP

= 0,8

đ c hi u P(A/B) =

95,0

8,0.8,0)

(1

)/(1).[

()

(

)/()

ABPAPB

P

ABPAP

=0,673

26 Bi t r ng trong 100 ng i có 2 ng i b b nh B i u tra tình hình m c b nh đó,

ng i ta dùng m t ph n ng thì th y n u b b nh ph n ng luôn d ng tính, n u không b nh ph n ng d ng tính 20%

b Không tính, hãy cho bi t t l b b nh trong nhóm xét nghi m âm tính P(B/ A):

N u b b nh thì ph n ng luôn d ng tính, do v y không có tr ng h p nào b b nh có xét nghi m âm tính > Trong nh ng tr ng h p âm tính không có tr ng h p nào b

b nh

> Xác su t đ ng i có xét nghi m âm tính b b nh = 0

(Minh ho : P(A/B)=1 > P(A/B)=0 > P(B/A)= 0

)(

)/()

(



AP

BAPBP

)

27 Xác su t b b nh B t i phòng khám là 0,8 Khi s d ng ph ng pháp ch n đoán

m i, v i kh ng đ nh là có b nh thì đúng 9 trên 10 tr ng h p, v i kh ng đ nh là không b nh thì đúng 5 trên 10 tr ng h p